Seconde · Fiche méthode 5 sur 12 · Géométrie repérée
Comment déterminer l'équation d'une droite ?
Une droite non verticale a une équation de la forme $y = mx+p$. Le coefficient directeur se calcule par $m = \dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$, puis $p$ s'obtient en remplaçant les coordonnées d'un point connu.
La méthode en 5 étapes
1Vérifier que la droite n'est pas verticale
Si $x_A = x_B$, la droite est verticale et son équation est $x = x_A$ : elle n'a pas de coefficient directeur.
2Calculer le coefficient directeur
$m = \dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$, différence des ordonnées sur différence des abscisses, dans le même ordre en haut et en bas.
3Trouver l'ordonnée à l'origine
On remplace $x$ et $y$ par les coordonnées de $A$ dans $y = mx+p$, puis on résout en $p$.
4Écrire l'équation réduite
$y = mx+p$ avec les valeurs trouvées.
5Vérifier avec l'autre point
On teste les coordonnées de $B$ dans l'équation : l'égalité doit être vraie.
Un exemple entièrement résolu
Déterminer l'équation réduite de la droite passant par $A(1\,;5)$ et $B(4\,;-1)$.
$m = \dfrac{-1-5}{4-1}=\dfrac{-6}{3}=-2$.
Avec $A$ : $5 = -2\times 1+p$, donc $p = 7$.
$y = -2x+7$.
Avec $B$ : $-2\times 4+7 = -1$. C'est bien l'ordonnée de $B$.
Conclusion. La droite $(AB)$ a pour équation réduite $y = -2x+7$.
Les erreurs à ne pas faire
- Inverser le quotient du coefficient directeur : les ordonnées sont au numérateur.
- Oublier le cas de la droite verticale, qui n'a pas d'équation réduite.
- Confondre $y = 3$ (droite horizontale) et $x = 3$ (droite verticale).
- S'arrêter au coefficient directeur sans calculer $p$.
3 exercices pour s'entraîner
Cherche d'abord sur ton cahier, sans regarder l'exemple ; le corrigé se déplie ensuite.
- Exercice 1
Déterminer l'équation de la droite passant par $A(0\,;-2)$ et $B(3\,;7)$.
Voir le corrigé
$m = \dfrac{7-(-2)}{3-0}=3$. Comme $A$ a une abscisse nulle, $p = -2$ directement.
$y = 3x-2$.
- Exercice 2
Déterminer l'équation de la droite passant par $C(-2\,;4)$ et $D(-2\,;9)$.
Voir le corrigé
Les deux points ont la même abscisse : la droite est verticale.
Son équation est $x = -2$ ; elle n'a pas de coefficient directeur.
- Exercice 3
La droite $d$ a pour équation $y = 4x-3$. Le point $E(2\,;5)$ appartient-il à $d$ ?
Voir le corrigé
On remplace $x$ par $2$ : $4\times 2-3 = 5$.
On obtient bien l'ordonnée de $E$ : le point $E$ appartient à la droite $d$.
Questions fréquentes
Comment savoir si deux droites sont parallèles ?
Elles sont parallèles si elles ont le même coefficient directeur. $y = 3x+1$ et $y = 3x-7$ sont parallèles ; elles sont confondues seulement si $p$ est aussi identique. Deux droites verticales sont toujours parallèles entre elles.
À quoi sert l'équation cartésienne ax+by+c=0 ?
Elle décrit toutes les droites, y compris les verticales, que l'équation réduite ne peut pas représenter. On l'utilise notamment avec les vecteurs directeurs : le vecteur $\begin{pmatrix} -b \\ a\end{pmatrix}$ dirige la droite d'équation $ax+by+c = 0$.
Pour aller plus loin sur Mathovore
Cette fiche donne la méthode. Pour travailler le chapitre Géométrie repérée en Seconde, voici le reste des ressources du site :