Espaces vectoriels normés : exercices de maths spé corrigés en PDF.

Exercice 1 : Vérifier qu’une application est une norme

Pour \((x, y) \in \mathbb{R}^2\), on considère les quatre applications suivantes : \[N_1(x, y) = |x| + 2|y|, \quad N_2(x, y) = \max(|x + y|, |x – y|), \quad N_3(x, y) = |x – y|, \quad N_4(x, y) = |2x + y| + |x – y|.\]

1. Montrer que \(N_1\) est une norme sur \(\mathbb{R}^2\).
2. Montrer que, pour tous réels \(a\) et \(b\), \(\max(|a + b|, |a – b|) = |a| + |b|\). En déduire que \(N_2\) est une norme.
3. L’application \(N_3\) est-elle une norme ?
4. Montrer que \(N_4\) est une norme, en l’écrivant \(N_4 = \|\cdot\|_1 \circ u\) pour une application linéaire \(u\) bien choisie.

Exercice 2 : Distance associée à une norme

Soit \((E, \|\cdot\|)\) un espace vectoriel normé réel non réduit à \(\{0\}\) et \(d(x, y) = \|x – y\|\) la distance associée.

1. Montrer que \(d(x + z, y + z) = d(x, y)\) et \(d(\lambda x, \lambda y) = |\lambda| \, d(x, y)\) pour tous \(x, y, z \in E\) et \(\lambda \in \mathbb{R}\).
2. Sur \(\mathbb{R}^2\), on pose \(\delta(x, y) = 0\) si \(x = y\) et \(\delta(x, y) = 1\) sinon. Montrer que \(\delta\) est une distance.
3. Montrer qu’il n’existe aucune norme sur \(\mathbb{R}^2\) dont \(\delta\) soit la distance associée.
4. Déterminer, pour \(\delta\), les boules ouvertes \(B(0, 1)\) et \(B(0, 2)\).

Exercice 3 : Comparaison des normes usuelles sur K^n

Soit \(n \geq\, 2\) et \(x \in \mathbb{K}^n\).

1. Montrer que \(\|x\|_\infty \leq\, \|x\|_2 \leq\, \|x\|_1\).
2. Montrer que \(\|x\|_1 \leq\, \sqrt{n} \, \|x\|_2\) et \(\|x\|_2 \leq\, \sqrt{n} \, \|x\|_\infty\).
3. Montrer que les quatre constantes \(1, 1, \sqrt{n}, \sqrt{n}\) sont optimales.
4. En déduire la meilleure constante \(c\) telle que \(\|x\|_1 \leq\, c \, \|x\|_\infty\) pour tout \(x\).

Exercice 4 : Boule unité d’une norme hexagonale

Pour \((x, y) \in \mathbb{R}^2\), on pose \(N(x, y) = \max(|x|, |y|, |x – y|)\).

1. Montrer que \(N\) est une norme sur \(\mathbb{R}^2\).
2. Représenter la boule unité fermée de \(N\) et préciser ses sommets.
3. Montrer que \(\|v\|_\infty \leq\, N(v) \leq\, 2 \|v\|_\infty\) pour tout \(v \in \mathbb{R}^2\), avec des constantes optimales.
4. Montrer de même que \(N(v) \leq\, \|v\|_1 \leq\, 2 N(v)\), avec des constantes optimales.

Exercice 5 : Boules unité des normes p

Soit \(n \geq\, 1\), \(x \in \mathbb{R}^n\) et \(p \geq\, 1\) un réel. On pose \(\|x\|_p = \big( \sum_{i=1}^n |x_i|^p \big)^{1/p}\) et l’on admet que \(\|\cdot\|_p\) est une norme. La figure ci-dessous représente les sphères unités de \(\|\cdot\|_1\), \(\|\cdot\|_2\), \(\|\cdot\|_4\) et \(\|\cdot\|_\infty\) dans \(\mathbb{R}^2\).

1. Montrer que \(\|x\|_\infty \leq\, \|x\|_p \leq\, n^{1/p} \, \|x\|_\infty\).
2. En déduire que \(\|x\|_p \to \|x\|_\infty\) lorsque \(p \to +\infty\).
3. Soit \(1 \leq\, p \leq\, q\). Montrer que \(\|x\|_q \leq\, \|x\|_p\). On pourra d’abord traiter le cas \(\|x\|_p = 1\). Interpréter la figure.
4. Calculer \(\|(3, 4)\|_1\), \(\|(3, 4)\|_2\) et \(\|(3, 4)\|_\infty\), et vérifier l’ordre obtenu.

Exercice 6 : Une application qui n’est pas une norme

Pour \((x, y) \in \mathbb{R}^2\), on pose \(N(x, y) = \big( \sqrt{|x|} + \sqrt{|y|} \big)^2\).

1. Montrer que \(N\) vérifie la séparation et l’homogénéité.
2. Calculer \(N(1, 0)\), \(N(0, 1)\) et \(N(1, 1)\). L’application \(N\) est-elle une norme ?
3. Montrer que l’ensemble \(B = \{v \in \mathbb{R}^2, \ N(v) \leq\, 1\}\) n’est pas convexe.
4. Plus généralement, soit \(E\) un espace vectoriel réel et \(\nu : E \to \mathbb{R}_+\) une application qui vérifie la séparation et l’homogénéité. On note \(B_\nu = \{x \in E, \ \nu(x) \leq\, 1\}\). Montrer que \(\nu\) est une norme si et seulement si \(B_\nu\) est convexe.

Exercice 7 : Une norme euclidienne sur R^2

Pour \(v = (x, y) \in \mathbb{R}^2\), on pose \(N(v) = \sqrt{x^2 + xy + y^2}\).

1. Montrer que \(\varphi\big( (x, y), (x^{\prime}, y^{\prime}) \big) = x x^{\prime} + \frac12 (x y^{\prime} + x^{\prime} y) + y y^{\prime}\) est un produit scalaire sur \(\mathbb{R}^2\). En déduire que \(N\) est une norme.
2. Montrer que \(\frac12 \|v\|_2^2 \leq\, N(v)^2 \leq\, \frac32 \|v\|_2^2\), et que ces constantes sont optimales.
3. En déduire deux disques centrés en l’origine qui encadrent la boule unité de \(N\). Décrire cette boule.

Exercice 8 : Parties et fonctions bornées

On munit \(E = \mathcal{C}([0, 1], \mathbb{R})\) de la norme \(\|\cdot\|_\infty\).

1. Soit \(A\) l’ensemble des \(f \in E\) telles que \(f(0) = 0\) et \(|f(x) – f(y)| \leq\, |x – y|\) pour tous \(x, y \in [0, 1]\). Montrer que \(A\) est une partie bornée de \(E\).
2. Pour \(n \in \mathbb{N}\), on pose \(f_n(x) = x^n\) et \(g_n(x) = n x\). Les suites \((f_n)\) et \((g_n)\) sont-elles bornées dans \(E\) ?
3. Dans \((\mathbb{R}^2, \|\cdot\|_\infty)\), les fonctions \(\varphi(t) = (\cos t, \sin 2t)\) et \(\psi(t) = (t \cos t, \sin t)\), définies sur \(\mathbb{R}\), sont-elles bornées ?
4. Dans \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\), on pose \(A = \begin{pmatrix} 1 1 \\ 0 1 \end{pmatrix}\). L’ensemble \(\{A^n, \ n \in \mathbb{N}\}\) est-il borné ? On justifiera que la réponse ne dépend pas de la norme choisie parmi \(\|M\|_\infty = \max |m_{ij}|\) et \(\|M\|_1 = \sum |m_{ij}|\).

Exercice 9 : Une norme sur R_n[X]

Soit \(n \geq\, 1\). Pour \(P \in \mathbb{R}_n[X]\), on pose \(N(P) = \sum_{k=0}^n |P(k)|\).

1. Montrer que \(N\) est une norme sur \(\mathbb{R}_n[X]\).
2. Pour \(n = 2\), calculer \(N(X)\), \(N(X^2)\) et \(N\big( (X – 1)^2 \big)\).
3. On pose \(N^{\prime}(P) = \sum_{k=0}^{n-1} |P(k)|\). Montrer que \(N^{\prime}\) n’est pas une norme sur \(\mathbb{R}_n[X]\).
4. L’application \(N\) est-elle une norme sur \(\mathbb{R}_{n+1}[X]\) ?

Exercice 10 : Norme de la convergence uniforme

On note \(\mathcal{B} = \mathcal{B}(\mathbb{R}, \mathbb{R})\) l’espace des fonctions bornées, muni de \(\|\cdot\|_\infty\). Pour \(n \geq\, 1\) et \(x \in \mathbb{R}\), on pose \[f_n(x) = \frac{x}{1 + n x^2} \qquad \text{et} \qquad g_n(x) = \frac{n x}{1 + n^2 x^2}.\] La figure ci-dessous représente quelques fonctions \(g_n\).

1. Montrer que \(f_n \in \mathcal{B}\) et calculer \(\|f_n\|_\infty\). La suite \((f_n)\) converge-t-elle dans \(\mathcal{B}\) ?
2. Calculer \(\|g_n\|_\infty\). Montrer que, pour tout réel \(x\), \(g_n(x) \to 0\).
3. Montrer que \((g_n)\) ne converge pas dans \((\mathcal{B}, \|\cdot\|_\infty)\).

Exercice 11 : Normes 1, 2 et infini sur C([0,1])

On munit \(E = \mathcal{C}([0, 1], \mathbb{R})\) des normes \(\|\cdot\|_1\), \(\|\cdot\|_2\) et \(\|\cdot\|_\infty\).

1. Montrer que \(\|f\|_1 \leq\, \|f\|_2 \leq\, \|f\|_\infty\) pour toute \(f \in E\).
2. Avec \(f_n(x) = x^n\), montrer que \(\|\cdot\|_1\) et \(\|\cdot\|_\infty\) ne sont pas équivalentes, puis que \(\|\cdot\|_2\) et \(\|\cdot\|_\infty\) ne le sont pas non plus.
3. Avec \(h_n(x) = \sqrt{n} \, x^n\), montrer que \(\|\cdot\|_1\) et \(\|\cdot\|_2\) ne sont pas équivalentes.
4. Étudier la convergence de \((h_n)\) vers \(0\) pour chacune des trois normes.

Exercice 12 : Convergence en moyenne sans convergence uniforme

Pour \(n \geq\, 2\) et \(x \in [0, 1]\), on pose \(f_n(x) = \max\big( 0, \, 1 – n \big| x – \frac12 \big| \big)\).

1. Justifier que \(f_n\) est continue et décrire son graphe.
2. Calculer \(\|f_n\|_\infty\), \(\|f_n\|_1\) et \(\|f_n\|_2\).
3. En déduire que \((f_n)\) converge vers \(0\) en moyenne et en moyenne quadratique.
4. Montrer que \((f_n)\) ne converge pas dans \((E, \|\cdot\|_\infty)\), où \(E = \mathcal{C}([0, 1], \mathbb{R})\).

Exercice 13 : Une norme sur les fonctions de classe C1

Soit \(E = \mathcal{C}^1([0, 1], \mathbb{R})\). Pour \(f \in E\), on pose \(N(f) = |f(0)| + \|f^{\prime}\|_\infty\) et \(M(f) = \|f\|_\infty + \|f^{\prime}\|_\infty\).

1. Montrer que \(N\) est une norme sur \(E\).
2. Montrer que \(\|f\|_\infty \leq\, N(f)\) pour toute \(f \in E\).
3. Montrer que \(N\) et \(M\) sont équivalentes.
4. Avec \(f_n(x) = \sin(n \pi x)\), montrer que \(N\) et \(\|\cdot\|_\infty\) ne sont pas équivalentes sur \(E\).
5. On pose \(u_n = \frac{1}{\sqrt{n}} f_n\). Étudier la convergence de \((u_n)\) dans \((E, \|\cdot\|_\infty)\), puis dans \((E, N)\).

Exercice 14 : Produit d’espaces normés

Soit \((E, \|\cdot\|_E)\) et \((F, \|\cdot\|_F)\) deux espaces vectoriels normés. Pour \((x, y) \in E \times F\), on pose \(N(x, y) = \max(\|x\|_E, \|y\|_F)\) et \(N^{\prime}(x, y) = \|x\|_E + \|y\|_F\).

1. Montrer que \(N\) et \(N^{\prime}\) sont des normes sur \(E \times F\), et que \(N \leq\, N^{\prime} \leq\, 2N\).
2. Montrer que \((x_n, y_n)\) converge vers \((a, b)\) pour \(N\) si et seulement si \(x_n \to a\) dans \(E\) et \(y_n \to b\) dans \(F\).
3. Montrer que la boule ouverte de centre \((a, b)\) et de rayon \(r\) pour \(N\) est \(B_E(a, r) \times B_F(b, r)\).
4. Application : dans \(\mathbb{R} \times \mathcal{M}_2(\mathbb{R})\), étudier la suite \(\big( \frac{n}{n+1}, \, \frac1n I_2 \big)\).

Exercice 15 : Inclusion de boules

Soit \((E, \|\cdot\|)\) un espace vectoriel normé non réduit à \(\{0\}\), \(a, b \in E\) et \(r, s > 0\). On note \(B(c, \rho)\) la boule ouverte de centre \(c\) et de rayon \(\rho\).

1. Montrer que si \(\|a – b\| + r \leq\, s\), alors \(B(a, r) \subset B(b, s)\).
2. Réciproquement, on suppose \(B(a, r) \subset B(b, s)\). En considérant les points \(a + t u\), où \(u\) est un vecteur unitaire bien choisi et \(t \in [0, r[\), montrer que \(\|a – b\| + r \leq\, s\).
3. En déduire que \(B(a, r) = B(b, s)\) implique \(a = b\) et \(r = s\).
4. Pour quels \(a\) a-t-on \(B(0, 1) \subset B(a, 2)\) ?

Exercice 16 : Suites de vecteurs de R^3

On travaille dans \(\mathbb{R}^3\) muni de l’une des normes usuelles. Pour \(n \geq\, 1\), on pose : \[u_n = \Big( \big( 1 + \tfrac1n \big)^n, \ n \sin \tfrac1n, \ \frac{n^2 + 1}{2n^2 – n} \Big), \quad v_n = \big( \tfrac1n, \ \ln n, \ 0 \big), \quad w_n = \big( \tfrac{(-1)^n}{n}, \ \cos(n \pi), \ 1 \big).\]

1. Expliquer pourquoi la nature de ces suites ne dépend pas de la norme usuelle choisie.
2. Montrer que \((u_n)\) converge et donner sa limite.
3. Montrer que \((v_n)\) diverge.
4. Déterminer deux valeurs d’adhérence de \((w_n)\) et conclure.

Exercice 17 : Puissances d’une matrice

On munit \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) de la norme \(\|M\|_\infty = \max_{i,j} |m_{ij}|\). On pose \[A = \begin{pmatrix} \frac12 1 \\ 0 \frac12 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 0 -1 \\ 1 0 \end{pmatrix}.\]

1. Écrire \(A = \frac12 I_2 + J\) et calculer \(A^n\) pour \(n \geq\, 1\).
2. Montrer que la suite \((A^n)\) converge et préciser sa limite.
3. Calculer \(B^2\) et \(B^4\). Déterminer les valeurs d’adhérence de \((B^n)\). La suite converge-t-elle ?

Exercice 18 : Suite récurrente dans R^2

On définit une suite \(U_n = (x_n, y_n)\) de \(\mathbb{R}^2\) par \(U_0 = (3, 0)\) et, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \[x_{n+1} = \frac{x_n + 2 y_n}{3}, \qquad y_{n+1} = \frac{2 x_n + y_n}{3}.\]

1. Montrer que \(s_n = x_n + y_n\) est constante et que \(d_n = x_n – y_n\) est géométrique.
2. En déduire \(x_n\) et \(y_n\) en fonction de \(n\).
3. Montrer que \((U_n)\) converge dans \(\mathbb{R}^2\) et calculer \(\|U_n – L\|_\infty\), où \(L\) est la limite.
4. Écrire \(U_{n+1} = M U_n\) avec une matrice \(M\) et en déduire la limite de \((M^n)\).

Exercice 19 : Valeurs d’adhérence dans C

Pour \(n \geq\, 1\), on pose \(z_n = \big( 1 + \frac1n \big) e^{i n \pi / 3}\).

1. Montrer que la suite \((z_n)\) est bornée.
2. Pour \(r \in \{0, 1, \ldots, 5\}\), déterminer la limite de la suite extraite \((z_{6k + r})_{k \geq\, 1}\).
3. En déduire que \((z_n)\) diverge.
4. Montrer que \((z_n)\) n’a pas d’autre valeur d’adhérence que les six nombres trouvés.

Exercice 20 : Suites extraites et convergence

Soit \((E, \|\cdot\|)\) un espace vectoriel normé et \((u_n)\) une suite de \(E\).

1. On suppose que \((u_{2n})\) et \((u_{2n+1})\) convergent vers le même vecteur \(\ell\). Montrer que \((u_n)\) converge vers \(\ell\).
2. On suppose que \((u_{2n})\), \((u_{2n+1})\) et \((u_{3n})\) convergent. Montrer que \((u_n)\) converge.
3. Montrer par un exemple que la convergence de \((u_{2n})\) et de \((u_{2n+1})\) seules ne suffit pas.
4. Dans \((\mathbb{R}^2, \|\cdot\|_2)\), déterminer les valeurs d’adhérence de \(u_n = \big( (-1)^n, \frac1n \big)\).

Exercice 21 : Normes matricielles

Pour \(A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\), on pose \(N(A) = \max_{1 \leq\, i \leq\, n} \sum_{j=1}^n |a_{ij}|\) et \(\|A\|_\infty = \max_{i,j} |a_{ij}|\).

1. Montrer que \(N\) est une norme sur \(\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\), et que \(\|A\|_\infty \leq\, N(A) \leq\, n \|A\|_\infty\).
2. Montrer que \(N(AB) \leq\, N(A) \, N(B)\) pour toutes matrices \(A, B\).
3. En déduire que si \(N(A) < 1\), alors \(A^k \to 0\). Application à \(A = \begin{pmatrix} 0{,}5 0{,}3 \\ 0{,}2 0{,}4 \end{pmatrix}\).
4. Montrer que \(\|\cdot\|_\infty\) ne vérifie pas \(\|AB\|_\infty \leq\, \|A\|_\infty \|B\|_\infty\) pour tout \(A, B\), dès que \(n \geq\, 2\).

Exercice 22 : Caractérisation séquentielle des normes équivalentes

Soit \(N\) et \(N^{\prime}\) deux normes sur un espace vectoriel \(E\).

1. Montrer que s’il existe \(C > 0\) tel que \(N^{\prime} \leq\, C N\), alors toute suite qui tend vers \(0\) pour \(N\) tend vers \(0\) pour \(N^{\prime}\).
2. Réciproquement, on suppose qu’aucune constante \(C\) ne vérifie \(N^{\prime} \leq\, C N\). Construire une suite \((y_n)\) telle que \(N(y_n) \to 0\) et \(N^{\prime}(y_n) \to +\infty\).
3. En déduire que \(N\) et \(N^{\prime}\) sont équivalentes si et seulement si elles ont les mêmes suites de limite nulle.
4. Montrer que l’équivalence des normes est une relation d’équivalence.

Exercice 23 : Problème : normes sur R[X]

Pour \(P = \sum_{k=0}^d a_k X^k \in \mathbb{R}[X]\), on pose \[N_1(P) = \sum_{k=0}^d |a_k|, \qquad N_\infty(P) = \max_{0 \leq\, k \leq\, d} |a_k|, \qquad S_a(P) = \sup_{t \in [0, a]} |P(t)| \quad (a > 0).\]

1. Montrer que \(N_1\), \(N_\infty\) et \(S_a\) sont des normes sur \(\mathbb{R}[X]\).
2. Montrer que \(N_\infty \leq\, N_1\). Avec \(P_n = \sum_{k=0}^n X^k\), montrer que \(N_1\) et \(N_\infty\) ne sont pas équivalentes.
3. Montrer que \(S_1 \leq\, N_1\). Avec \(Q_n = (1 – X)^n\), montrer que \(S_1\) et \(N_1\) ne sont pas équivalentes.
4. Soit \(0 < a < b\). Montrer que \(S_a \leq\, S_b\), puis que \(S_a\) et \(S_b\) ne sont pas équivalentes.
5. On pose \(T_n = \frac{1}{n} X^n\) pour \(n \geq\, 1\). Étudier la convergence de \((T_n)\) pour \(N_1\), pour \(S_1\) et pour \(S_2\).
6. Montrer qu’il n’existe aucune constante \(C\) telle que \(N_\infty \leq\, C S_1\), ni aucune constante \(C^{\prime}\) telle que \(S_1 \leq\, C^{\prime} N_\infty\).

Le corrigé des exercices

Chaque exercice est corrigé en détail, question par question, sur la page suivante.

Pour aller plus loin en maths spé

• Le cours : espaces vectoriels normés, cours de maths spé
• Chapitre précédent : Polynômes d'endomorphismes et Cayley-Hamilton
• Chapitre suivant : Topologie d'un espace normé et continuité
• Le même thème en L3 : espaces vectoriels normés, exercices de maths en L3
• Tester vos connaissances : QCM de maths spé par chapitre
• Le sommaire : tous les chapitres de maths spé et les chapitres de maths sup