Contrôle de maths L3 : Fubini-Tonelli et changement de variables

Exercice 1 : Question de cours, les théorèmes de Fubini (3 points)

Calculatrice interdite. Documents interdits. Durée : 2 heures.

Dans tout le sujet, \(\lambda_n\) désigne la mesure de Lebesgue sur \(\mathbb{R}^n\) et \(\lambda = \lambda_1\). Les mesures considérées sont sigma-finies.

1. Énoncez le théorème de Fubini-Tonelli pour une fonction mesurable positive sur un produit \(X \times Y\). (1 point)
2. Énoncez le théorème de Fubini pour une fonction intégrable sur \(X \times Y\). (1 point)
3. Énoncez le théorème de changement de variables dans \(\mathbb{R}^n\), puis donnez le jacobien du passage en coordonnées polaires \((r, \theta) \mapsto (r\cos\theta, r\sin\theta)\). (1 point)

Exercice 2 : L’intégrale de Gauss par passage en polaires (4 points)

On pose \(I = \displaystyle\int_{\mathbb{R}} e^{-x^2} \,\mathrm{d}x\).

1. Montrez que \(x \mapsto e^{-x^2}\) est intégrable sur \(\mathbb{R}\). (1 point)
2. Montrez que \(I^2 = \displaystyle\int_{\mathbb{R}^2} e^{-(x^2 + y^2)} \,\mathrm{d}\lambda_2(x, y)\), en citant le théorème utilisé. (1 point)
3. À l’aide des coordonnées polaires, calculez cette intégrale double et déduisez-en \(I\). Précisez l’ouvert de départ, l’ouvert d’arrivée et la partie négligeable de \(\mathbb{R}^2\) qui est laissée de côté. (2 points)

Exercice 3 : Deux intégrales itérées différentes (4 points)

Sur le carré \(Q = \,]0, 1]^2\), représenté ci-dessous, on considère \(f(x, y) = \dfrac{x^2 – y^2}{(x^2 + y^2)^2}\).

1. Vérifiez que \(\dfrac{\partial}{\partial y}(\dfrac{y}{x^2 + y^2}) = f(x, y)\). Calculez \(\displaystyle\int_{0}^{1} (\int_{0}^{1} f(x, y) \,\mathrm{d}y) \mathrm{d}x\). (1,5 point)
2. Sans nouveau calcul, déduisez-en \(\displaystyle\int_{0}^{1} (\int_{0}^{1} f(x, y) \,\mathrm{d}x) \mathrm{d}y\). (1 point)
3. On note \(D\) le quart de disque \(\{(x, y) : x > 0,\ y > 0,\ x^2 + y^2 < 1\}\), inclus dans \(Q\). En passant en polaires, calculez \(\int_{D} |f| \,\mathrm{d}\lambda_2\). Expliquez pourquoi ce résultat ne contredit pas le théorème de Fubini. (1,5 point)

Exercice 4 : Volume de la boule unité de R^n (4 points)

Pour \(n \geq\, 1\), on note \(\|\cdot\|\) la norme euclidienne de \(\mathbb{R}^n\), \(B_n(r) = \{x \in \mathbb{R}^n : \|x\| \leq\, r\}\) et \(V_n = \lambda_n(B_n(1))\). La figure montre, pour \(n = 3\), la tranche de la boule au-dessus d’un point \((y, z)\) du disque unité.

1. Montrez que \(\lambda_n(B_n(r)) = r^n V_n\) pour tout \(r > 0\). (1 point)
2. Soit \(n \geq\, 3\). En écrivant un point de \(\mathbb{R}^n\) sous la forme \((u, y, z)\) avec \(u \in \mathbb{R}^{n-2}\) et \((y, z) \in \mathbb{R}^2\), montrez que \(V_n = \dfrac{2\pi}{n} V_{n-2}\). (2 points)
3. Calculez \(V_1\), \(V_2\), puis \(V_3\), \(V_4\), \(V_5\) et \(V_6\). Montrez que \(V_n \to 0\) quand \(n \to +\infty\). (1 point)

Exercice 5 : Problème, convolution d’indicatrices (5 points)

Pour \(f, g\) intégrables sur \(\mathbb{R}\), on pose, lorsque cela a un sens, \((f * g)(x) = \displaystyle\int_{\mathbb{R}} f(x – y) g(y) \,\mathrm{d}y\). On note \(\mathbf{1} = \mathbf{1}_{[0, 1]}\).

1. Montrez que \((\mathbf{1} * \mathbf{1})(x) = \lambda([0, 1] \cap [x – 1, x])\) et donnez l’expression de \(T = \mathbf{1} * \mathbf{1}\) sur \(\mathbb{R}\). Tracez son graphe. (1,5 point)
2. Montrez, par le théorème de Tonelli, que \(\int_{\mathbb{R}} T \,\mathrm{d}\lambda = (\int_{\mathbb{R}} \mathbf{1} \,\mathrm{d}\lambda)^2\), et vérifiez ce résultat sur le graphe. (1 point)
3. Soient \(f, g \in L^1(\mathbb{R})\). On admet que \((x, y) \mapsto f(x – y) g(y)\) est mesurable sur \(\mathbb{R}^2\). Montrez que \((f * g)(x)\) est défini pour presque tout \(x\) et que \(\|f * g\|_1 \leq\, \|f\|_1 \|g\|_1\). (1,5 point)
4. On pose \(h = T * \mathbf{1}\). Montrez que \(h(x) = \int_{x-1}^{x} T(u) \,\mathrm{d}u\), puis calculez \(h(x)\) pour \(x \in [0, 1]\) et pour \(x \in [1, 2]\). (1 point)

Réviser avant le contrôle : Fubini-Tonelli et changement de variables

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Fubini et changement de variables » en L3 puis entraînez-vous avec les exercices corrigés fubini et changement de variables.

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