Fractions rationnelles : exercices de maths sup corrigés en PDF.

Exercice 1 : PGCD par l’algorithme d’Euclide

On considère \(A = X^4 + X^3 + 2X^2 + X + 1\) et \(B = X^3 + 2X^2 + 2X + 1\) dans \(\mathbb{R}[X]\).

1. Effectuer l’algorithme d’Euclide et en déduire \(A \wedge B\).
2. Donner deux polynômes \(U\) et \(V\) tels que \(AU + BV = A \wedge B\).
3. Factoriser \(A\) et \(B\) dans \(\mathbb{R}[X]\), puis dans \(\mathbb{C}[X]\), et retrouver le PGCD.

Exercice 2 : Relation de Bézout et ses solutions

Soient \(A = (X – 1)^2\) et \(B = X^2 + 1\) dans \(\mathbb{R}[X]\).

1. Justifier que \(A\) et \(B\) sont premiers entre eux.
2. Déterminer deux polynômes \(U_0\) et \(V_0\) tels que \(AU_0 + BV_0 = 1\).
3. À l’aide du lemme de Gauss, déterminer tous les couples \((U, V) \in \mathbb{R}[X]^2\) tels que \(AU + BV = 1\).
4. Montrer qu’il existe un unique couple solution avec \(\deg U < 2\) et \(\deg V < 2\).

Exercice 3 : Un polynôme et sa dérivée

Soit \(P \in \mathbb{C}[X]\) non constant.

1. Montrer que \(P\) et \(P^{\prime}\) sont premiers entre eux si et seulement si toutes les racines de \(P\) sont simples.
2. Pour \(n \geq\, 1\), montrer que \(X^n – 1\) et sa dérivée sont premiers entre eux.
3. Déterminer \(P \wedge P^{\prime}\) pour \(P = X^3 – 3X + 2\).

Exercice 4 : PGCD de X^m − 1 et X^n − 1

Soient \(m\) et \(n\) deux entiers naturels non nuls, et \(d = \operatorname{pgcd}(m, n)\).

1. Montrer que si deux polynômes de \(\mathbb{C}[X]\) sont scindés à racines simples, leur PGCD est le produit des \(X – a\), où \(a\) parcourt leurs racines communes.
2. Déterminer \((X^6 – 1) \wedge (X^4 – 1)\).
3. Soit \(z \in \mathbb{C}\). Montrer que \(z^m = 1\) et \(z^n = 1\) si et seulement si \(z^d = 1\). On pourra utiliser une relation de Bézout entre \(m\) et \(n\).
4. En déduire que \((X^m – 1) \wedge (X^n – 1) = X^d – 1\).

Exercice 5 : PPCM de deux polynômes

Soient \(A = X^3 – X\) et \(B = X^3 + X^2\).

1. Factoriser \(A\) et \(B\) en produits d’irréductibles de \(\mathbb{R}[X]\).
2. En déduire \(A \wedge B\) et \(A \vee B\).
3. Vérifier la relation \((A \wedge B)(A \vee B) = AB\).
4. Déterminer tous les polynômes \(P\) de degré au plus 5 divisibles à la fois par \(A\) et par \(B\).

Exercice 6 : Lemme de Gauss et divisibilité

On note \(j = e^{2i\pi/3}\).

1. Soient \(A, B, C \in \mathbb{K}[X]\) avec \(A \wedge B = 1\), \(A \mid C\) et \(B \mid C\). Montrer que \(AB \mid C\).
2. Soient \(a, b, c \in \mathbb{N}\). Montrer que \(X^2 + X + 1\) divise \(X^{3a} + X^{3b+1} + X^{3c+2}\).
3. Vérifier que \(X^4 + X^2 + 1 = (X^2 + X + 1)(X^2 – X + 1)\) et que ces deux facteurs sont premiers entre eux.
4. Montrer que \(X^4 + X^2 + 1\) divise \(Q = X^{12} + X^4 + X^2\).

Exercice 7 : Factorisations classiques

1. Factoriser \(X^4 + 1\) dans \(\mathbb{C}[X]\), puis dans \(\mathbb{R}[X]\).
2. Retrouver la factorisation réelle de \(X^4 + 1\) en écrivant \(X^4 + 1 = (X^2 + 1)^2 – 2X^2\).
3. Factoriser \(X^4 + X^2 + 1\) dans \(\mathbb{R}[X]\) par la même astuce.
4. Factoriser \(X^3 + 8\) dans \(\mathbb{R}[X]\) et dans \(\mathbb{C}[X]\).

Exercice 8 : Factorisation de X^5 − 1 et X^6 + 1

On note \(\omega = e^{2i\pi/5}\). La figure ci-dessous représente les racines cinquièmes de l’unité.

1. Écrire la factorisation de \(X^5 – 1\) dans \(\mathbb{R}[X]\) à l’aide de \(\cos\frac{2\pi}{5}\) et \(\cos\frac{4\pi}{5}\).
2. En posant \(a = 2\cos\frac{2\pi}{5}\) et \(b = 2\cos\frac{4\pi}{5}\), calculer \(a + b\) et \(ab\) en identifiant les coefficients. En déduire \(\cos\frac{2\pi}{5} = \frac{\sqrt{5} – 1}{4}\).
3. Écrire alors \(X^5 – 1\) comme produit d’irréductibles de \(\mathbb{R}[X]\) à coefficients explicites.
4. Factoriser \(X^6 + 1\) dans \(\mathbb{R}[X]\).

Exercice 9 : Factorisation à partir d’une racine complexe

Soit \(P = X^4 – 2X^3 + 6X^2 – 2X + 5\).

1. Calculer \(P(i)\). Que peut-on en déduire pour \(P(-i)\) ?
2. En déduire que \(X^2 + 1\) divise \(P\), et calculer le quotient.
3. Factoriser \(P\) dans \(\mathbb{R}[X]\) puis dans \(\mathbb{C}[X]\).

Exercice 10 : Polynômes réels positifs

Soit \(P \in \mathbb{R}[X]\) non nul tel que \(P(x) \geq\, 0\) pour tout réel \(x\).

1. Montrer que le coefficient dominant de \(P\) est strictement positif et que chaque racine réelle de \(P\) est de multiplicité paire.
2. En utilisant la factorisation de \(P\) dans \(\mathbb{C}[X]\), montrer qu’il existe \(c > 0\), \(S \in \mathbb{R}[X]\) et \(T \in \mathbb{C}[X]\) tels que \(P = c\, S^2\, T\, \overline{T}\), où \(\overline{T}\) désigne le polynôme dont les coefficients sont les conjugués de ceux de \(T\).
3. En écrivant \(T = A + iB\) avec \(A, B \in \mathbb{R}[X]\), montrer que \(P\) est la somme des carrés de deux polynômes réels.
4. Écrire explicitement \(X^4 + 1\) comme somme de deux carrés de polynômes réels.

Exercice 11 : Forme irréductible, degré et partie entière

1. Soit \(F = \frac{X^3 – 3X + 2}{X^3 – X^2 – X + 1}\). Mettre \(F\) sous forme irréductible, puis donner son degré, sa partie entière, ses zéros et ses pôles avec leurs multiplicités.
2. Soit \(G = \frac{2X^4 + X^3 + 1}{X^2 + 1}\). Déterminer la partie entière de \(G\) et écrire \(G = E + \frac{R}{X^2 + 1}\) avec \(\deg R < 2\).
3. Déterminer les pôles de \(G\) dans \(\mathbb{C}\), puis la limite de \(G(x) – E(x)\) quand \(x \to +\infty\).

Exercice 12 : Éléments simples, pôles simples

Décomposer en éléments simples dans \(\mathbb{R}(X)\) :

1. \(F = \frac{X^2 + 1}{X(X – 1)(X + 2)}\) ;
2. \(G = \frac{X^3}{(X – 1)(X – 2)}\) ;
3. \(H = \frac{1}{X^2 – 4}\), et en déduire une primitive de \(x \mapsto \frac{1}{x^2 – 4}\) sur \(]2, +\infty[\).

Exercice 13 : Éléments simples, pôles multiples

1. Décomposer \(F = \frac{1}{(X – 1)^2(X + 1)}\) en éléments simples.
2. Décomposer \(G = \frac{X^2}{(X – 1)^3}\) en posant \(Y = X – 1\).
3. Décomposer \(H = \frac{X + 1}{X^2 (X – 1)^2}\) en éléments simples.

Exercice 14 : Décomposition sur C puis sur R

On note \(j = e^{2i\pi/3}\).

1. Décomposer \(\frac{1}{X^3 – 1}\) en éléments simples dans \(\mathbb{C}(X)\).
2. En regroupant les termes conjugués, en déduire la décomposition dans \(\mathbb{R}(X)\).
3. Décomposer de même \(\frac{X}{X^4 – 1}\) dans \(\mathbb{C}(X)\) puis dans \(\mathbb{R}(X)\).

Exercice 15 : Facteur irréductible au carré

Soit \(F = \frac{1}{X(X^2 + 1)^2}\).

1. Justifier la forme de la décomposition de \(F\) dans \(\mathbb{R}(X)\).
2. Calculer le coefficient de \(\frac{1}{X}\), puis simplifier \(F – \frac{1}{X}\) pour obtenir la décomposition complète.
3. En déduire une primitive de \(x \mapsto \frac{1}{x(x^2 + 1)^2}\) sur \(]0, +\infty[\).

Exercice 16 : Calcul d’une intégrale

On veut calculer \(I = \int_0^1 \frac{dx}{1 + x^3}\), aire représentée sur la figure ci-dessous.

1. Décomposer \(\frac{1}{X^3 + 1}\) en éléments simples dans \(\mathbb{R}(X)\).
2. En déduire une primitive de \(x \mapsto \frac{1}{1 + x^3}\) sur \(]-1, +\infty[\).
3. Calculer \(I\).
4. Déterminer la limite de \(\int_0^x \frac{dt}{1 + t^3}\) quand \(x \to +\infty\).

Exercice 17 : Dérivées k-ièmes

1. Soit \(f(x) = \frac{1}{x^2 – 1}\). Calculer \(f^{(k)}(x)\) pour tout \(k \in \mathbb{N}\) et tout \(x \notin \{-1, 1\}\).
2. En déduire \(f^{(k)}(0)\), et vérifier le résultat pour \(k \leq\, 2\).
3. Soit \(g(x) = \frac{1}{x^2 + 1}\). Décomposer \(g\) sur \(\mathbb{C}\) et montrer que \(g^{(k)}(0) = (-1)^k k! \sin\frac{(k+1)\pi}{2}\).
4. Vérifier l’égalité \(g(x) = 1 – x^2 + x^4 – x^6 g(x)\). En déduire \(g^{(k)}(0)\) pour \(k \leq\, 4\) à l’aide de la formule de Leibniz, et comparer avec la question 3.

Exercice 18 : Sommes sur les racines avec P’/P

Soit \(P = X^3 + X + 1\), de racines complexes \(x_1, x_2, x_3\).

1. Montrer que les racines de \(P\) sont simples.
2. Rappeler la décomposition de \(\frac{P^{\prime}}{P}\) en éléments simples.
3. Calculer \(\sum_{k=1}^{3} \frac{1}{x_k}\) de deux façons : avec \(\frac{P^{\prime}}{P}\), puis avec les relations coefficients-racines.
4. Calculer \(\sum_{k=1}^{3} \frac{1}{1 – x_k}\) puis \(\sum_{k=1}^{3} \frac{1}{(1 – x_k)^2}\).

Exercice 19 : Sommes sur les racines de l’unité

Soit \(n \geq\, 2\) et \(\omega_k = e^{2ik\pi/n}\) pour \(0 \leq\, k \leq\, n – 1\).

1. Calculer \(S = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{2 – \omega_k}\).
2. On pose \(Q = 1 + X + \cdots + X^{n-1}\). Déterminer les racines de \(Q\), puis calculer \(T = \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{1 – \omega_k}\).
3. Pour \(\theta \in \mathbb{R}\) non multiple de \(2\pi\), montrer que \(\frac{1}{1 – e^{i\theta}} = \frac{1}{2} + \frac{i}{2}\cot\frac{\theta}{2}\).
4. En déduire \(\sum_{k=1}^{n-1} \cot\frac{k\pi}{n}\), et vérifier la cohérence avec la question 2.

Exercice 20 : La fonction logarithme n’est pas rationnelle

1. Soit \(F \in \mathbb{C}(X)\) et \(a \in \mathbb{C}\) qui n’est pas pôle de \(F\). Montrer que \(a\) n’est pas pôle de \(F^{\prime}\).
2. Soit \(a\) un pôle de \(F\) d’ordre \(m \geq\, 1\). Montrer que \(a\) est un pôle de \(F^{\prime}\) d’ordre \(m + 1\).
3. En déduire qu’il n’existe aucune fraction rationnelle \(F\) telle que \(F^{\prime} = \frac{1}{X}\).
4. Montrer que la fonction \(\ln\) ne coïncide sur aucun intervalle \(]\alpha, \beta[ \subset ]0, +\infty[\) avec une fonction rationnelle.

Exercice 21 : Problème, une famille de fractions et des sommes télescopiques

Pour \(n \in \mathbb{N}\), on pose \(F_n = \frac{1}{X(X + 1)(X + 2) \cdots (X + n)}\).

1. Déterminer les pôles de \(F_n\) et leur multiplicité, ainsi que la partie entière de \(F_n\).
2. Montrer que \(F_n = \frac{1}{n!} \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k \binom\,{n}{k}}{X + k}\).
3. Pour \(n \geq\, 1\), en considérant \(xF_n(x)\) quand \(x \to +\infty\), retrouver \(\sum_{k=0}^{n} (-1)^k \binom\,{n}{k} = 0\).
4. En évaluant en \(X = 1\), calculer \(\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k + 1}\binom\,{n}{k}\).
5. Montrer que \(F_n(X) – F_n(X + 1) = (n + 1)F_{n+1}(X)\).
6. En déduire, pour tout \(m \geq\, 1\), que la suite \((\sum_{p=1}^{N} F_m(p))_{N \geq\, 1}\) converge, et que sa limite vaut \(\frac{1}{m \cdot m!}\).
7. Expliciter le cas \(m = 2\) : décomposer \(F_2\) et calculer \(\sum_{p=1}^{N} \frac{1}{p(p+1)(p+2)}\).

Le corrigé des exercices

Chaque exercice est corrigé en détail, question par question, sur la page suivante.

Pour aller plus loin en maths sup

• Le cours : fractions rationnelles, cours de maths sup
• À maîtriser avant : Polynômes : division euclidienne, racines, interpolation, Arithmétique dans l'ensemble des entiers relatifs
• Chapitre précédent : Polynômes : division euclidienne, racines, interpolation
• Chapitre suivant : Relations de comparaison : domination, équivalents
• Tester vos connaissances : QCM de maths sup par chapitre
• Le sommaire : tous les chapitres de maths sup et les chapitres de maths spé