Équations différentielles linéaires : exercices de maths spé corrigés en PDF.

Exercice 1 : Mise sous forme de système et forme intégrale

Les questions sont indépendantes.

1. Écrire l’équation \(x^{\prime\prime\prime} – t x^{\prime} + e^{t} x = \sin t\) sous la forme \(X^{\prime} = A(t) X + B(t)\), en précisant \(X\), \(A(t)\) et \(B(t)\).
2. Écrire la forme intégrale du problème de Cauchy formé par cette équation et les conditions \(x(0) = 1\), \(x^{\prime}(0) = 0\), \(x^{\prime\prime}(0) = 2\).
3. On considère l’équation \((t^2 – 4) x^{\prime\prime} + t x^{\prime} + \ln(t) \, x = 0\). Déterminer le plus grand intervalle \(J\) contenant \(1\) sur lequel le théorème de Cauchy linéaire s’applique.
4. Soit \(x\) une solution sur \(J\) telle que \(x(1) = x^{\prime}(1) = 0\). Que peut-on dire de \(x\) ?

Exercice 2 : Deux équations scalaires d’ordre 1

1. Résoudre sur \(\mathbb{R}\) l’équation \(x^{\prime} + 2 t x = 2 t e^{-t^2}\), puis déterminer la solution telle que \(x(0) = 1\). Étudier sa limite en \(+\infty\).
2. Résoudre sur \(\mathbb{R}\) l’équation \((1 + t^2) x^{\prime} + t x = 1\) par la méthode de variation de la constante. Donner la solution telle que \(x(0) = 0\).

Exercice 3 : Principe de superposition

On considère l’équation \(x^{\prime\prime} – 3 x^{\prime} + 2 x = e^{t} + e^{3t}\) sur \(\mathbb{R}\).

1. Résoudre l’équation homogène associée.
2. Trouver une solution particulière de \(x^{\prime\prime} – 3 x^{\prime} + 2 x = e^{t}\) de la forme \(\alpha t e^{t}\), puis une solution particulière de \(x^{\prime\prime} – 3 x^{\prime} + 2 x = e^{3t}\).
3. En déduire toutes les solutions de l’équation, puis celle qui vérifie \(x(0) = x^{\prime}(0) = 0\).

Exercice 4 : Wronskien d’une équation d’Euler

On considère sur \(I = ]0, +\infty[\) l’équation \((E) : t^2 x^{\prime\prime} – 2 t x^{\prime} + 2 x = t^3\) et l’équation homogène associée \((H)\).

1. Vérifier que \(x_1 : t \mapsto t\) et \(x_2 : t \mapsto t^2\) sont solutions de \((H)\) sur \(I\).
2. Calculer leur wronskien \(W\). En déduire qu’elles forment une base des solutions de \((H)\) sur \(I\).
3. Vérifier que \(W\) satisfait la formule de Liouville.
4. Chercher une solution particulière de \((E)\) de la forme \(\alpha t^3\). Résoudre \((E)\) sur \(I\), puis déterminer la solution telle que \(x(1) = x^{\prime}(1) = 0\).

Exercice 5 : Structure de l’espace des solutions

On note \(S\) l’ensemble des solutions sur \(\mathbb{R}\) de l’équation \(x^{\prime\prime} + e^{t} x = 0\).

1. Justifier que \(S\) est un espace vectoriel de dimension \(2\), et que \(\varphi : x \mapsto (x(0), x^{\prime}(0))\) est un isomorphisme de \(S\) sur \(\mathbb{R}^2\).
2. Soit \(x \in S\) non nulle et \(t_0\) tel que \(x(t_0) = 0\). Montrer que \(x^{\prime}(t_0) \neq 0\).
3. Soient \(x_1, x_2 \in S\) telles que \(x_1(0) = 1\), \(x_1^{\prime}(0) = 0\), \(x_2(0) = 0\), \(x_2^{\prime}(0) = 1\). Montrer que leur wronskien vaut \(1\) sur \(\mathbb{R}\).
4. Montrer que deux solutions qui s’annulent en un même point sont proportionnelles.

Exercice 6 : Variation des constantes à coefficients constants

On considère sur \(]0, +\infty[\) l’équation \(x^{\prime\prime} – 2 x^{\prime} + x = \dfrac{e^{t}}{t}\).

1. Donner une base \((x_1, x_2)\) des solutions de l’équation homogène et calculer son wronskien.
2. Par la méthode de variation des constantes, déterminer toutes les solutions de l’équation.
3. Déterminer la solution telle que \(x(1) = x^{\prime}(1) = 0\).

Exercice 7 : Équation de Legendre d’indice 1

On considère sur \(I = ]-1, 1[\) l’équation \((1 – t^2) x^{\prime\prime} – 2 t x^{\prime} + 2 x = 0\).

1. Justifier que l’ensemble des solutions sur \(I\) est un plan vectoriel. Vérifier que \(x_1 : t \mapsto t\) est solution.
2. Soit \(x_2\) une solution quelconque. À l’aide de la formule de Liouville, montrer qu’il existe une constante \(C\) telle que \(W(t) = \dfrac{C}{1 – t^2}\) sur \(I\), où \(W\) est le wronskien de \((x_1, x_2)\).
3. En prenant \(C = 1\), déterminer sur \(]0, 1[\) une solution \(x_2\) à l’aide de la relation \(( x_2 / x_1 )^{\prime} = W / x_1^2\).
4. Vérifier que la fonction \(x_2 : t \mapsto \dfrac{t}{2} \ln( \dfrac{1 + t}{1 – t} ) – 1\) est solution sur \(I\) tout entier. En déduire toutes les solutions sur \(I\).
5. Quelles sont les solutions bornées sur \(I\) ?

Exercice 8 : Abaissement de l’ordre par changement de fonction

On considère sur \(\mathbb{R}\) l’équation \((E) : (1 + t^2) x^{\prime\prime} – 2 t x^{\prime} + 2 x = (1 + t^2)^2\) et l’équation homogène associée \((H)\).

1. Vérifier que \(x_1 : t \mapsto t\) est solution de \((H)\).
2. Sur \(]0, +\infty[\), on pose \(x(t) = t z(t)\). Écrire l’équation vérifiée par \(z^{\prime}\) lorsque \(x\) est solution de \((H)\), la résoudre, et en déduire une seconde solution \(x_2\) polynomiale.
3. Montrer que \((x_1, x_2)\) est une base des solutions de \((H)\) sur \(\mathbb{R}\).
4. Résoudre \((E)\) sur \(\mathbb{R}\) par la méthode de variation des constantes.

Exercice 9 : Variation des constantes et condition initiale

On considère sur \(I = ]-\pi/2, \pi/2[\) l’équation \(x^{\prime\prime} + x = \tan t\).

1. Écrire le système vérifié par \(\lambda^{\prime}\) et \(\mu^{\prime}\) lorsqu’on cherche une solution \(x = \lambda \cos + \mu \sin\), et le résoudre.
2. Montrer qu’une primitive de \(\dfrac{1}{\cos}\) sur \(I\) est \(t \mapsto \ln( \dfrac{1 + \sin t}{\cos t} )\). En déduire toutes les solutions de l’équation.
3. Déterminer la solution \(x\) telle que \(x(0) = x^{\prime}(0) = 0\), puis sa limite en \(\pi/2\).

Exercice 10 : Formule intégrale et résonance

Soit \(f\) continue sur \(\mathbb{R}\). On considère le problème de Cauchy \(x^{\prime\prime} + x = f(t)\), \(x(0) = x^{\prime}(0) = 0\).

1. Par la variation des constantes, montrer que l’unique solution est \[x(t) = \int_{0}^{t} \sin(t – s) \, f(s) \, \mathrm{d}s.\]
2. Calculer \(x\) lorsque \(f = \cos\). La solution est-elle bornée sur \(\mathbb{R}_+\) ?
3. On suppose \(f \geq\, 0\) sur \([0, \pi]\). Montrer que \(x \geq\, 0\) sur \([0, \pi]\).

Exercice 11 : Solutions développables en série entière

On considère l’équation \((H) : (1 + t^2) x^{\prime\prime} + 4 t x^{\prime} + 2 x = 0\).

1. On suppose que \(x(t) = \sum_{k \geq\, 0} a_k t^k\) est solution sur \(]-R, R[\), avec \(R > 0\). Établir une relation de récurrence entre \(a_{k+2}\) et \(a_k\).
2. En déduire les solutions développables en série entière, leur rayon de convergence et leur somme.
3. Montrer que les fonctions \(t \mapsto \dfrac{1}{1 + t^2}\) et \(t \mapsto \dfrac{t}{1 + t^2}\) forment une base des solutions de \((H)\) sur \(\mathbb{R}\) tout entier.
4. Vérifier que le membre de gauche de \((H)\) est égal à \(\big( (1 + t^2) x \big)^{\prime\prime}\), et retrouver ainsi le résultat.

Exercice 12 : Série entière et raccordement en 0

On considère l’équation \((H) : 4 t x^{\prime\prime} + 2 x^{\prime} – x = 0\).

1. Déterminer les solutions de \((H)\) développables en série entière et leur rayon. On note \(f\) celle qui vaut \(1\) en \(0\).
2. Exprimer \(f(t)\) à l’aide de fonctions usuelles, pour \(t > 0\) puis pour \(t < 0\).
3. Vérifier que \(t \mapsto \mathrm{sh}\sqrt{t}\) est solution sur \(]0, +\infty[\), puis donner toutes les solutions sur \(]0, +\infty[\). Faire de même sur \(]-\infty, 0[\) avec \(t \mapsto \sin\sqrt{-t}\).
4. Déterminer toutes les solutions de \((H)\) sur \(\mathbb{R}\). Quelle est la dimension de leur ensemble ?

Exercice 13 : Raccordements à l’ordre 1

Résoudre sur \(\mathbb{R}\) chacune des équations suivantes, et donner la dimension de l’espace affine des solutions sur \(\mathbb{R}\).

1. \(t x^{\prime} – x = t^2\).
2. \(t x^{\prime} – 2 x = t^3\).
3. \(t x^{\prime} + 2 x = t^2\).

La figure ci-dessous représente le champ de directions de la première équation. Sur chaque demi-plan, la pente vaut \((x + t^2) / t\) ; la droite \(t = 0\) est celle où le théorème de Cauchy linéaire ne s’applique pas.

Exercice 14 : Raccordements à l’ordre 2

On considère l’équation \((H) : t^2 x^{\prime\prime} – 4 t x^{\prime} + 6 x = 0\).

1. Chercher les solutions de la forme \(t \mapsto t^r\) sur \(]0, +\infty[\). En déduire toutes les solutions sur \(]0, +\infty[\), puis sur \(]-\infty, 0[\).
2. Déterminer toutes les solutions de \((H)\) sur \(\mathbb{R}\), c’est-à-dire les fonctions deux fois dérivables sur \(\mathbb{R}\) qui vérifient \((H)\) en tout point. Quelle est la dimension de leur ensemble ?
3. Étudier le problème de Cauchy en \(t_0 = 0\) avec \(x(0) = \alpha\), \(x^{\prime}(0) = \beta\). Expliquer pourquoi ces résultats ne contredisent pas le théorème de Cauchy linéaire.

Exercice 15 : Équation d’Euler et changement de variable

On considère l’équation \((H) : t^2 x^{\prime\prime} + t x^{\prime} + x = 0\).

1. Soit \(x\) deux fois dérivable sur \(]0, +\infty[\) et \(y : u \mapsto x(e^{u})\). Montrer que \(x\) est solution de \((H)\) sur \(]0, +\infty[\) si et seulement si \(y^{\prime\prime} + y = 0\) sur \(\mathbb{R}\).
2. En déduire les solutions de \((H)\) sur \(]0, +\infty[\), puis sur \(]-\infty, 0[\) à l’aide de \(y : u \mapsto x(-e^{u})\).
3. Déterminer les solutions de \((H)\) sur \(\mathbb{R}\).

Exercice 16 : Système à matrice antisymétrique

Soit \(A : \mathbb{R} \to \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) continue, telle que \(A(t)\) soit antisymétrique pour tout \(t\). On munit \(\mathbb{R}^n\) de sa norme euclidienne usuelle et l’on considère le système \(X^{\prime} = A(t) X\).

1. Montrer que, pour toute solution \(X\), la fonction \(t \mapsto \|X(t)\|^2\) est constante.
2. Pour \(1 \leq\, i \leq\, n\), soit \(X_i\) la solution telle que \(X_i(0) = e_i\), où \((e_1, \ldots, e_n)\) est la base canonique. Soit \(R(t)\) la matrice de colonnes \(X_1(t), \ldots, X_n(t)\). Montrer que \(R(t)\) est orthogonale pour tout \(t\).
3. Montrer que \(\det R(t) = 1\) pour tout \(t\). Que représente \(\det R(t)\) pour le système ?
4. Pour \(n = 2\), on prend \(A(t) = \begin{pmatrix} 0 & -\omega(t) \\ \omega(t) & 0 \end{pmatrix}\), avec \(\omega\) continue, et l’on pose \(\theta(t) = \int_0^t \omega(s) \, \mathrm{d}s\). Déterminer \(R(t)\).

Exercice 17 : Équation d’Airy

On considère l’équation \((H) : x^{\prime\prime} – t x = 0\) sur \(\mathbb{R}\).

1. Rappeler la dimension de l’espace des solutions de \((H)\) sur \(\mathbb{R}\).
2. Soit \(x(t) = \sum a_k t^k\) une série entière de rayon \(R > 0\), solution sur \(]-R, R[\). Montrer que \(a_2 = 0\) et que \(a_{k+3} = \dfrac{a_k}{(k+3)(k+2)}\) pour tout \(k \geq\, 0\).
3. On note \(y_0\) la série obtenue avec \(a_0 = 1\), \(a_1 = 0\), et \(y_1\) celle obtenue avec \(a_0 = 0\), \(a_1 = 1\). Montrer que leur rayon est infini et qu’elles sont solutions sur \(\mathbb{R}\).
4. Montrer que \((y_0, y_1)\) est une base des solutions et que son wronskien vaut \(1\). Que peut-on en déduire pour toutes les solutions de \((H)\) ?
5. Montrer que \(y_0(t) \geq\, 1 + \dfrac{t^3}{6}\) pour tout \(t \geq\, 0\). En déduire la limite de \(y_0\) en \(+\infty\).

Exercice 18 : Théorème de séparation de Sturm

Soit \(q\) continue sur \(\mathbb{R}\) et \((H) : x^{\prime\prime} + q(t) x = 0\). Soit \((x_1, x_2)\) une base des solutions de \((H)\) sur \(\mathbb{R}\), de wronskien \(W\).

1. Montrer que \(W\) est une constante non nulle.
2. Soit \(x\) une solution non nulle. Montrer que ses zéros sont simples, puis isolés : pour tout zéro \(t_0\), il existe \(\eta > 0\) tel que \(x\) ne s’annule pas sur \([t_0 – \eta, t_0 + \eta]\) privé de \(t_0\).
3. Soient \(\alpha < \beta\) deux zéros consécutifs de \(x_1\). Montrer que \(x_2(\alpha) \neq 0\) et \(x_2(\beta) \neq 0\).
4. En raisonnant par l’absurde avec la fonction \(x_1 / x_2\) et le théorème de Rolle, montrer que \(x_2\) s’annule sur \(]\alpha, \beta[\).
5. Montrer que \(x_2\) s’annule exactement une fois sur \(]\alpha, \beta[\) : les zéros de \(x_1\) et de \(x_2\) s’entrelacent.

La figure ci-dessous illustre ce résultat pour \(q(t) = 2 + \sin t\), avec les solutions telles que \(x_1(0) = 1\), \(x_1^{\prime}(0) = 0\), \(x_2(0) = 0\), \(x_2^{\prime}(0) = 1\). Les ronds marquent les zéros de \(x_1\), les carrés ceux de \(x_2\).

Exercice 19 : Équation à coefficient périodique

Soit \(T > 0\) et \(q : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) continue et \(T\)-périodique. On note \(S\) l’espace des solutions réelles sur \(\mathbb{R}\) de \(x^{\prime\prime} + q(t) x = 0\), et \(x_1, x_2\) les solutions telles que \(x_1(0) = 1\), \(x_1^{\prime}(0) = 0\), \(x_2(0) = 0\), \(x_2^{\prime}(0) = 1\).

1. Montrer que, pour \(x \in S\), la fonction \(\Phi(x) : t \mapsto x(t + T)\) appartient à \(S\), et que \(\Phi\) est un automorphisme de \(S\).
2. Montrer que la matrice de \(\Phi\) dans la base \((x_1, x_2)\) est \(M = \begin{pmatrix} x_1(T) & x_2(T) \\ x_1^{\prime}(T) & x_2^{\prime}(T) \end{pmatrix}\), et que \(\det M = 1\).
3. On suppose \(|x_1(T) + x_2^{\prime}(T)| > 2\). Montrer qu’il existe une solution non nulle \(x\) et un réel \(\lambda\) avec \(|\lambda| > 1\) tels que \(x(t + T) = \lambda x(t)\) pour tout \(t\). En déduire que l’équation possède une solution non bornée sur \(\mathbb{R}_+\).
4. Traiter l’exemple \(q = \dfrac{1}{4}\), \(T = 2\pi\) : calculer \(M\) et interpréter.

Exercice 20 : Problème, étude complète d’une équation singulière

On considère les équations \((E) : t x^{\prime\prime} + 2 x^{\prime} – t x = t\) et \((H) : t x^{\prime\prime} + 2 x^{\prime} – t x = 0\).

Partie A : solution développable en série entière.

1. Déterminer les solutions de \((H)\) développables en série entière au voisinage de \(0\). On note \(\varphi\) celle qui vaut \(1\) en \(0\) ; préciser son rayon et exprimer \(\varphi(t)\) pour \(t \neq 0\).

Partie B : solutions de \((H)\) sur un intervalle ne contenant pas 0.

2. Soit \(I = ]0, +\infty[\) ou \(]-\infty, 0[\). Montrer que \(x\) est solution de \((H)\) sur \(I\) si et seulement si \(y : t \mapsto t x(t)\) vérifie \(y^{\prime\prime} = y\) sur \(I\). En déduire les solutions de \((H)\) sur \(I\).
3. On pose \(x_1(t) = \dfrac{\mathrm{sh}\, t}{t}\) et \(x_2(t) = \dfrac{\mathrm{ch}\, t}{t}\). Calculer leur wronskien et vérifier la formule de Liouville.

Partie C : équation complète.

4. Sur \(I\), appliquer la méthode de variation des constantes à \((E)\) avec la base \((x_1, x_2)\). Quelle solution particulière obtient-on ? Aurait-on pu la deviner ?
5. Déterminer toutes les solutions de \((E)\) sur \(\mathbb{R}\), puis la solution sur \(\mathbb{R}\) telle que \(x(0) = 1\). Existe-t-il une solution sur \(\mathbb{R}\) telle que \(x^{\prime}(0) = 1\) ?

Le corrigé des exercices

Chaque exercice est corrigé en détail, question par question, sur la page suivante.

Pour aller plus loin en maths spé

• Le cours : équations différentielles linéaires, cours de maths spé
• À maîtriser avant : Fonctions vectorielles d'une variable réelle, Séries entières
• Chapitre précédent : Endomorphismes autoadjoints et théorème spectral
• Chapitre suivant : Exponentielle de matrice et systèmes différentiels
• Le même thème en L1 : équations différentielles, exercices de maths en L1
• Le même thème en maths sup : équations différentielles linéaires, exercices de maths sup
• Tester vos connaissances : QCM de maths spé par chapitre
• Le sommaire : tous les chapitres de maths spé et les chapitres de maths sup