Espaces Lp : cours de maths en L3 en PDF.

Inégalité de Jensen. On suppose \(\mu(X) = 1\). Soient \(g \in \mathcal{L}^1(\mu)\) à valeurs dans un intervalle ouvert \(I\) et \(\varphi : I \to \mathbb{R}\) convexe. Alors \(\int g \, d\mu \in I\), la partie négative de \(\varphi \circ g\) est intégrable et

\[\varphi(\int_X g \, d\mu) \leq\, \int_X \varphi \circ g \, d\mu.\]

On admet le point \(m = \int g \, d\mu \in I\), qui résulte de la positivité de l’intégrale. Soit \(c\) la pente d’une droite d’appui en \(m\). Pour tout \(x \in X\), on a \(\varphi(g(x)) \geq\, \varphi(m) + c\,(g(x) – m)\). Le membre de droite est intégrable, donc la partie négative de \(\varphi \circ g\) l’est aussi. En intégrant, et puisque \(\mu(X) = 1\), on obtient \(\int \varphi \circ g \, d\mu \geq\, \varphi(m) + c\,(m – m) = \varphi(m)\).

Sur \([0,1]\) muni de la mesure de Lebesgue, prenons \(\varphi(t) = t^2\). Pour toute \(f \in \mathcal{L}^2([0,1])\), on obtient \((\int_0^1 |f|)^2 \leq\, \int_0^1 |f|^2\). De même, avec \(\varphi = \exp\) et \(g = \ln f\), on trouve \(\exp(\int_0^1 \ln f) \leq\, \int_0^1 f\) : c’est une inégalité arithmético-géométrique continue.

Deux réels \(p, q \in [1, +\infty]\) sont conjugués si \(\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1\), avec la convention \(\frac{1}{\infty} = 0\). Ainsi \(1\) et \(\infty\) sont conjugués, \(2\) est conjugué de lui-même et le conjugué de \(p \in \,]1, +\infty[\) vaut \(q = \frac{p}{p-1}\).

Inégalité de Young. Soient \(p, q \in \,]1, +\infty[\) conjugués. Pour tous réels \(a, b \geq\, 0\), on a \(ab \leq\, \dfrac{a^p}{p} + \dfrac{b^q}{q}\).

Si \(a = 0\) ou \(b = 0\), c’est évident. Sinon, la concavité du logarithme donne \(\ln(\frac{1}{p} a^p + \frac{1}{q} b^q) \geq\, \frac{1}{p} \ln(a^p) + \frac{1}{q} \ln(b^q) = \ln(ab)\). On conclut par croissance de l’exponentielle.

Inégalité de Hölder. Soient \(p, q \in \,]1, +\infty[\) conjugués et \(f, g \in \mathcal{M}\). Alors

\[\int_X |fg| \, d\mu \leq\, \|f\|_p \, \|g\|_q.\]

Le cas \(p = q = 2\) est l’inégalité de Cauchy-Schwarz.

Si \(\|f\|_p = 0\), alors \(f = 0\) presque partout, donc \(fg = 0\) presque partout et l’inégalité est vraie. Il en va de même si \(\|g\|_q = 0\). Si l’une des normes est infinie, il n’y a rien à montrer. Sinon, on pose \(F = |f| / \|f\|_p\) et \(G = |g| / \|g\|_q\). D’après l’inégalité de Young, \(FG \leq\, \frac{F^p}{p} + \frac{G^q}{q}\) en tout point. En intégrant, on obtient \(\int FG \leq\, \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1\), ce qui est l’inégalité annoncée.

Inégalité de Minkowski. Soient \(p \in [1, +\infty[\) et \(f, g \in \mathcal{M}\) telles que \(\|f\|_p\) et \(\|g\|_p\) soient finies. Alors \(\|f + g\|_p \leq\, \|f\|_p + \|g\|_p\).

Le cas \(p = 1\) découle de \(|f + g| \leq\, |f| + |g|\). Supposons \(p > 1\) et notons \(q\) son conjugué. D’abord, la convexité de \(t \mapsto t^p\) donne \(|f+g|^p \leq\, 2^{p-1}(|f|^p + |g|^p)\), donc \(\|f+g\|_p < +\infty\). Ensuite, on écrit \(|f + g|^p \leq\, |f|\,|f+g|^{p-1} + |g|\,|f+g|^{p-1}\). Or \((p-1)q = p\), donc \(\big\| |f+g|^{p-1} \big\|_q = \|f+g\|_p^{p-1}\). L’inégalité de Hölder fournit alors

\[\|f+g\|_p^p \leq\, (\|f\|_p + \|g\|_p) \|f+g\|_p^{p-1}.\]

Enfin, si \(\|f+g\|_p \neq 0\), on divise par \(\|f+g\|_p^{p-1}\).

Pour appliquer l’inégalité de Hölder à une intégrale \(\int |h|\), on écrit \(h\) comme un produit \(fg\), puis on choisit les exposants \(p\) et \(q\) pour que \(\|f\|_p\) et \(\|g\|_q\) soient finis et calculables. Par exemple, pour \(f \in L^4([0,1])\), on a \(\int_0^1 |f(x)|\, x^{-1/2} \, dx \leq\, \|f\|_4 (\int_0^1 x^{-2/3} \, dx)^{3/4} = 3^{3/4} \|f\|_4\), avec \(q = 4/3\). Pour la version à trois fonctions, on applique Hölder deux fois.

Pour \(p \in [1, +\infty[\), on note \(\mathcal{L}^p(X, \mathcal{A}, \mu)\) l’ensemble des fonctions mesurables \(f\) telles que \(\int_X |f|^p \, d\mu < +\infty\). D’après l’inégalité de Minkowski, c’est un espace vectoriel et \(\|\cdot\|_p\) y est une semi-norme.

La relation « \(f = g\) \(\mu\)-presque partout » est une relation d’équivalence sur \(\mathcal{L}^p\). L’ensemble \(\mathcal{N}\) des fonctions nulles presque partout est un sous-espace vectoriel. On pose \(L^p(\mu) = \mathcal{L}^p(\mu) / \mathcal{N}\). La quantité \(\|f\|_p\) ne dépend que de la classe de \(f\), et elle définit une norme sur \(L^p(\mu)\).

Un élément de \(L^p\) est une classe de fonctions, pas une fonction. Par conséquent, la valeur \(f(x_0)\) en un point n’a aucun sens si \(\mu(\{x_0\}) = 0\). En revanche, les intégrales, les inégalités presque partout et les limites presque partout ont un sens. Dans la pratique, on confond une classe avec l’un de ses représentants, en ne l’utilisant que pour des propriétés insensibles aux ensembles négligeables.

Pour \(f \in \mathcal{M}\), on appelle borne supérieure essentielle de \(|f|\) le nombre

\[\|f\|_\infty = \inf\{ C \geq\, 0 : |f| \leq\, C \ \mu\text{-presque partout} \} \in [0, +\infty].\]

On note \(\mathcal{L}^\infty(\mu)\) l’ensemble des \(f\) mesurables avec \(\|f\|_\infty < +\infty\), et \(L^\infty(\mu)\) son quotient par \(\mathcal{N}\).

Pour tout \(f \in \mathcal{M}\), on a \(|f| \leq\, \|f\|_\infty\) presque partout : la borne inférieure est atteinte. De plus, \(\|\cdot\|_\infty\) est une norme sur \(L^\infty(\mu)\), et \(\int |fg| \leq\, \|f\|_1 \|g\|_\infty\).

Si \(\|f\|_\infty = +\infty\), il n’y a rien à montrer. Sinon, l’ensemble \(\{|f| > \|f\|_\infty\}\) est la réunion des ensembles \(\{|f| > \|f\|_\infty + 1/n\}\) pour \(n \geq\, 1\). Chacun est négligeable par définition de la borne inférieure. Ainsi, cette réunion dénombrable est négligeable. L’inégalité triangulaire s’en déduit : presque partout, \(|f + g| \leq\, |f| + |g| \leq\, \|f\|_\infty + \|g\|_\infty\). Enfin, \(|fg| \leq\, |f|\,\|g\|_\infty\) presque partout, et on intègre.

Sur \([0,1]\), la fonction \(f\) égale à \(x\) si \(x \notin \mathbb{Q}\) et à \(5\) si \(x \in \mathbb{Q}\) vérifie \(\sup |f| = 5\) mais \(\|f\|_\infty = 1\). En effet, \(f\) coïncide presque partout avec \(x \mapsto x\). Plus généralement, pour une fonction continue sur un intervalle ouvert, la borne supérieure essentielle égale la borne supérieure.

Théorème de Riesz-Fischer. Pour tout \(p \in [1, +\infty]\), l’espace \(L^p(\mu)\) muni de \(\|\cdot\|_p\) est un espace de Banach. De plus, si \(p < +\infty\) et si \((f_n)\) converge vers \(f\) dans \(L^p\), il existe une sous-suite \((f_{n_k})\) et une fonction \(G \in \mathcal{L}^p\) telles que \(f_{n_k} \to f\) presque partout et \(|f_{n_k}| \leq\, G\) presque partout pour tout \(k\).

Supposons d’abord \(p < +\infty\). Soit \((f_n)\) une suite de Cauchy. On construit des indices \(n_1 < n_2 < \cdots\) tels que \(\|f_{n_{k+1}} – f_{n_k}\|_p \leq\, 2^{-k}\). On pose \(g_K = \sum_{k=1}^{K} |f_{n_{k+1}} – f_{n_k}|\). D’après Minkowski, \(\|g_K\|_p \leq\, 1\). La suite \((g_K)\) croît vers une fonction \(g\) à valeurs dans \([0, +\infty]\). Par convergence monotone, \(\int g^p = \lim \int g_K^p \leq\, 1\), donc \(g\) est finie presque partout.

Ainsi, en presque tout point \(x\), la série \(\sum (f_{n_{k+1}}(x) – f_{n_k}(x))\) converge absolument. Par conséquent, \(f_{n_k}(x)\) converge vers une limite \(f(x)\). On pose \(f = 0\) ailleurs, et \(f\) est mesurable. De plus, \(|f_{n_k}| \leq\, |f_{n_1}| + g = G\), avec \(G \in \mathcal{L}^p\).

Montrons enfin la convergence en norme. Soit \(\varepsilon > 0\) et \(N\) tel que \(\|f_n – f_m\|_p \leq\, \varepsilon\) pour \(n, m \geq\, N\). Pour \(n \geq\, N\), le lemme de Fatou donne

\[\int |f_n – f|^p = \int \liminf_{k} |f_n – f_{n_k}|^p \leq\, \liminf_{k} \int |f_n – f_{n_k}|^p \leq\, \varepsilon^p.\]

Donc \(f_n – f \in \mathcal{L}^p\), puis \(f \in \mathcal{L}^p\), et \(\|f_n – f\|_p \leq\, \varepsilon\) pour \(n \geq\, N\).

Pour \(p = +\infty\), on note \(E\) la réunion des ensembles \(\{|f_n – f_m| > \|f_n – f_m\|_\infty\}\). Elle est négligeable. Hors de \(E\), la suite est uniformément de Cauchy, donc elle converge uniformément vers une fonction bornée \(f\). On pose \(f = 0\) sur \(E\).

Pour \(p = 2\), la norme provient du produit scalaire \(\langle f, g \rangle = \int f \overline{g} \, d\mu\). Ainsi, \(L^2(\mu)\) est un espace de Hilbert, ce qui sera exploité dans le chapitre consacré à ces espaces.

Sur \([0,1]\), la suite \(f_n = n \mathbf{1}_{]0, 1/n]}\) converge vers \(0\) en tout point. Cependant, \(\|f_n\|_1 = 1\) pour tout \(n\). La masse se concentre près de \(0\) au lieu de disparaître.

Convergence dominée dans \(L^p\). Si \(f_n \to f\) presque partout et s’il existe \(G \in \mathcal{L}^p\) telle que \(|f_n| \leq\, G\) presque partout pour tout \(n\), alors \(f \in L^p\) et \(\|f_n – f\|_p \to 0\).

Par passage à la limite, \(|f| \leq\, G\) presque partout, donc \(f \in L^p\). Ensuite, \(|f_n – f|^p \leq\, (2G)^p\), qui est intégrable, et \(|f_n – f|^p \to 0\) presque partout. Le théorème de convergence dominée conclut.

Pour extraire une sous-suite convergeant presque partout d’une suite \((f_n)\) qui converge vers \(f\) dans \(L^p\), on choisit \(n_k\) strictement croissante avec \(\|f_{n_k} – f\|_p \leq\, 2^{-k}\). Alors \(H = \sum_k |f_{n_k} – f|\) vérifie \(\|H\|_p \leq\, 1\) par Minkowski et convergence monotone. Donc \(H\) est finie presque partout, et le terme général \(|f_{n_k} – f|\) tend vers \(0\) presque partout. Dans l’exemple de la bosse glissante, la sous-suite \(g_{2^k} = \mathbf{1}_{[0, 2^{-k}]}\) converge vers \(0\) en tout \(x > 0\).

Si \(f_n \to f\) dans \(L^p\) et \(f_n \to g\) presque partout, alors \(f = g\) presque partout.

On suppose \(\mu(X) < +\infty\). Pour \(1 \leq\, p < q \leq\, +\infty\) et \(f \in \mathcal{M}\), on a

\[\|f\|_p \leq\, \mu(X)^{\frac{1}{p} – \frac{1}{q}} \, \|f\|_q.\]

Par conséquent, \(L^q(\mu) \subset L^p(\mu)\), et l’injection est continue.

Si \(q = +\infty\), on intègre \(|f|^p \leq\, \|f\|_\infty^p\) presque partout. Sinon, on applique Hölder à \(|f|^p \cdot 1\) avec l’exposant \(r = q/p > 1\) et son conjugué \(r^{\prime} = \frac{q}{q-p}\) :

\[\int |f|^p \leq\, (\int |f|^q)^{p/q} \mu(X)^{1 – p/q}.\]

On élève ensuite à la puissance \(1/p\).

Interpolation. Soient \(1 \leq\, p < r < q \leq\, +\infty\) et \(\theta \in \,]0,1[\) tel que \(\frac{1}{r} = \frac{\theta}{p} + \frac{1 – \theta}{q}\). Pour tout \(f \in \mathcal{M}\), on a \(\|f\|_r \leq\, \|f\|_p^{\theta} \, \|f\|_q^{1-\theta}\). En particulier, \(L^p \cap L^q \subset L^r\).

Pour montrer qu’une fonction appartient à \(L^p\), on découpe le domaine en une zone où \(f\) est bornée, une zone proche des singularités et une zone à l’infini. Puis on compare \(|f|^p\) à des fonctions de référence du type \(x^{-\alpha}\) ou \(x^{-\alpha} |\ln x|^{-\beta}\). Pour comparer les espaces sur une mesure finie, on utilise l’inégalité \(\|f\|_p \leq\, \mu(X)^{1/p – 1/q} \|f\|_q\), et on cherche les contre-exemples parmi les puissances.

Soit \(1 \leq\, p < +\infty\). Les fonctions étagées intégrables, c’est-à-dire de la forme \(\sum_{i=1}^{m} c_i \mathbf{1}_{A_i}\) avec \(\mu(A_i) < +\infty\), forment un sous-espace dense de \(L^p(\mu)\). Les fonctions étagées sont aussi denses dans \(L^\infty(\mu)\).

Soit \(f \in \mathcal{L}^p\) positive. Il existe une suite croissante de fonctions étagées positives \(s_n\) qui converge simplement vers \(f\). Comme \(0 \leq\, s_n \leq\, f\), on a \(s_n \in \mathcal{L}^p\), donc \(\mu(\{s_n \neq 0\}) < +\infty\). De plus, \(|f – s_n|^p \leq\, f^p\), et le théorème de convergence dominée donne \(\|f – s_n\|_p \to 0\). Pour \(f\) réelle, on écrit \(f = f^+ – f^-\) et on utilise Minkowski. Pour \(f\) complexe, on traite séparément les parties réelle et imaginaire. Enfin, dans \(L^\infty\), une fonction bornée est limite uniforme de fonctions étagées.

Soit \(1 \leq\, p < +\infty\). L’espace \(C_c(\mathbb{R}^d)\) des fonctions continues à support compact est dense dans \(L^p(\mathbb{R}^d)\) muni de la mesure de Lebesgue. En revanche, il n’est pas dense dans \(L^\infty(\mathbb{R}^d)\).

D’après le point précédent et l’inégalité de Minkowski, il suffit d’approcher \(\mathbf{1}_A\) avec \(\lambda(A) < +\infty\). Par convergence dominée, \(\mathbf{1}_{A \cap [-N, N]^d} \to \mathbf{1}_A\) dans \(L^p\), donc on peut supposer \(A\) borné. La régularité de la mesure de Lebesgue fournit, pour \(\varepsilon > 0\), un compact \(K\) et un ouvert borné \(U\) avec \(K \subset A \subset U\) et \(\lambda(U \setminus K) \leq\, \varepsilon\). On pose alors

\[\varphi(x) = \frac{d(x, U^c)}{d(x, U^c) + d(x, K)}.\]

Cette fonction est continue, vaut \(1\) sur \(K\), \(0\) hors de \(U\), et prend ses valeurs dans \([0,1]\). Ainsi, \(|\varphi – \mathbf{1}_A| \leq\, \mathbf{1}_{U \setminus K}\), d’où \(\|\varphi – \mathbf{1}_A\|_p \leq\, \varepsilon^{1/p}\). Pour \(L^\infty\), une fonction continue \(\varphi\) vérifie toujours \(\|\varphi – \mathbf{1}_{[0,1]}\|_\infty \geq\, 1/2\) sur \(\mathbb{R}\).

Pour utiliser un argument de densité, on procède en trois temps. D’abord, on démontre la propriété pour une classe simple de fonctions : indicatrices d’intervalles, fonctions étagées ou fonctions de \(C_c\). Ensuite, on vérifie que les quantités en jeu dépendent continûment de \(f\) pour la norme \(\|\cdot\|_p\), souvent grâce à Hölder ou Minkowski. Enfin, on conclut par un découpage en \(\varepsilon / 3\).

Montrons que la translation \(\tau_h f = f(\cdot – h)\) vérifie \(\|\tau_h f – f\|_p \to 0\) quand \(h \to 0\), pour \(f \in L^p(\mathbb{R})\) et \(p < +\infty\). Pour \(\varphi \in C_c(\mathbb{R})\), c’est une conséquence de la continuité uniforme. Ensuite, pour \(\|f – \varphi\|_p \leq\, \varepsilon\), l’invariance de la mesure par translation donne \(\|\tau_h f – f\|_p \leq\, 2\varepsilon + \|\tau_h \varphi – \varphi\|_p\). Donc la limite supérieure est au plus \(2\varepsilon\), pour tout \(\varepsilon\).