Fonctions holomorphes : cours de maths en L3 en PDF.

Soit \(a \in U\). La fonction \(f\) est \(\mathbb{C}\)-dérivable en \(a\) si le quotient \(\dfrac{f(a+h) – f(a)}{h}\) admet une limite quand \(h \to 0\), \(h \in \mathbb{C}^*\). Cette limite est notée \(f^{\prime}(a)\). La fonction \(f\) est holomorphe sur \(U\) si elle est \(\mathbb{C}\)-dérivable en tout point de \(U\). On note \(\mathcal{H}(U)\) l’ensemble de ces fonctions.

La conjugaison \(f(z) = \overline{z}\) n’est \(\mathbb{C}\)-dérivable nulle part. En effet, le quotient vaut \(\overline{h}/h\). Pour \(h\) réel, il vaut \(1\). En revanche, pour \(h\) imaginaire pur, il vaut \(-1\). Il n’a donc pas de limite en \(0\), bien que \(f\) soit linéaire sur \(\mathbb{R}^2\).

Soit \(f = P + iQ\) définie sur \(U\) et \(a = x_0 + iy_0 \in U\). La fonction \(f\) est \(\mathbb{C}\)-dérivable en \(a\) si et seulement si \(f\) est différentiable en \(a\) au sens de \(\mathbb{R}^2\) et vérifie \(\dfrac{\partial f}{\partial y}(a) = i\,\dfrac{\partial f}{\partial x}(a)\). Autrement dit :

\[\frac{\partial P}{\partial x} = \frac{\partial Q}{\partial y} \quad \text{et} \quad \frac{\partial P}{\partial y} = -\frac{\partial Q}{\partial x} \quad \text{en } (x_0, y_0).\]

Dans ce cas, \(f^{\prime}(a) = \dfrac{\partial f}{\partial x}(a) = \dfrac{\partial P}{\partial x}(a) + i\,\dfrac{\partial Q}{\partial x}(a)\).

Si \(f\) est \(\mathbb{C}\)-dérivable en \(a\), alors \(f(a+h) = f(a) + f^{\prime}(a)h + o(h)\). Donc \(f\) est différentiable, de différentielle \(L : h \mapsto f^{\prime}(a)h\), qui est \(\mathbb{C}\)-linéaire. Réciproquement, une application \(\mathbb{R}\)-linéaire \(L : \mathbb{C} \to \mathbb{C}\) vérifie \(L(s + it) = sL(1) + tL(i)\). Elle est donc \(\mathbb{C}\)-linéaire si et seulement si \(L(i) = iL(1)\). Or \(L(1) = \frac{\partial f}{\partial x}(a)\) et \(L(i) = \frac{\partial f}{\partial y}(a)\). Si cette condition est remplie, \(L(h) = L(1)h\), d’où la \(\mathbb{C}\)-dérivabilité avec \(f^{\prime}(a) = L(1)\). Enfin, la condition \(\frac{\partial f}{\partial y} = i\,\frac{\partial f}{\partial x}\) s’écrit \(P_y + iQ_y = iP_x – Q_x\). En identifiant parties réelles et imaginaires, on obtient \(P_y = -Q_x\) et \(Q_y = P_x\).

Pour vérifier les conditions de Cauchy-Riemann : d’abord, écrivez \(P\) et \(Q\) en fonction de \(x\) et \(y\). Ensuite, calculez les quatre dérivées partielles et vérifiez que \(f\) est différentiable (par exemple de classe \(C^1\)). Enfin, résolvez le système \(P_x = Q_y\), \(P_y = -Q_x\). L’ensemble des solutions est l’ensemble des points de \(\mathbb{C}\)-dérivabilité. La fonction est holomorphe sur tout ouvert contenu dans cet ensemble.

Soit \(f(x+iy) = e^x \cos y + i e^x \sin y\). On a \(P_x = e^x \cos y = Q_y\) et \(P_y = -e^x \sin y = -Q_x\). Les dérivées sont continues, donc \(f\) est holomorphe sur \(\mathbb{C}\), et \(f^{\prime} = P_x + iQ_x = f\). En revanche, \(g(z) = |z|^2 = x^2 + y^2\) vérifie \(P_x = 2x\), \(Q_y = 0\), \(P_y = 2y\), \(Q_x = 0\) : elle n’est \(\mathbb{C}\)-dérivable qu’en \(0\).

Soit \(U\) un ouvert connexe et \(f \in \mathcal{H}(U)\). Si \(f^{\prime} = 0\), alors \(f\) est constante. De même, si \(\mathrm{Re}\, f\) est constante, ou si \(|f|\) est constant, alors \(f\) est constante.

Si \(f^{\prime} = 0\), les dérivées partielles de \(f\) sont nulles ; \(f\) est donc localement constante, puis constante par connexité. Si \(P\) est constante, alors \(P_x = P_y = 0\), donc \(Q_x = Q_y = 0\) par Cauchy-Riemann, et \(f^{\prime} = P_x + iQ_x = 0\). Enfin, supposons \(P^2 + Q^2 = c\). Si \(c = 0\), c’est immédiat. Sinon, en dérivant, \(PP_x + QQ_x = 0\) et \(PP_y + QQ_y = 0\). Avec Cauchy-Riemann, cela donne \(PP_x – QP_y = 0\) et \(QP_x + PP_y = 0\). Ce système linéaire en \((P_x, P_y)\) a pour déterminant \(P^2 + Q^2 = c \neq 0\). Ainsi \(P_x = P_y = 0\) et on conclut comme avant.

Une fonction \(f : U \to \mathbb{C}\) est analytique sur \(U\) si, pour tout \(a \in U\), il existe \(r > 0\) et une suite \((a_n)\) tels que \(f(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n (z-a)^n\) pour tout \(z \in D(a,r) \subset U\).

La somme d’une série entière de rayon \(R\) est analytique sur \(D(0,R)\). Plus précisément, pour \(|b| < R\), elle est développable en série entière de \(z – b\) sur \(D(b, R – |b|)\).

Pour \(|z – b| < R – |b|\), on écrit \(z^n = \sum_{k=0}^{n} \binom\,{n}{k} b^{n-k}(z-b)^k\). La famille double \((a_n \binom\,{n}{k} b^{n-k}(z-b)^k)\) est sommable, car la somme des modules vaut \(\sum |a_n| (|b| + |z-b|)^n < +\infty\). On peut donc sommer d’abord en \(n\), ce qui donne un développement en puissances de \(z – b\).

L’exponentielle est un morphisme surjectif de \((\mathbb{C}, +)\) sur \((\mathbb{C}^*, \times )\), de noyau \(2i\pi\mathbb{Z}\). Ainsi, \(e^z = e^w\) si et seulement si \(z – w \in 2i\pi\mathbb{Z}\). On pose \(\cos z = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}\) et \(\sin z = \frac{e^{iz} – e^{-iz}}{2i}\) : ce sont des fonctions entières.

Soit \(U \subset \mathbb{C}^*\) un ouvert. Une détermination du logarithme sur \(U\) est une fonction continue \(L : U \to \mathbb{C}\) telle que \(\exp(L(z)) = z\) pour tout \(z \in U\).

Toute détermination continue \(L\) du logarithme sur \(U\) est holomorphe, et \(L^{\prime}(z) = 1/z\). Si \(U\) est connexe, deux déterminations diffèrent d’une constante \(2ik\pi\), \(k \in \mathbb{Z}\).

Soit \(a \in U\) et \(z \neq a\) voisin de \(a\). Alors \(L(z) \neq L(a)\), car leurs exponentielles diffèrent. On écrit donc

\[\frac{L(z) – L(a)}{z – a} = \frac{L(z) – L(a)}{e^{L(z)} – e^{L(a)}}.\]

Par continuité, \(L(z) \to L(a)\). Or \((e^w – e^{L(a)})/(w – L(a)) \to e^{L(a)} = a \neq 0\). Le quotient tend donc vers \(1/a\). Enfin, si \(L_1\) et \(L_2\) sont deux déterminations, \((L_1 – L_2)/(2i\pi)\) est continue à valeurs entières, donc constante sur \(U\) connexe.

La détermination principale du logarithme est définie sur \(\mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_-\) par \(\mathrm{Log}(re^{i\theta}) = \ln r + i\theta\), avec \(r > 0\) et \(\theta \in \,]-\pi, \pi[\). Pour \(|z| < 1\), on a \(\mathrm{Log}(1+z) = \sum_{n \geq\, 1} (-1)^{n-1} z^n / n\).

En général, \(\mathrm{Log}(z_1 z_2) \neq \mathrm{Log}\, z_1 + \mathrm{Log}\, z_2\) : l’égalité n’a lieu qu’à \(2i\pi\) près. De plus, il n’existe aucune détermination continue du logarithme sur \(\mathbb{C}^*\) tout entier. Enfin, les puissances se définissent par \(z^\alpha = \exp(\alpha\, \mathrm{Log}\, z)\) ; par exemple, \(i^i = e^{-\pi/2}\).

Un chemin de \(U\) est une application \(\gamma : [a,b] \to U\) continue et \(C^1\) par morceaux. Il est fermé si \(\gamma(a) = \gamma(b)\). Pour \(f\) continue sur l’image \(\gamma^*\), on pose

\[\int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\,\gamma^{\prime}(t)\,dt.\]

La longueur de \(\gamma\) est \(\ell(\gamma) = \int_a^b |\gamma^{\prime}(t)|\,dt\).

(Inégalité de la longueur) Si \(|f| \leq\, M\) sur \(\gamma^*\), alors \(|\int_\gamma f(z)\,dz| \leq\, M\, \ell(\gamma)\).

Pour \(n \in \mathbb{Z}\), calculons \(\int_{C(a,r)} (z-a)^n\,dz = \int_0^{2\pi} r^n e^{int}\, ire^{it}\,dt = ir^{n+1} \int_0^{2\pi} e^{i(n+1)t}\,dt\). Cette intégrale vaut \(0\) si \(n \neq -1\). En revanche, pour \(n = -1\), on obtient \(\int_{C(a,r)} \frac{dz}{z-a} = 2i\pi\).

Si \(f\) admet une primitive holomorphe \(F\) sur \(U\) (c’est-à-dire \(F^{\prime} = f\)), alors pour tout chemin \(\gamma : [a,b] \to U\), on a \(\int_\gamma f(z)\,dz = F(\gamma(b)) – F(\gamma(a))\). En particulier, l’intégrale sur tout chemin fermé est nulle.

Pour calculer une intégrale le long d’un chemin : si \(f\) possède une primitive évidente sur un ouvert contenant le chemin, utilisez-la. Sinon, paramétrez chaque morceau (segment \(t \mapsto z_0 + t(z_1 – z_0)\), arc de cercle \(t \mapsto a + re^{it}\)), puis calculez l’intégrale réelle obtenue. Pour une majoration, utilisez l’inégalité de la longueur.

L’ouvert \(U\) est étoilé par rapport à \(c \in U\) si, pour tout \(z \in U\), le segment \([c, z]\) est inclus dans \(U\). Les disques et les ouverts convexes sont étoilés, ainsi que \(\mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_-\).

(Goursat) Soit \(f \in \mathcal{H}(U)\) et \(T\) un triangle plein fermé contenu dans \(U\). Alors l’intégrale de \(f\) sur le bord \(\partial T\) est nulle. Le résultat reste vrai si \(f\) est seulement continue sur \(U\) et holomorphe sur \(U \setminus \{p\}\).

Posons \(I = \int_{\partial T} f\). On découpe \(T\) en quatre triangles par les milieux des côtés. Les côtés intérieurs sont parcourus deux fois en sens contraires. Donc l’un des quatre, \(T_1\), vérifie \(|\int_{\partial T_1} f| \geq\, |I|/4\). En itérant, on obtient des triangles emboîtés \(T_n\) avec \(|\int_{\partial T_n} f| \geq\, |I|/4^n\), de périmètre \(p/2^n\) et de diamètre \(d/2^n\). Ils se resserrent sur un point \(z_0\). Ensuite, on écrit \(f(z) = f(z_0) + f^{\prime}(z_0)(z – z_0) + \varepsilon(z)(z – z_0)\), avec \(\varepsilon \to 0\). Les deux premiers termes ont une primitive, donc une intégrale nulle. Ainsi \(|I|/4^n \leq\, \sup_{T_n}|\varepsilon| \cdot \frac{d}{2^n} \cdot \frac{p}{2^n}\), d’où \(|I| \leq\, dp \sup_{T_n}|\varepsilon| \to 0\). Pour le cas d’un point exceptionnel, on découpe \(T\) en petits triangles et on utilise la continuité de \(f\) en \(p\).

(Cauchy) Soit \(U\) un ouvert étoilé et \(f\) continue sur \(U\), holomorphe sur \(U\) privé d’au plus un point. Alors \(f\) admet une primitive holomorphe sur \(U\). Par conséquent, \(\int_\gamma f(z)\,dz = 0\) pour tout chemin fermé \(\gamma\) de \(U\).

Soit \(c\) un centre d’étoile. On pose \(F(z) = \int_{[c,z]} f\). Pour \(z \in U\) et \(h\) petit, le triangle plein de sommets \(c\), \(z\), \(z+h\) est dans \(U\), car \(U\) est étoilé et contient un disque autour de \(z\). Le lemme de Goursat donne \(F(z+h) – F(z) = \int_{[z, z+h]} f(w)\,dw\). Par conséquent,

\[|\frac{F(z+h) – F(z)}{h} – f(z)| = |\frac{1}{h}\int_{[z,z+h]} (f(w) – f(z))\,dw| \leq\, \sup_{w \in [z, z+h]} |f(w) – f(z)|.\]

Ce majorant tend vers \(0\) par continuité de \(f\). Donc \(F^{\prime} = f\).

(Formule de Cauchy) Soit \(U\) un ouvert étoilé, \(f \in \mathcal{H}(U)\), \(\gamma\) un chemin fermé de \(U\) et \(a \in U \setminus \gamma^*\). Alors

\[\mathrm{Ind}_\gamma(a)\, f(a) = \frac{1}{2i\pi}\int_\gamma \frac{f(z)}{z-a}\,dz.\]

En particulier, si le disque fermé \(\overline{D}(z_0, r)\) est inclus dans un ouvert où \(f\) est holomorphe, alors \(f(a) = \frac{1}{2i\pi}\int_{C(z_0,r)} \frac{f(z)}{z-a}\,dz\) pour tout \(a \in D(z_0, r)\).

On pose \(g(z) = \frac{f(z) – f(a)}{z – a}\) pour \(z \neq a\) et \(g(a) = f^{\prime}(a)\). La fonction \(g\) est continue sur \(U\) et holomorphe sur \(U \setminus \{a\}\). D’après le théorème de Cauchy, \(\int_\gamma g = 0\). Ainsi \(\int_\gamma \frac{f(z)}{z-a}\,dz = f(a)\int_\gamma \frac{dz}{z-a} = 2i\pi\, \mathrm{Ind}_\gamma(a) f(a)\). Pour le cas du cercle, on applique ce qui précède sur un disque \(D(z_0, r^{\prime})\), avec \(r^{\prime} > r\), contenu dans l’ouvert.

Pour appliquer la formule de Cauchy à \(\int_\gamma \frac{g(z)}{z-a}\,dz\) : d’abord, repérez les points où l’intégrande n’est pas défini. Ensuite, isolez le facteur \(\frac{1}{z-a}\) et vérifiez que le reste \(g\) est holomorphe sur un disque (ou un ouvert étoilé) contenant \(\gamma^*\). Enfin, calculez l’indice de \(a\) et concluez : l’intégrale vaut \(2i\pi\, \mathrm{Ind}_\gamma(a)\, g(a)\). Si plusieurs points sont entourés, décomposez d’abord en éléments simples.

Calculons \(\int_{C(0,2)} \frac{e^z}{z-1}\,dz\). La fonction \(\exp\) est entière et \(|1| < 2\). La formule de Cauchy donne donc \(2i\pi e\). Avec \(a = z_0\) et \(z = z_0 + re^{it}\), on obtient aussi la formule de la moyenne : \(f(z_0) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} f(z_0 + re^{it})\,dt\).

Soit \(f \in \mathcal{H}(U)\) et \(D(z_0, R) \subset U\). Alors \(f\) est somme d’une série entière sur tout ce disque : \(f(z) = \sum_{n \geq\, 0} a_n (z – z_0)^n\) pour \(|z – z_0| < R\), avec, pour tout \(r \in \,]0, R[\),

\[a_n = \frac{f^{(n)}(z_0)}{n!} = \frac{1}{2i\pi}\int_{C(z_0, r)} \frac{f(w)}{(w – z_0)^{n+1}}\,dw.\]

Fixons \(z\) avec \(|z – z_0| < r < R\). Pour \(w \in C(z_0, r)\), on a \(\frac{1}{w – z} = \sum_{n \geq\, 0} \frac{(z – z_0)^n}{(w – z_0)^{n+1}}\), série géométrique de raison \(q = |z – z_0|/r < 1\). Cette série converge normalement sur le cercle, car son terme général est majoré par \(q^n/r\). On peut donc intervertir somme et intégrale dans la formule de Cauchy \(f(z) = \frac{1}{2i\pi}\int_{C(z_0,r)} \frac{f(w)}{w – z}\,dw\). On obtient le développement annoncé. Enfin, le coefficient ne dépend pas de \(r\), puisqu’il vaut \(f^{(n)}(z_0)/n!\).

Une fonction holomorphe est de classe \(C^\infty\) et sa dérivée est holomorphe. Ses parties réelle et imaginaire sont harmoniques : \(\Delta P = \Delta Q = 0\). On a de plus les inégalités de Cauchy : si \(|f| \leq\, M(r)\) sur \(C(z_0, r)\), alors \(|a_n| \leq\, M(r)/r^n\). Enfin, pour \(\mathrm{Ind}_\gamma(a) = 1\), \(f^{(n)}(a) = \frac{n!}{2i\pi}\int_\gamma \frac{f(z)}{(z-a)^{n+1}}\,dz\).

Le rayon de la série de Taylor en \(z_0\) est au moins la distance de \(z_0\) au bord de \(U\). Par exemple, la série de \(\frac{1}{1+z^2}\) en \(0\) a pour rayon \(1\), distance de \(0\) aux points \(\pm i\). Cela explique pourquoi la série de \(\frac{1}{1+x^2}\) diverge pour \(|x| > 1\), alors que cette fonction réelle est très régulière.

Soit \(U\) un ouvert connexe et \(f \in \mathcal{H}(U)\) non identiquement nulle. Alors, pour tout zéro \(a\) de \(f\), il existe un entier \(m \geq\, 1\) et \(g \in \mathcal{H}(U)\) tels que \(f(z) = (z-a)^m g(z)\) et \(g(a) \neq 0\). En particulier, les zéros de \(f\) sont isolés : chaque zéro a un voisinage sans autre zéro.

Soit \(A\) l’ensemble des \(z \in U\) tels que \(f^{(n)}(z) = 0\) pour tout \(n\). D’abord, \(A\) est fermé dans \(U\), comme intersection de fermés. Ensuite, \(A\) est ouvert : si \(z \in A\), la série de Taylor de \(f\) en \(z\) est nulle, donc \(f\) est nulle sur un disque centré en \(z\). Par connexité, \(A = \emptyset\) ou \(A = U\). Comme \(f\) n’est pas nulle, \(A = \emptyset\). Soit alors \(a\) un zéro et \(m\) le plus petit entier tel que \(f^{(m)}(a) \neq 0\). On pose \(g(z) = f(z)/(z-a)^m\) pour \(z \neq a\) et \(g(a) = f^{(m)}(a)/m!\). Le développement en série entière montre que \(g\) est holomorphe près de \(a\). Enfin, \(g(a) \neq 0\), donc \(g\) ne s’annule pas près de \(a\) par continuité.

(Prolongement analytique) Soit \(U\) connexe et \(f, g \in \mathcal{H}(U)\). Si \(f = g\) sur une partie de \(U\) qui admet un point d’accumulation dans \(U\), alors \(f = g\) sur \(U\). En particulier, une fonction holomorphe sur \(U\) connexe est déterminée par ses valeurs sur un segment, ou sur une suite convergente dans \(U\).

Pour utiliser le principe des zéros isolés : exhibez une fonction candidate \(g\), puis appliquez le résultat à \(f – g\). Vérifiez trois choses : l’ouvert est connexe, l’égalité a lieu sur un ensemble infini, et cet ensemble s’accumule en un point de l’ouvert.

Les fonctions entières \(z \mapsto \sin^2 z + \cos^2 z\) et \(z \mapsto 1\) coïncident sur \(\mathbb{R}\). Ainsi, elles sont égales sur \(\mathbb{C}\). De même, toute identité algébrique entre fonctions entières vraie sur \(\mathbb{R}\) reste vraie sur \(\mathbb{C}\).

Le point d’accumulation doit appartenir à \(U\). La fonction \(z \mapsto \sin(\pi/z)\) est holomorphe sur \(\mathbb{C}^*\) et s’annule en tous les \(1/n\). Pourtant, elle n’est pas nulle : ses zéros s’accumulent en \(0\), qui n’est pas dans \(\mathbb{C}^*\). La figure ci-dessous montre sa restriction à \(]0, 1]\).

(Liouville) Toute fonction entière et bornée est constante.

Soit \(M\) un majorant de \(|f|\). La fonction \(f\) est somme de sa série de Taylor \(\sum a_n z^n\) sur \(\mathbb{C}\). Les inégalités de Cauchy donnent \(|a_n| \leq\, M/r^n\) pour tout \(r > 0\). Pour \(n \geq\, 1\), on fait tendre \(r\) vers \(+\infty\) : \(a_n = 0\). Donc \(f = a_0\).

(d’Alembert-Gauss) Tout polynôme \(P \in \mathbb{C}[X]\) non constant admet au moins une racine dans \(\mathbb{C}\).

Soit \(P\) de degré \(n \geq\, 1\) et de coefficient dominant \(c \neq 0\). Comme \(P(z) \sim c z^n\), il existe \(R > 0\) tel que \(|P(z)| \geq\, |c|\,|z|^n/2 \geq\, |c| R^n/2\) pour \(|z| \geq\, R\). Supposons par l’absurde que \(P\) ne s’annule pas. Alors \(1/P\) est entière. Elle est bornée sur le disque compact \(\overline{D}(0,R)\) par continuité, et par \(2/(|c|R^n)\) en dehors. D’après Liouville, \(1/P\) est constante, donc \(P\) aussi : c’est absurde.

(Principe du maximum) Soit \(U\) un ouvert connexe et \(f \in \mathcal{H}(U)\). Si \(|f|\) admet un maximum local en un point \(a \in U\), alors \(f\) est constante sur \(U\).

Soit \(r_0 > 0\) tel que \(|f| \leq\, |f(a)|\) sur \(D(a, r_0) \subset U\). Pour \(0 < r < r_0\), la formule de la moyenne donne \(|f(a)| \leq\, \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} |f(a + re^{it})|\,dt \leq\, |f(a)|\). L’intégrande continu est majoré par \(|f(a)|\) et sa moyenne vaut \(|f(a)|\) : il est donc constant égal à \(|f(a)|\). Ainsi \(|f|\) est constant sur \(D(a, r_0)\), donc \(f\) y est constante (partie I). Enfin, le principe du prolongement analytique étend cette égalité à \(U\).

Soit \(U\) un ouvert connexe borné et \(f\) continue sur \(\overline{U}\), holomorphe sur \(U\). Alors le maximum de \(|f|\) sur le compact \(\overline{U}\) est atteint sur le bord \(\partial U\). Si de plus \(f\) ne s’annule pas, le minimum de \(|f|\) est aussi atteint sur le bord (appliquer le résultat à \(1/f\)).

Sur le disque fermé \(\overline{D}(0,1)\), on a \(|e^z| = e^{\mathrm{Re}\, z}\). Le maximum vaut donc \(e\), atteint en \(z = 1\), sur le bord. De même, comme \(\exp\) ne s’annule pas, le minimum \(e^{-1}\) est atteint en \(z = -1\), lui aussi sur le bord.