Topologie et continuité : exercices de maths spé corrigés en PDF.

Exercice 1 : Ouverts et fermés par image réciproque

Dans \(\mathbb{R}^2\), puis dans \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\), on considère les parties suivantes. Pour chacune, dites si elle est ouverte, fermée, ou ni l’un ni l’autre, en justifiant.

1. \(A = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 < 4 \text{ et } y > x – 1\}\).
2. \(B = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : xy = 1\}\).
3. \(C = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x > 0 \text{ et } xy \geq\, 1\}\). On pourra écrire \(C\) sans inégalité stricte.
4. \(D = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 \leq\, 1 \text{ et } x \neq 0\}\).
5. \(P = \{M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) : M^2 = M\}\), ensemble des matrices de projecteurs.

Exercice 2 : Réunions et intersections infinies

Dans cet exercice, \(\mathbb{R}\) est muni de la valeur absolue.

1. Déterminez \(I = \bigcap_{n \geq\, 1} ]-\frac{1}{n}, 1 + \frac{1}{n}[\). Est-ce un ouvert ?
2. Déterminez \(J = \bigcup_{n \geq\, 3} [\frac{1}{n}, 1 – \frac{1}{n}]\). Est-ce un fermé ?
3. Soit \(E\) un espace normé. Démontrez, par la caractérisation séquentielle, qu’une réunion finie \(F_1 \cup \cdots \cup F_p\) de fermés est fermée.
4. Montrez que \(\mathbb{Z} = \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} \{k\}\) est fermé. Que peut-on en conclure sur les réunions infinies de fermés ?

Exercice 3 : Intérieur et adhérence dans R

Déterminez l’intérieur, l’adhérence et la frontière des parties suivantes de \(\mathbb{R}\).

1. \(A = [0,1[ \cup \{2\}\).
2. \(\mathbb{Q}\), puis \(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\).
3. \(\mathbb{Z}\).
4. \(B = \{\frac{1}{n} : n \in \mathbb{N}^*\}\).

Exercice 4 : Ouverts et fermés relatifs

On pose \(A = [0,1[ \cup ]2,3]\), partie de \(\mathbb{R}\).

1. Montrez que \([0,1[\) est à la fois un ouvert relatif et un fermé relatif de \(A\).
2. Montrez que \(]2,3]\) est un fermé relatif de \(A\), mais pas un fermé de \(\mathbb{R}\).
3. La partie \([\frac{1}{2}, 1[\) est-elle un fermé relatif de \(A\) ? Un ouvert relatif de \(A\) ?
4. Soit \(f : A \to \mathbb{R}\) définie par \(f(x) = 0\) si \(x < 1\) et \(f(x) = 1\) si \(x > 2\). Montrez que \(f\) est continue et déterminez \(f^{-1}(]-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}[)\). Vérifiez que c’est un ouvert relatif de \(A\).

Exercice 5 : Applications lipschitziennes et uniformément continues

1. Montrez que, pour tous \(x, y \geq\, 0\), \(|\sqrt{x} – \sqrt{y}| \leq\, \sqrt{|x – y|}\). Déduisez-en que la racine carrée est uniformément continue sur \(\mathbb{R}_+\).
2. Montrez que la racine carrée n’est lipschitzienne sur aucun intervalle \([0, a]\), \(a > 0\).
3. Montrez que \(x \mapsto x^2\) n’est pas uniformément continue sur \(\mathbb{R}\), mais qu’elle est lipschitzienne sur \([-a, a]\) pour tout \(a > 0\).
4. Montrez que \(\sin\) est 1-lipschitzienne sur \(\mathbb{R}\).

Exercice 6 : Formes linéaires sur C([0,1])

Soit \(E = \mathcal{C}([0,1], \mathbb{R})\), muni de \(\|f\|_\infty = \sup_{[0,1]} |f|\) ou de \(\|f\|_1 = \int_0^1 |f|\). On pose \(\varphi(f) = \int_0^1 t f(t)\,dt\) et \(\delta(f) = f(0)\).

1. Montrez que \(\varphi\) est continue pour \(\|\cdot\|_\infty\) et que \(|||\varphi||| = \frac{1}{2}\).
2. Montrez que \(\delta\) est continue pour \(\|\cdot\|_\infty\), de norme 1.
3. Pour \(n \geq\, 1\), on pose \(f_n(t) = \max(0, 1 – nt)\). Calculez \(\|f_n\|_1\) et \(\delta(f_n)\). Concluez que \(\delta\) n’est pas continue pour \(\|\cdot\|_1\).
4. Montrez que \(\varphi\) est continue pour \(\|\cdot\|_1\) avec \(|||\varphi||| \leq\, 1\). En utilisant \(g_n(t) = \max(0, 1 – n(1 – t))\), montrez que \(|||\varphi||| = 1\).

Exercice 7 : Une partie du plan : intérieur, adhérence, frontière

Dans \(\mathbb{R}^2\) muni de sa norme euclidienne, on considère la partie \(A = \{(x,y) : x^2 + y^2 < 1,\ y \geq\, 0\} \cup \{(2,0)\}\), représentée ci-dessous : un demi-disque ouvert en haut, auquel on ajoute le segment ouvert \(]-1,1[ \times \{0\}\) et le point isolé \((2,0)\).

1. Montrez que \(O = \{(x,y) : x^2 + y^2 < 1,\ y > 0\}\) est un ouvert inclus dans \(A\).
2. Déterminez l’intérieur de \(A\).
3. Déterminez l’adhérence de \(A\).
4. Déduisez-en la frontière de \(A\). La partie \(A\) est-elle ouverte ? fermée ?

Exercice 8 : Boules ouvertes, boules fermées et sphères

Soit \((E, \|\cdot\|)\) un espace normé non réduit à \(\{0\}\), \(a \in E\) et \(r > 0\).

1. Montrez que \(\overline{B(a,r)} = B_f(a,r)\). On pourra utiliser \(x_n = a + (1 – \frac{1}{n})(x – a)\).
2. Montrez que l’intérieur de \(B_f(a,r)\) est \(B(a,r)\).
3. Déduisez-en la frontière de \(B(a,r)\) et celle de \(B_f(a,r)\).
4. Montrez qu’un sous-espace vectoriel \(V\) de \(E\) d’intérieur non vide est égal à \(E\).

Exercice 9 : Fonctions croissantes et caractérisation séquentielle

Soit \(E = \mathcal{C}([0,1], \mathbb{R})\) muni de \(\|\cdot\|_\infty\). On note \(\mathcal{F}\) l’ensemble des fonctions croissantes de \(E\) et \(\mathcal{S}\) celui des fonctions strictement croissantes.

1. Montrez que \(\mathcal{F}\) est fermé, par la caractérisation séquentielle.
2. Retrouvez ce résultat en écrivant \(\mathcal{F}\) comme une intersection d’images réciproques.
3. Montrez que \(\mathcal{S}\) n’est pas fermé.
4. Déterminez l’adhérence de \(\mathcal{S}\).

Exercice 10 : Une partie ouverte pour une norme et pas pour l’autre

Soit \(E = \mathcal{C}([0,1], \mathbb{R})\) et \(U = \{f \in E : \forall t \in [0,1],\ f(t) > 0\}\).

1. Montrez que \(U\) est ouvert pour \(\|\cdot\|_\infty\).
2. Pour \(n \geq\, 1\), on pose \(g_n(t) = 1 – 2\max(0, 1 – nt)\). Calculez \(\|g_n – 1\|_1\) et \(g_n(0)\). Déduisez-en que \(U\) n’est pas ouvert pour \(\|\cdot\|_1\).
3. Montrez que l’adhérence de \(U\) pour \(\|\cdot\|_\infty\) est \(V = \{f \in E : f \geq\, 0\}\).
4. Montrez que l’intérieur de \(V\) pour \(\|\cdot\|_1\) est vide.

Exercice 11 : Limites en un point adhérent

On travaille sur \(\Omega = \mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}\), dont \((0,0)\) est un point adhérent. Étudiez l’existence d’une limite en \((0,0)\) pour chacune des fonctions suivantes.

1. \(f(x,y) = \dfrac{xy}{x^2 + y^2}\).
2. \(g(x,y) = \dfrac{x^2 y}{x^2 + y^2}\).
3. \(h(x,y) = \dfrac{x y^2}{x^2 + y^4}\). Calculez d’abord la limite le long de chaque droite \(y = mx\), puis le long de la parabole \(x = y^2\).
4. La fonction \(g\) se prolonge-t-elle en une fonction continue sur \(\mathbb{R}^2\) ? Et \(h\) ?

Exercice 12 : Fonction distance à une partie

Soit \(E\) un espace normé et \(A\) une partie non vide de \(E\). On pose \(d_A(x) = \inf_{a \in A} \|x – a\|\). La figure ci-dessous représente deux points \(x, y\) et leurs distances à une partie \(A\).

1. Montrez que \(|d_A(x) – d_A(y)| \leq\, \|x – y\|\) pour tous \(x, y \in E\).
2. Montrez que \(d_A(x) = 0\) si et seulement si \(x \in \overline{A}\).
3. Déduisez-en que tout fermé \(F\) non vide est de la forme \(g^{-1}(\{0\})\) avec \(g : E \to \mathbb{R}\) continue.
4. Soit \(F\) et \(G\) deux fermés non vides et disjoints. Montrez que \(h = \dfrac{d_F}{d_F + d_G}\) est bien définie et continue, qu’elle vaut 0 sur \(F\) et 1 sur \(G\). Déduisez-en deux ouverts disjoints \(U \supset F\) et \(V \supset G\).

Exercice 13 : Densité de GL_n(K) et polynôme caractéristique de AB

Soit \(n \geq\, 1\) et \(\mathbb{K} = \mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\). On munit \(\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) d’une norme quelconque.

1. Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\). Montrez que \(A – \frac{1}{p} I_n\) est inversible pour tout entier \(p\) assez grand. Déduisez-en que \(GL_n(\mathbb{K})\) est dense dans \(\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\).
2. Montrez que \(GL_n(\mathbb{K})\) est un ouvert de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\).
3. Soit \(A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) avec \(A\) inversible. Montrez que \(\chi_{AB} = \chi_{BA}\).
4. Déduisez-en, par densité, que \(\chi_{AB} = \chi_{BA}\) pour toutes matrices \(A, B\).

Exercice 14 : Équation de Cauchy et densité de Q

Soit \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) continue telle que \(f(x + y) = f(x) + f(y)\) pour tous réels \(x, y\). On pose \(a = f(1)\).

1. Montrez que \(f(0) = 0\), puis que \(f(nx) = n f(x)\) pour tout \(n \in \mathbb{Z}\) et tout \(x \in \mathbb{R}\).
2. Montrez que \(f(r) = ar\) pour tout \(r \in \mathbb{Q}\).
3. Rappelez pourquoi \(\mathbb{Q}\) est dense dans \(\mathbb{R}\), puis concluez que \(f(x) = ax\) pour tout réel \(x\).

Exercice 15 : Norme subordonnée d’une matrice

On note \(|||\cdot|||_\infty\) et \(|||\cdot|||_1\) les normes subordonnées aux normes \(\|\cdot\|_\infty\) et \(\|\cdot\|_1\) de \(\mathbb{K}^n\).

1. Soit \(M = (m_{ij}) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\). Montrez que \(|||M|||_\infty = \max_{1 \leq\, i \leq\, n} \sum_{j=1}^n |m_{ij}|\).
2. Montrez que \(|||M|||_1 = \max_{1 \leq\, j \leq\, n} \sum_{i=1}^n |m_{ij}|\).
3. On pose \(A = \begin{pmatrix} 1 -1 \\ 2 3 \end{pmatrix}\). Calculez \(|||A|||_\infty\) et \(|||A|||_1\), et donnez un vecteur où chaque norme est atteinte.
4. Montrez que toute valeur propre complexe \(\lambda\) d’une matrice \(M\) vérifie \(|\lambda| \leq\, |||M|||\), pour toute norme subordonnée. Vérifiez-le sur les valeurs propres de \(A\).
5. Majorez \(\|A^k x\|_\infty\) pour \(x \in \mathbb{R}^2\) et \(k \in \mathbb{N}\).

Exercice 16 : Dérivation des polynômes : continue ou non

Sur \(E = \mathbb{R}[X]\), on note \(D : P \mapsto P^{\prime}\). Pour \(P = \sum_{k} a_k X^k\), on pose

\[N_\infty(P) = \sup_{t \in [0,1]} |P(t)|, \qquad N_1(P) = \sum_k |a_k|, \qquad N(P) = \sum_k k!\,|a_k|.\]

La figure ci-dessous représente les fonctions \(t \mapsto t^n\) et leurs dérivées sur \([0,1]\).

1. Justifiez que \(N_\infty\), \(N_1\) et \(N\) sont des normes sur \(E\).
2. Montrez que \(D\) n’est continue ni pour \(N_\infty\) ni pour \(N_1\).
3. Montrez que \(D\) est continue pour \(N\) et calculez sa norme subordonnée.

Exercice 17 : Applications multilinéaires continues

1. Soit \(B : \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) bilinéaire. Montrez qu’il existe \(C \geq\, 0\) tel que \(|B(x,y)| \leq\, C\|x\|_\infty \|y\|_\infty\), puis que \(B\) est continue.
2. Montrez que \((A, B) \mapsto AB\) est continue sur \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})^2\), puis que \(A \mapsto A^{-1}\) est continue sur \(GL_n(\mathbb{R})\).
3. Sur \(E = \mathcal{C}([0,1], \mathbb{R})\), on pose \(\Phi(f,g) = \int_0^1 f(t) g(t)\,dt\). Montrez que \(\Phi\) est continue pour \(\|\cdot\|_\infty\).
4. Avec \(h_n(t) = n\max(0, 1 – nt)\), montrez que \(\Phi\) n’est pas continue pour \(\|\cdot\|_1\).

Exercice 18 : Opérateur de primitivation

Soit \(E = \mathcal{C}([0,1], \mathbb{R})\) et \(T : E \to E\) défini par \(T(f)(x) = \int_0^x f(t)\,dt\).

1. Justifiez que \(T\) est un endomorphisme de \(E\).
2. On munit \(E\) de \(\|\cdot\|_\infty\). Montrez que \(T\) est continue et calculez \(|||T|||\).
3. On munit \(E\) de \(\|\cdot\|_1\). Montrez, par une intégration par parties, que \(\|T(f)\|_1 \leq\, \int_0^1 (1 – t)|f(t)|\,dt\), puis que \(T\) est continue avec \(|||T||| \leq\, 1\).
4. Avec \(f_n(t) = \max(0, 1 – nt)\), montrez que \(|||T||| = 1\) pour \(\|\cdot\|_1\).
5. Montrez que cette norme n’est atteinte en aucune fonction non nulle.

Exercice 19 : Forme linéaire continue et noyau fermé

Soit \(E\) un espace normé et \(\varphi\) une forme linéaire non nulle sur \(E\).

1. Montrez que si \(\varphi\) est continue, alors \(\ker \varphi\) est fermé.
2. On suppose \(\varphi\) non continue. Montrez qu’il existe une suite \((y_n)\) de \(E\) telle que \(\varphi(y_n) = 1\) et \(\|y_n\| \to 0\).
3. Déduisez-en que, si \(\varphi\) n’est pas continue, \(\ker \varphi\) est dense dans \(E\). Concluez que \(\varphi\) est continue si et seulement si \(\ker \varphi\) est fermé.
4. Application : sur \(\mathcal{C}([0,1], \mathbb{R})\) muni de \(\|\cdot\|_1\), montrez que \(H = \{f : f(0) = 0\}\) est dense.

Exercice 20 : Sous-groupes additifs de R

Soit \(G\) un sous-groupe de \((\mathbb{R}, +)\) non réduit à \(\{0\}\). On pose \(\alpha = \inf\,(G \cap ]0, +\infty[)\).

1. Justifiez que \(\alpha\) existe.
2. On suppose \(\alpha > 0\). Montrez que \(\alpha \in G\), puis que \(G = \alpha\mathbb{Z}\).
3. On suppose \(\alpha = 0\). Montrez que \(G\) est dense dans \(\mathbb{R}\).
4. Montrez que \(G = \mathbb{Z} + \sqrt{2}\,\mathbb{Z}\) est dense dans \(\mathbb{R}\).
5. Soit \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) continue, 1-périodique et \(\sqrt{2}\)-périodique. Montrez que \(f\) est constante.

Exercice 21 : Croissance d’une fonction uniformément continue

Soit \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) uniformément continue.

1. Montrez qu’il existe \(\delta > 0\) tel que \(|x – y| \leq\, \delta \Rightarrow |f(x) – f(y)| \leq\, 1\).
2. Soit \(x > 0\) et \(N = \lfloor x/\delta \rfloor + 1\). En découpant \([0, x]\) en \(N\) morceaux égaux, montrez que \(|f(x) – f(0)| \leq\, \frac{x}{\delta} + 1\).
3. Déduisez-en qu’il existe \(a, b \geq\, 0\) tels que \(|f(x)| \leq\, a|x| + b\) pour tout réel \(x\).
4. Déduisez-en que \(x \mapsto x^2\) et \(\exp\) ne sont pas uniformément continues sur \(\mathbb{R}\).
5. Montrez que \(x \mapsto \sin(x^2)\) n’est pas uniformément continue sur \(\mathbb{R}\), bien qu’elle soit bornée. La réciproque de la question 3 est-elle vraie ?

Exercice 22 : Problème : formes linéaires sur R[X] et normes non équivalentes

Sur \(E = \mathbb{R}[X]\), on considère les normes \(N_1(\sum a_k X^k) = \sum |a_k|\) et \(N_\infty(P) = \sup_{t \in [0,1]} |P(t)|\). Pour \(a \in \mathbb{R}\), on note \(e_a : P \mapsto P(a)\) la forme linéaire d’évaluation en \(a\).

1. Montrez que \(N_\infty \leq\, N_1\).
2. En étudiant \(P_n = (1 – X)^n\), montrez que les normes \(N_1\) et \(N_\infty\) ne sont pas équivalentes.
3. Montrez que \(e_a\) est continue pour \(N_1\) si et seulement si \(|a| \leq\, 1\), et que sa norme vaut alors 1.
4. Montrez que \(e_a\) est continue pour \(N_\infty\) si et seulement si \(a \in [0,1]\), et que sa norme vaut alors 1.
5. Montrez que \(H_2 = \{P : P(2) = 0\}\) est dense dans \(E\) pour \(N_1\) et pour \(N_\infty\). On pourra utiliser \(Q_n = X^n / 2^n\).
6. Montrez que \(H_{-1} = \{P : P(-1) = 0\}\) est fermé pour \(N_1\) mais dense pour \(N_\infty\).
7. Soit \(\psi(P) = \int_0^1 P(t)\,dt\). Montrez que \(\psi\) est continue pour les deux normes, de norme 1 dans les deux cas.

Le corrigé des exercices

Chaque exercice est corrigé en détail, question par question, sur la page suivante.

Pour aller plus loin en maths spé

• Le cours : topologie et continuité, cours de maths spé
• À maîtriser avant : Normes, espaces vectoriels normés et suites
• Chapitre précédent : Normes, espaces vectoriels normés et suites
• Chapitre suivant : Compacité, connexité par arcs et dimension finie
• Tester vos connaissances : QCM de maths spé par chapitre
• Le sommaire : tous les chapitres de maths spé et les chapitres de maths sup