Logique, ensembles et applications : exercices de maths sup corrigés en PDF.

Exercice 1 : Négation de propositions quantifiées

Traduisez chaque phrase avec des quantificateurs, puis écrivez sa négation sans utiliser le symbole \(\neg\). Ici, \(f\) désigne une fonction de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) et \((u_n)\) une suite réelle.

1. Tout réel est le carré d’un réel. Cette phrase est-elle vraie ?
2. La fonction \(f\) est bornée.
3. La fonction \(f\) est croissante.
4. La suite \((u_n)\) converge vers \(0\).
5. La fonction \(f\) est périodique.

Exercice 2 : Ordre des quantificateurs

Dites si chacune des propositions suivantes est vraie ou fausse, en justifiant. Écrivez ensuite la négation de celles qui sont fausses.

1. \(P_1 : \forall x \in \mathbb{R},\ \exists y \in \mathbb{R},\ x + y = 0\).
2. \(P_2 : \exists y \in \mathbb{R},\ \forall x \in \mathbb{R},\ x + y = 0\).
3. \(P_3 : \forall n \in \mathbb{N},\ \exists m \in \mathbb{N},\ m > n\).
4. \(P_4 : \exists m \in \mathbb{N},\ \forall n \in \mathbb{N},\ m > n\).
5. \(P_5 : \exists x \in \mathbb{R},\ \forall y \in \mathbb{R},\ xy = y\).
6. \(P_6 : \forall y \in \mathbb{R},\ \exists x \in \mathbb{R},\ xy = 1\).

Exercice 3 : Implication, réciproque et contraposée

1. Soit \(P\) et \(Q\) deux propositions. À l’aide d’une table de vérité, montrez que \(P \Rightarrow Q\) équivaut à \(\neg P \vee Q\). Déduisez-en la négation de \(P \Rightarrow Q\).
2. Soit \(x\) un réel. On considère l’implication « \(x > 2 \Rightarrow x^2 > 4\) ». Écrivez sa réciproque et sa contraposée, puis dites lesquelles sont vraies.
3. Soit \(n \in \mathbb{Z}\). Montrez par contraposition que si \(n^2 – 1\) n’est pas divisible par \(4\), alors \(n\) est pair.
4. Soit \(x\) et \(y\) deux réels strictement supérieurs à \(1\). Montrez par contraposition que \(x \neq y \Rightarrow x^2 – 2x \neq y^2 – 2y\).

Exercice 4 : Raisonnements par l’absurde

1. Montrez que, pour tout entier \(p\), si \(3\) ne divise pas \(p\), alors \(3\) ne divise pas \(p^2\).
2. Déduisez-en par l’absurde que \(\sqrt{3}\) est irrationnel.
3. Soit \(x\) un réel tel que, pour tout \(\varepsilon > 0\), \(|x| \leq\, \varepsilon\). Montrez par l’absurde que \(x = 0\).
4. Soit \(n \in \mathbb{N}^{*}\). Montrez par l’absurde que \(\sqrt{n^2 + 1}\) n’est pas un entier.

Exercice 5 : Disjonction des cas

1. Montrez que, pour tout entier \(k\), le produit \(k(k+1)\) est pair. Déduisez-en que, pour tout entier impair \(n\), le nombre \(n^2 – 1\) est divisible par \(8\).
2. On pose \(g(x) = |x – 1| + |x + 2|\) pour \(x\) réel. Exprimez \(g(x)\) sans valeur absolue sur chacun des intervalles \(]-\infty, -2]\), \([-2, 1]\) et \([1, +\infty[\).
3. Résolvez dans \(\mathbb{R}\) l’équation \(g(x) = 5\), puis l’inéquation \(g(x) \leq\, 5\).

La courbe de \(g\) est tracée ci-dessous : elle permet de contrôler vos résultats.

Exercice 6 : Analyse-synthèse et équation fonctionnelle

On cherche toutes les fonctions \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) telles que :

\[\forall x \in \mathbb{R}, \quad f(x) + 2f(-x) = x^2 + x.\]

1. Analyse : soit \(f\) une solution. En remplaçant \(x\) par \(-x\), obtenez une seconde relation, puis calculez \(f(x)\).
2. Synthèse : vérifiez que la fonction obtenue est solution. Concluez.

Exercice 7 : Fonctions paires et impaires par analyse-synthèse

1. Montrez que la seule fonction de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) à la fois paire et impaire est la fonction nulle.
2. Montrez que toute fonction \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) s’écrit de manière unique \(f = p + i\), avec \(p\) paire et \(i\) impaire. On raisonnera par analyse-synthèse.
3. Déterminez \(p\) et \(i\) lorsque \(f(x) = e^x\), puis lorsque \(f(x) = (x + 1)^2\).

Exercice 8 : Récurrences simples

1. Montrez que, pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\), \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^3 = (\frac{n(n+1)}{2})^2\).
2. Montrez que, pour tout entier \(n \geq\, 4\), \(2^n \geq\, n^2\). La propriété est-elle vraie pour \(n = 3\) ?
3. On « démontre » par récurrence que, dans tout groupe de \(n \geq\, 1\) crayons, tous les crayons ont la même couleur. L’hérédité s’écrit ainsi : dans un groupe de \(n+1\) crayons, on retire le premier ; les \(n\) restants ont la même couleur. On retire ensuite le dernier ; les \(n\) restants ont encore la même couleur. Les deux groupes se chevauchent, donc les \(n + 1\) crayons ont la même couleur. Trouvez l’erreur.

Exercice 9 : Récurrence double

1. Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_0 = 2\), \(u_1 = 3\) et \(u_{n+2} = 3u_{n+1} – 2u_n\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\). Montrez que \(u_n = 2^n + 1\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
2. Soit \((F_n)\) la suite de Fibonacci : \(F_0 = 0\), \(F_1 = 1\) et \(F_{n+2} = F_{n+1} + F_n\). Montrez que, pour tout \(n \geq\, 1\), \(F_n \leq\, 2^{n-1}\).
3. Montrez de même que, pour tout \(n \geq\, 1\), \(F_n \geq\, (\frac{3}{2})^{n-2}\).

Exercice 10 : Récurrence forte

1. Soit \((u_n)\) définie par \(u_0 = 1\) et, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_{n+1} = u_0 + u_1 + \cdots + u_n\). Calculez \(u_1\), \(u_2\), \(u_3\), puis montrez que \(u_n = 2^{n-1}\) pour tout \(n \geq\, 1\).
2. Montrez par récurrence forte que tout entier \(n \geq\, 1\) s’écrit comme une somme de puissances de \(2\) deux à deux distinctes. On distinguera les cas \(n\) pair et \(n\) impair.
3. Écrivez \(45\) sous cette forme en suivant la démarche de la question précédente.

Exercice 11 : Égalités et inclusions d’ensembles

Soit \(A\), \(B\), \(C\) trois parties d’un ensemble \(E\).

1. Montrez que \(A \setminus (B \cup C) = (A \setminus B) \cap (A \setminus C)\).
2. Montrez que \(A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)\).
3. Montrez que \(A \cap B = A \cup B\) si et seulement si \(A = B\).
4. On suppose \(A \cup B \subset A \cup C\) et \(A \cap B \subset A \cap C\). Montrez que \(B \subset C\).

Exercice 12 : Ensemble des parties

1. Écrivez tous les éléments de \(\mathcal{P}(E)\) pour \(E = \{1, 2, 3\}\). Combien y en a-t-il ?
2. Soit \(A\) et \(B\) deux ensembles. Montrez que \(\mathcal{P}(A) \subset \mathcal{P}(B)\) si et seulement si \(A \subset B\).
3. Montrez que \(\mathcal{P}(A \cap B) = \mathcal{P}(A) \cap \mathcal{P}(B)\).
4. Montrez que \(\mathcal{P}(A) \cup \mathcal{P}(B) \subset \mathcal{P}(A \cup B)\), et donnez un exemple où l’inclusion est stricte.

Exercice 13 : Produit cartésien

Soit \(A, C\) deux parties d’un ensemble \(E\), et \(B, D\) deux parties d’un ensemble \(F\).

1. Montrez que \((A \times B) \cap (C \times D) = (A \cap C) \times (B \cap D)\).
2. Montrez que \((A \times B) \cup (C \times D) \subset (A \cup C) \times (B \cup D)\).
3. Avec \(E = F = \mathbb{R}\), \(A = B = [0, 1]\) et \(C = D = [2, 3]\) (voir la figure), montrez que l’inclusion précédente est stricte.
4. Montrez que le complémentaire de \(A \times B\) dans \(E \times F\) vaut \((\overline{A} \times F) \cup (E \times \overline{B})\).

Exercice 14 : Fonctions indicatrices et différence symétrique

Soit \(E\) un ensemble. Pour \(A, B \subset E\), on note \(A \Delta B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)\) la différence symétrique.

1. Montrez que \(\mathbf{1}_{A \Delta B} = \mathbf{1}_A + \mathbf{1}_B – 2\,\mathbf{1}_A \mathbf{1}_B = (\mathbf{1}_A – \mathbf{1}_B)^2\).
2. Déduisez-en que \(A \Delta B = \varnothing\) si et seulement si \(A = B\).
3. Montrez que, pour tout \(x \in E\), \(\mathbf{1}_{A \Delta B}(x)\) est le reste de la division euclidienne de \(\mathbf{1}_A(x) + \mathbf{1}_B(x)\) par \(2\).
4. Déduisez-en que, pour toutes parties \(A\), \(B\), \(C\) de \(E\), \((A \Delta B) \Delta C = A \Delta (B \Delta C)\).

Exercice 15 : Recouvrements disjoints et partitions

1. Parmi les familles suivantes, lesquelles sont des partitions de \(E = \{1, 2, 3, 4\}\) ? (a) \(\{1, 2\}, \{2, 3\}, \{4\}\) ; (b) \(\{1, 3\}, \{2\}, \{4\}\) ; (c) \(\{1, 2, 3, 4\}, \varnothing\).
2. Montrez que la famille \(\big([k, k+1[\big)_{k \in \mathbb{Z}}\) est une partition de \(\mathbb{R}\).
3. Soit \(A\) et \(B\) deux parties de \(E\). Montrez que \(A \cap B\), \(A \setminus B\), \(B \setminus A\) et \(\overline{A \cup B}\) forment un recouvrement disjoint de \(E\). Est-ce toujours une partition ?

Exercice 16 : Image directe et image réciproque

Soit \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(x \mapsto x^2\), dont la courbe est tracée ci-dessous.

1. Déterminez \(f([-1, 2])\), \(f([1, 3])\), \(f^{-1}([1, 4])\), \(f^{-1}([-4, -1])\) et \(f^{-1}([-1, 4])\).
2. Avec \(A = [0, 2]\), calculez \(f^{-1}(f(A))\). Avec \(B = [-1, 4]\), calculez \(f(f^{-1}(B))\). Comparez avec \(A\) et \(B\).
3. Avec \(A_1 = [-1, 0]\) et \(A_2 = [0, 1]\), comparez \(f(A_1 \cap A_2)\) et \(f(A_1) \cap f(A_2)\).
4. Soit \(g : E \to F\) quelconque, \(A \subset E\) et \(B \subset F\). Montrez que \(A \subset g^{-1}(g(A))\) et \(g(g^{-1}(B)) \subset B\).

Exercice 17 : Injections et surjections entre entiers

On définit \(f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}\) par \(f(n) = 2n\), et \(g : \mathbb{N} \to \mathbb{N}\) par \(g(n) = \frac{n}{2}\) si \(n\) est pair, \(g(n) = \frac{n-1}{2}\) si \(n\) est impair.

1. Étudiez l’injectivité et la surjectivité de \(f\) et de \(g\).
2. Calculez \(g \circ f\) et \(f \circ g\). Commentez.
3. On définit \(h : \mathbb{N} \to \mathbb{Z}\) par \(h(n) = \frac{n}{2}\) si \(n\) est pair et \(h(n) = -\frac{n+1}{2}\) si \(n\) est impair. Montrez que \(h\) est bijective et explicitez \(h^{-1}\).

Exercice 18 : Bijections explicites, restriction et prolongement

1. Montrez que \(f : \mathbb{R} \setminus \{1\} \to \mathbb{R} \setminus \{2\}\), \(x \mapsto \dfrac{2x + 1}{x – 1}\), est bien définie et bijective. Explicitez \(f^{-1}\).
2. Montrez que \(\varphi : \mathbb{R} \to ]-1, 1[\), \(x \mapsto \dfrac{x}{1 + |x|}\), est bijective et explicitez \(\varphi^{-1}\).
3. Soit \(u : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(x \mapsto x^2 – 2x\). Montrez que \(u\) n’est ni injective ni surjective. Montrez ensuite que l’application \([1, +\infty[ \to [-1, +\infty[\), \(x \mapsto u(x)\), est bijective, et donnez sa réciproque.
4. Montrez que la fonction racine carrée, définie sur \([0, +\infty[\), admet un unique prolongement impair à \(\mathbb{R}\), et donnez-le.

Exercice 19 : Composition et réciproque d’une composée

Soit \(f : E \to F\) et \(g : F \to G\) deux applications.

1. Montrez que si \(g \circ f\) est injective, alors \(f\) est injective.
2. Montrez que si \(g \circ f\) est surjective, alors \(g\) est surjective.
3. Donnez un exemple où \(g \circ f\) est bijective mais où ni \(f\) ni \(g\) n’est bijective.
4. Soit \(u : E \to E\) telle que \(u \circ u \circ u = \mathrm{id}_E\). Montrez que \(u\) est bijective et que \(u^{-1} = u \circ u\).
5. Dans cette question, \(E = F = G = \mathbb{R}\), \(f(x) = 2x + 1\) et \(g(x) = x^3\) ; ces deux applications sont des bijections de \(\mathbb{R}\) sur \(\mathbb{R}\). Calculez \((g \circ f)^{-1}\) de deux manières : en résolvant \((g \circ f)(x) = y\), puis avec la formule du cours.

Exercice 20 : Caractérisations par les images

Soit \(f : E \to F\) une application.

1. Montrez que \(f\) est injective si et seulement si \(f^{-1}(f(A)) = A\) pour toute partie \(A\) de \(E\).
2. Montrez que \(f\) est surjective si et seulement si \(f(f^{-1}(B)) = B\) pour toute partie \(B\) de \(F\).
3. Montrez que \(f\) est injective si et seulement si \(f(A \cap A^{\prime}) = f(A) \cap f(A^{\prime})\) pour toutes parties \(A\), \(A^{\prime}\) de \(E\).

Exercice 21 : Relation d’équivalence et cercles

1. Sur \(\mathbb{R}^2\), on pose \((x, y) \mathcal{R} (x^{\prime}, y^{\prime})\) si \(x^2 + y^2 = x^{\prime 2} + y^{\prime 2}\). Montrez que \(\mathcal{R}\) est une relation d’équivalence.
2. Décrivez géométriquement la classe d’un point \((a, b)\). Donnez la classe de \((0, 0)\), puis trois éléments de la classe de \((1, 2)\).
3. Montrez que l’application qui à une classe associe le rayon du cercle correspondant est une bijection de l’ensemble des classes sur \([0, +\infty[\).
4. Sur \(\mathbb{R}\), on pose \(x \mathcal{S} y\) si \(|x – y| \leq\, 1\). La relation \(\mathcal{S}\) est-elle une relation d’équivalence ?

Exercice 22 : Congruences et sommes de deux carrés

Soit \(n \in \mathbb{N}^{*}\). On rappelle que \(a \equiv b \ [n]\) signifie que \(n\) divise \(b – a\).

1. Montrez que la congruence modulo \(n\) est une relation d’équivalence sur \(\mathbb{Z}\), et décrivez ses classes pour \(n = 4\).
2. Montrez que si \(a \equiv b \ [n]\) et \(c \equiv d \ [n]\), alors \(a + c \equiv b + d \ [n]\) et \(ac \equiv bd \ [n]\).
3. Montrez que le carré d’un entier est congru à \(0\) ou à \(1\) modulo \(4\).
4. Déduisez-en que \(2027\) n’est pas la somme de deux carrés d’entiers.
5. Montrez que \(10 \equiv 1 \ [9]\), puis qu’un entier naturel est congru modulo \(9\) à la somme de ses chiffres en base dix. Appliquez à \(2027\).

Exercice 23 : Classes modulo Z et partie entière

Sur \(\mathbb{R}\), on pose \(x \sim y\) si \(x – y \in \mathbb{Z}\). On note \(\lfloor x \rfloor\) la partie entière de \(x\), c’est-à-dire l’unique entier tel que \(\lfloor x \rfloor \leq\, x < \lfloor x \rfloor + 1\).

1. Montrez que \(\sim\) est une relation d’équivalence et décrivez la classe d’un réel \(a\).
2. Montrez par analyse-synthèse que chaque classe contient exactement un élément de \([0, 1[\), et donnez-le pour la classe de \(x\).
3. Déduisez-en que l’application \(a \mapsto \mathrm{cl}(a)\) est une bijection de \([0, 1[\) sur l’ensemble des classes.
4. Déterminez toutes les fonctions \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) telles que \(x \sim y \Rightarrow f(x) = f(y)\).

Exercice 24 : Ordre de divisibilité et ordres sur le plan

1. Montrez que la divisibilité est une relation d’ordre sur \(\mathbb{N}^{*}\). Est-elle totale ? Est-ce encore une relation d’ordre sur \(\mathbb{Z}\) ?
2. On restreint cet ordre à l’ensemble \(D\) des diviseurs positifs de \(12\). Représentez-le par un schéma, et trouvez le plus petit et le plus grand élément de \(D\).
3. Sur \(\mathbb{R}^2\), on pose \((x, y) \preceq (x^{\prime}, y^{\prime})\) si \(x \leq\, x^{\prime}\) et \(y \leq\, y^{\prime}\). Montrez que c’est une relation d’ordre partiel.
4. Sur \(\mathbb{R}^2\), on pose \((x, y) \trianglelefteq (x^{\prime}, y^{\prime})\) si \(x < x^{\prime}\), ou bien si \(x = x^{\prime}\) et \(y \leq\, y^{\prime}\). Montrez que c’est une relation d’ordre total (ordre lexicographique).

Exercice 25 : Problème sur les parties d’un ensemble et le théorème de Cantor

Soit \(E\) un ensemble. On note \(\{0, 1\}^E\) l’ensemble des applications de \(E\) dans \(\{0, 1\}\).

Partie A : parties et indicatrices.

1. Montrez que \(\Phi : \mathcal{P}(E) \to \{0, 1\}^E\), \(A \mapsto \mathbf{1}_A\), est injective.
2. Pour \(u \in \{0, 1\}^E\), on pose \(A_u = u^{-1}(\{1\})\). Calculez \(\mathbf{1}_{A_u}\). Déduisez-en que \(\Phi\) est bijective et donnez \(\Phi^{-1}\).

Partie B : nombre de parties d’un ensemble fini.

1. Soit \(E\) un ensemble fini, \(a\) un élément n’appartenant pas à \(E\) et \(E^{\prime} = E \cup \{a\}\). Montrez que \(A \mapsto A \cup \{a\}\) est une bijection de \(\mathcal{P}(E)\) sur l’ensemble des parties de \(E^{\prime}\) contenant \(a\).
2. Déduisez-en par récurrence qu’un ensemble à \(n\) éléments possède exactement \(2^n\) parties.

Partie C : théorème de Cantor.

1. Montrez que \(x \mapsto \{x\}\) est une injection de \(E\) dans \(\mathcal{P}(E)\).
2. Soit \(f : E \to \mathcal{P}(E)\) une application quelconque. On pose \(D = \{x \in E \mid x \notin f(x)\}\). Montrez par l’absurde que \(D\) n’a pas d’antécédent par \(f\).
3. Concluez : il n’existe aucune surjection de \(E\) sur \(\mathcal{P}(E)\).
4. Déduisez-en qu’il n’existe aucune surjection de \(\mathbb{N}\) sur \(\{0, 1\}^{\mathbb{N}}\), l’ensemble des suites à valeurs dans \(\{0, 1\}\).

Le corrigé des exercices

Chaque exercice est corrigé en détail, question par question, sur la page suivante.

Pour aller plus loin en maths sup

• Le cours : logique, ensembles et applications, cours de maths sup
• Chapitre suivant : Calculs algébriques : sommes, produits, inégalités
• Tester vos connaissances : QCM de maths sup par chapitre
• Le sommaire : tous les chapitres de maths sup et les chapitres de maths spé