Réduction de Jordan : cours de maths en L3 en PDF.

L’ensemble des polynômes \(P \in \mathbb{K}[X]\) tels que \(P(u) = 0\) est un idéal non nul de \(\mathbb{K}[X]\). Son unique générateur unitaire s’appelle le polynôme minimal de \(u\), noté \(\pi_u\). Ainsi, \(P(u) = 0\) si et seulement si \(\pi_u\) divise \(P\).

Lemme des noyaux. Soient \(P_1, \ldots, P_r\) des polynômes deux à deux premiers entre eux et \(P = P_1 \cdots P_r\). Alors \[\ker P(u) = \ker P_1(u) \oplus \cdots \oplus \ker P_r(u).\] De plus, les projecteurs associés à cette somme directe sont des polynômes en \(u\).

Traitons le cas \(r = 2\) ; le cas général s’en déduit par récurrence. Par le théorème de Bézout, il existe \(U, V\) tels que \(UP_1 + VP_2 = 1\). Posons \(p_1 = (VP_2)(u)\) et \(p_2 = (UP_1)(u)\), de sorte que \(p_1 + p_2 = \mathrm{id}_E\). Soit \(x \in \ker P(u)\). Alors \(P_1(u)(p_1(x)) = (VP)(u)(x) = 0\), donc \(p_1(x) \in \ker P_1(u)\). De même, \(p_2(x) \in \ker P_2(u)\). Ainsi \(x = p_1(x) + p_2(x)\) est dans la somme. Enfin, si \(x \in \ker P_1(u) \cap \ker P_2(u)\), alors \(x = V(u)P_2(u)(x) + U(u)P_1(u)(x) = 0\). La somme est donc directe.

Si \(\pi_u = (X – 1)^2(X – 2)\), on a \(1 = (X – 1)^2 – X(X – 2)\). Par conséquent, \(E = \ker (u – \mathrm{id})^2 \oplus \ker (u – 2\,\mathrm{id})\), et le projecteur sur le second facteur parallèlement au premier est \((u – \mathrm{id})^2\).

Le sous-espace caractéristique de \(u\) associé à \(\lambda_i\) est \(F_{\lambda_i} = \ker (u – \lambda_i\,\mathrm{id}_E)^{m_i}\). Il contient le sous-espace propre \(E_{\lambda_i} = \ker(u – \lambda_i\,\mathrm{id}_E)\).

On a \(E = F_{\lambda_1} \oplus \cdots \oplus F_{\lambda_r}\). Chaque \(F_{\lambda_i}\) est stable par \(u\), de dimension \(m_i\). En outre, la restriction de \(u – \lambda_i\,\mathrm{id}\) à \(F_{\lambda_i}\) est nilpotente. Si \(\pi_u = \prod (X – \lambda_i)^{k_i}\), alors on a aussi \(F_{\lambda_i} = \ker(u – \lambda_i\,\mathrm{id})^{k_i}\).

Les polynômes \((X – \lambda_i)^{m_i}\) sont premiers entre eux deux à deux. Le lemme des noyaux appliqué à \(\chi_u\), avec Cayley-Hamilton, donne la somme directe. La stabilité vient de ce que \(u\) commute avec tout polynôme en \(u\). Notons \(u_i\) la restriction de \(u\) à \(F_{\lambda_i}\) et \(d_i = \dim F_{\lambda_i}\). Comme \((u_i – \lambda_i)^{m_i} = 0\), la seule valeur propre de \(u_i\) est \(\lambda_i\), donc \(\chi_{u_i} = (X – \lambda_i)^{d_i}\). Or \(\chi_u = \prod \chi_{u_i}\) ; par unicité de la factorisation, \(d_i = m_i\). Le même argument avec \(\pi_u\) donne la dernière égalité.

Décomposition de Dunford. Si \(\chi_u\) est scindé, il existe un unique couple \((d, n)\) d’endomorphismes de \(E\) tel que : \(u = d + n\), \(d\) est diagonalisable, \(n\) est nilpotent et \(d \circ n = n \circ d\). De plus, \(d\) et \(n\) sont des polynômes en \(u\).

Existence. Notons \(p_i\) les projecteurs associés à \(E = \bigoplus F_{\lambda_i}\) ; ce sont des polynômes en \(u\) d’après le lemme des noyaux. Posons \(d = \sum \lambda_i p_i\) et \(n = u – d\). Alors \(d\) est diagonalisable, car il vaut \(\lambda_i\,\mathrm{id}\) sur chaque \(F_{\lambda_i}\). Ensuite, \(n\) agit sur \(F_{\lambda_i}\) comme \(u – \lambda_i\,\mathrm{id}\), qui y est nilpotent : \(n\) est donc nilpotent. Enfin, \(d\) et \(n\) sont des polynômes en \(u\), donc ils commutent.

Unicité. Soit \((d^{\prime}, n^{\prime})\) un autre couple. Comme \(d^{\prime}\) commute avec \(n^{\prime}\), il commute avec \(u\), donc avec \(d\) et \(n\), qui sont des polynômes en \(u\). Alors \(d – d^{\prime} = n^{\prime} – n\). D’une part, \(d\) et \(d^{\prime}\) sont diagonalisables et commutent : ils sont codiagonalisables, donc \(d – d^{\prime}\) est diagonalisable. D’autre part, \(n^{\prime} – n\) est nilpotent, par la formule du binôme. Un endomorphisme diagonalisable et nilpotent est nul. Donc \(d = d^{\prime}\) et \(n = n^{\prime}\).

Pour calculer la décomposition de Dunford d’une matrice \(A\) : factoriser \(\chi_A\) ; écrire une relation de Bézout entre les facteurs \((X – \lambda_i)^{m_i}\) (ou \((X – \lambda_i)^{k_i}\) si l’on connaît \(\pi_A\)) ; en déduire les projecteurs \(P_i\) ; poser \(D = \sum \lambda_i P_i\) puis \(N = A – D\). Vérifiez toujours à la fin que \(DN = ND\) et que \(N\) est nilpotente.

Écrire une matrice triangulaire comme « diagonale plus strictement triangulaire » ne donne pas, en général, sa décomposition de Dunford. Par exemple, \(\begin{pmatrix} 1 1 \\ 0 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 0 \\ 0 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 1 \\ 0 0 \end{pmatrix}\), mais ces deux matrices ne commutent pas. En réalité, cette matrice est diagonalisable : sa décomposition de Dunford est \(D = A\) et \(N = 0\).

Pour \(A = \begin{pmatrix} 3 1 \\ -1 1 \end{pmatrix}\), on trouve \(\chi_A = (X – 2)^2\). Le seul sous-espace caractéristique est \(\mathbb{K}^2\), donc \(D = 2I_2\) et \(N = A – 2I_2 = \begin{pmatrix} 1 1 \\ -1 -1 \end{pmatrix}\), avec \(N^2 = 0\). Par la formule du binôme, \(A^k = 2^k I_2 + k\,2^{k-1} N\) pour tout \(k \in \mathbb{N}\).

Un endomorphisme \(v\) est nilpotent s’il existe \(k \geq\, 1\) tel que \(v^k = 0\). Le plus petit tel entier est l’indice de nilpotence de \(v\). Autrement dit, si \(p\) est l’indice, alors \(\pi_v = X^p\).

Si \(v\) est nilpotent d’indice \(p\), alors \(p \leq\, n\) et \(\chi_v = X^n\). Réciproquement, sur \(\mathbb{C}\), un endomorphisme dont la seule valeur propre est \(0\) est nilpotent. Par ailleurs, la suite des noyaux itérés \(\ker v^k\) est strictement croissante pour \(0 \leq\, k \leq\, p\), puis constante égale à \(E\).

Le polynôme minimal \(X^p\) divise \(\chi_v\), qui est de degré \(n\), donc \(p \leq\, n\). Ensuite, \(X^n\) est annulateur, donc toute valeur propre est nulle. Sur \(\mathbb{C}\), \(\chi_v\) est scindé et a pour seule racine \(0\), d’où \(\chi_v = X^n\). Pour les noyaux, supposons \(\ker v^k = \ker v^{k+1}\). Si \(v^{k+2}(x) = 0\), alors \(v(x) \in \ker v^{k+1} = \ker v^k\), donc \(x \in \ker v^{k+1}\). Ainsi la suite stationne dès qu’elle stagne une fois, ce qui ne peut arriver avant le rang \(p\).

Pour \(k \geq\, 1\), on note \(J_k(0)\) la matrice de taille \(k\) dont les coefficients valent \(1\) juste au-dessus de la diagonale et \(0\) ailleurs. On pose \(J_k(\lambda) = \lambda I_k + J_k(0)\). Par exemple, \[J_3(\lambda) = \begin{pmatrix} \lambda 1 0 \\ 0 \lambda 1 \\ 0 0 \lambda \end{pmatrix}.\]

Si \(v\) est nilpotent, il existe une base de \(E\) dans laquelle la matrice de \(v\) est diagonale par blocs \(\mathrm{diag}(J_{k_1}(0), \ldots, J_{k_s}(0))\), avec \(k_1 \geq\, k_2 \geq\, \cdots \geq\, k_s \geq\, 1\) et \(k_1 + \cdots + k_s = n\). La suite \((k_1, \ldots, k_s)\), qui est une partition de \(n\), est uniquement déterminée par \(v\).

Unicité. Le noyau de \(J_k(0)^j\) est de dimension \(\min(j, k)\). Par conséquent, \(\dim \ker v^j – \dim \ker v^{j-1}\) est égal au nombre de blocs de taille au moins \(j\). Ces nombres ne dépendent que de \(v\), donc la partition non plus.

Existence. On raisonne par récurrence sur l’indice \(p\). On choisit un supplémentaire \(S_p\) de \(\ker v^{p-1}\) dans \(\ker v^p = E\). L’application \(v\) envoie injectivement \(S_p\) dans \(\ker v^{p-1}\), et \(v(S_p)\) est en somme directe avec \(\ker v^{p-2}\). On complète alors \(v(S_p)\) en un supplémentaire \(S_{p-1}\) de \(\ker v^{p-2}\) dans \(\ker v^{p-1}\), et ainsi de suite jusqu’à \(\ker v\). En partant d’une base de chaque complément ajouté et en appliquant \(v\) successivement, on obtient des chaînes dont la réunion est une base de \(E\).

Pour construire une base de Jordan d’un nilpotent \(v\) d’indice \(p\) : calculer les noyaux \(\ker v^j\) ; choisir des vecteurs de \(\ker v^p\) hors de \(\ker v^{p-1}\) (autant que \(d_p\)) ; leur appliquer \(v\) jusqu’à tomber dans \(\ker v\) ; recommencer au niveau \(p – 1\) en complétant les images déjà obtenues, et ainsi de suite. Rangez enfin chaque chaîne du bas vers le haut : \(v^{k-1}(x), \ldots, v(x), x\).

Réduction de Jordan. Si \(\chi_u\) est scindé, il existe une base de \(E\) dans laquelle la matrice de \(u\) est diagonale par blocs, chaque bloc étant un bloc de Jordan \(J_k(\lambda)\) avec \(\lambda\) valeur propre de \(u\). Cette matrice, appelée réduite de Jordan, est unique à l’ordre des blocs près.

On applique le théorème des nilpotents à la restriction de \(u – \lambda_i\,\mathrm{id}\) à chaque \(F_{\lambda_i}\), puis on réunit les bases obtenues. Pour l’unicité, les valeurs propres et leurs multiplicités sont déterminées par \(\chi_u\). Ensuite, pour chaque \(\lambda\), le nombre de blocs \(J_k(\lambda)\) de taille au moins \(j\) vaut \(\dim \ker(u – \lambda\,\mathrm{id})^j – \dim \ker(u – \lambda\,\mathrm{id})^{j-1}\). Ces quantités ne dépendent que de \(u\).

Soit \(A = \begin{pmatrix} 0 1 0 \\ -1 2 0 \\ 1 -1 2 \end{pmatrix}\). On trouve \(\chi_A = (X – 1)^2 (X – 2)\) et \(\dim \ker(A – I_3) = 1\). Il y a donc un seul bloc pour la valeur propre \(1\), de taille \(2\). Avec \(v_1 = (1, 1, 0)\), \(v_2 = (0, 1, 1)\) et \(v_3 = (0, 0, 1)\), on vérifie \(Av_1 = v_1\), \(Av_2 = v_1 + v_2\) et \(Av_3 = 2v_3\). Par conséquent, \[A = P \begin{pmatrix} 1 1 0 \\ 0 1 0 \\ 0 0 2 \end{pmatrix} P^{-1}, \quad P = \begin{pmatrix} 1 0 0 \\ 1 1 0 \\ 0 1 1 \end{pmatrix}.\]

Deux matrices de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{C})\) sont semblables si et seulement si elles ont la même réduite de Jordan, à l’ordre des blocs près. Autrement dit, elles sont semblables si et seulement si, pour toute valeur propre \(\lambda\) et tout \(j \geq\, 1\), \[\mathrm{rg}(A – \lambda I_n)^j = \mathrm{rg}(B – \lambda I_n)^j.\]

Le polynôme caractéristique et le polynôme minimal ne suffisent pas en général. Par exemple, \(\mathrm{diag}(J_2(0), J_2(0))\) et \(\mathrm{diag}(J_2(0), J_1(0), J_1(0))\) ont toutes deux \(\chi = X^4\) et \(\pi = X^2\), mais leurs rangs valent \(2\) et \(1\). En revanche, ils suffisent en dimension \(n \leq\, 3\).

Un endomorphisme \(v\) est cyclique s’il existe \(x \in E\) tel que \((x, v(x), \ldots, v^{n-1}(x))\) soit une base de \(E\). C’est le cas si et seulement si \(\pi_v = \chi_v\). Dans cette base, la matrice de \(v\) est la matrice compagnon de \(\chi_v\).

Décomposition de Frobenius. Il existe une unique suite de polynômes unitaires non constants \(P_1, \ldots, P_s\) telle que \(P_1\) divise \(P_2\), qui divise \(P_3\), et ainsi de suite, et une décomposition \(E = E_1 \oplus \cdots \oplus E_s\) en sous-espaces stables où \(u\) induit un endomorphisme cyclique de polynôme minimal \(P_i\). Les \(P_i\) sont les invariants de similitude de \(u\). On a \(P_s = \pi_u\) et \(P_1 \cdots P_s = \chi_u\).

Pour la réduite \(\mathrm{diag}(J_2(1), J_1(1), J_1(2))\), les blocs de \(1\) sont de tailles \(2\) et \(1\), celui de \(2\) de taille \(1\). Par conséquent, \(P_2 = (X – 1)^2(X – 2)\) et \(P_1 = X – 1\). On vérifie que \(P_1 P_2 = (X – 1)^3(X – 2) = \chi\).

Deux matrices sont semblables si et seulement si elles ont les mêmes invariants de similitude. En particulier, deux matrices réelles semblables dans \(\mathcal{M}_n(\mathbb{C})\) sont semblables dans \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\), car les invariants ne dépendent pas du corps.

Pour \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\), la série \(\sum_{k \geq\, 0} \frac{A^k}{k!}\) converge absolument pour toute norme d’algèbre. Sa somme est l’exponentielle de \(A\), notée \(\exp(A)\) ou \(e^A\).

Si \(AB = BA\), alors \(\exp(A + B) = \exp(A)\exp(B)\). Par conséquent, \(\exp(A)\) est inversible d’inverse \(\exp(-A)\). De plus, \(\exp(PAP^{-1}) = P\exp(A)P^{-1}\) et \(\det \exp(A) = e^{\mathrm{tr}(A)}\).

Si \(A = D + N\) est la décomposition de Dunford, avec \(D = \sum \lambda_i P_i\) et \(N^p = 0\), alors \[\exp(tA) = \exp(tD)\exp(tN) = \Big(\sum_i e^{\lambda_i t} P_i\Big) \sum_{k=0}^{p-1} \frac{t^k N^k}{k!}.\] La somme de droite est finie : c’est tout l’intérêt de la méthode.

Pour un bloc de Jordan, \(J_3(\lambda) = \lambda I_3 + J_3(0)\), avec \(J_3(0)^3 = 0\). Ainsi \[\exp(tJ_3(\lambda)) = e^{\lambda t}\begin{pmatrix} 1 t t^2/2 \\ 0 1 t \\ 0 0 1 \end{pmatrix}.\]

Le dual de \(E\) est \(E^* = \mathcal{L}(E, \mathbb{K})\), l’espace des formes linéaires. Si \(\mathcal{B} = (e_1, \ldots, e_n)\) est une base de \(E\), les formes \(e_i^*\) définies par \(e_i^*(e_j) = \delta_{ij}\) forment une base de \(E^*\), appelée base duale. Pour tout \(x \in E\), on a \(x = \sum_i e_i^*(x)\,e_i\) : la forme \(e_i^*\) donne la \(i\)-ème coordonnée.

Si \(P\) est la matrice de passage de la base canonique de \(\mathbb{K}^n\) à \(\mathcal{B}\), alors les lignes de \(P^{-1}\) sont les matrices des formes \(e_1^*, \ldots, e_n^*\) dans la base canonique duale.

Dans \(\mathbb{R}^2\), prenons \(e_1 = (1, 0)\) et \(e_2 = (1, 2)\). On a \(P^{-1} = \begin{pmatrix} 1 -1/2 \\ 0 1/2 \end{pmatrix}\), donc \(e_1^*(x, y) = x – \frac{y}{2}\) et \(e_2^*(x, y) = \frac{y}{2}\). La figure ci-dessous montre les droites \(e_i^* = 0\) et \(e_i^* = 1\) : le noyau de \(e_1^*\) est la droite portée par \(e_2\), et réciproquement.

L’orthogonal d’une partie \(F\) de \(E\) est \(F^{\perp} = \{\varphi \in E^* : \forall x \in F,\ \varphi(x) = 0\}\). La transposée de \(u \in \mathcal{L}(E)\) est l’application \(u^{\top} : E^* \to E^*\), \(\varphi \mapsto \varphi \circ u\).

Si \(F\) est un sous-espace de \(E\), alors \(\dim F + \dim F^{\perp} = n\). Si \(A\) est la matrice de \(u\) dans \(\mathcal{B}\), alors la matrice de \(u^{\top}\) dans \(\mathcal{B}^*\) est \(A^{\top}\). Enfin, \(\ker u^{\top} = (\mathrm{Im}\,u)^{\perp}\), donc \(\mathrm{rg}\,u^{\top} = \mathrm{rg}\,u\).

Complétons une base \((e_1, \ldots, e_p)\) de \(F\) en une base \(\mathcal{B}\) de \(E\). Une forme \(\varphi = \sum c_i e_i^*\) s’annule sur \(F\) si et seulement si \(c_1 = \cdots = c_p = 0\). Donc \(F^{\perp} = \mathrm{Vect}(e_{p+1}^*, \ldots, e_n^*)\), de dimension \(n – p\). Ensuite, le coefficient \((i, j)\) de la matrice de \(u^{\top}\) vaut \(u^{\top}(e_j^*)(e_i) = e_j^*(u(e_i)) = a_{ji}\). Enfin, \(\varphi \circ u = 0\) signifie exactement que \(\varphi\) s’annule sur \(\mathrm{Im}\,u\).