Première — chapitre 7 sur 10

Géométrie repérée : droites et cercles

Q: Quelle est l'équation d'un cercle ?

Centre (a;b) et rayon r : (x-a)^2+(y-b)^2 = r^2.

Q: Comment retrouver le centre et le rayon d'un cercle à partir de son équation ?

On complète les carrés : x^2-4x+y^2+2y = 4 devient (x-2)^2+(y+1)^2 = 9, centre (2;-1), rayon 3.

Q: Comment trouver l'équation d'une droite avec un point et un vecteur normal ?

Un point M(x;y) appartient à la droite ssi AM· n = 0, ce qui donne a(x-x_A)+b(y-y_A) = 0.

Une droite est définie par un point et un vecteur normal $\vec n(a\,;b)$ : son équation est $ax+by+c = 0$.

Définition — vecteur directeur, vecteur normal

Un vecteur directeur de $d$ est un vecteur non nul colinéaire à $\vec{AB}$ ($A$, $B\in d$). Un vecteur normal est un vecteur non nul orthogonal à $d$.

Théorème — équation cartésienne

Une droite de vecteur normal $\vec n(a\,;b)$ a une équation $ax+by+c = 0$ ; réciproquement, $ax+by+c = 0$ (avec $(a\,;b)\ne(0\,;0)$) est une droite de vecteur normal $\vec n(a\,;b)$ et de vecteur directeur $\vec u(-b\,;a)$.

Méthode — droite passant par $A$ de vecteur normal $\vec n$

$M(x\,;y)\in d\iff\vec{AM}\cdot\vec n = 0$. Avec $A(1\,;2)$, $\vec n(3\,;-1)$ : $3(x-1)-(y-2) = 0\iff 3x-y-1 = 0$.

Propriété — perpendicularité

Deux droites sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs normaux (ou directeurs) sont orthogonaux : $aa'+bb' = 0$.

Théorème — équation d'un cercle

Cercle de centre $\Omega(x_0\,;y_0)$ et de rayon $r$ : $$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2 = r^2.$$ Cercle de diamètre $[AB]$ : $M\in\mathcal C\iff\vec{MA}\cdot\vec{MB} = 0$.

Méthode — reconnaître un cercle

$x^2+y^2-4x+6y-3 = 0\iff(x-2)^2+(y+3)^2 = 16$ : cercle de centre $(2\,;-3)$ et de rayon $4$. Si le second membre est négatif, l'ensemble est vide.

Questions fréquentes sur ce chapitre

Qu'est-ce qu'un vecteur normal à une droite ?

Un vecteur non nul orthogonal à la droite. La droite d'équation $ax+by+c = 0$ admet $\vec n(a\,;b)$ comme vecteur normal et $\vec u(-b\,;a)$ comme vecteur directeur.

Quelle est l'équation d'un cercle ?

Centre $\Omega(a\,;b)$ et rayon $r$ : $(x-a)^2+(y-b)^2 = r^2$.

Comment retrouver le centre et le rayon d'un cercle à partir de son équation ?

On complète les carrés : $x^2-4x+y^2+2y = 4$ devient $(x-2)^2+(y+1)^2 = 9$, centre $(2\,;-1)$, rayon $3$.

Comment trouver l'équation d'une droite avec un point et un vecteur normal ?

Un point $M(x\,;y)$ appartient à la droite ssi $\vec{AM}\cdot\vec n = 0$, ce qui donne $a(x-x_A)+b(y-y_A) = 0$.

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