Tribus et mesures : cours de maths en L3 en PDF.

Un ensemble \(D\) est dénombrable s’il existe une injection de \(D\) dans \(\mathbb{N}\). De manière équivalente, \(D\) est fini ou en bijection avec \(\mathbb{N}\). Un ensemble qui n’est pas dénombrable est dit non dénombrable.

L’ensemble \(\mathbb{N}^2\) est dénombrable. D’abord, on parcourt les couples diagonale par diagonale : on range \((m,n)\) selon la valeur de \(m+n\), puis selon \(m\). On obtient ainsi la bijection de Cantor
\[\pi(m,n) = \frac{(m+n)(m+n+1)}{2} + m.\]
Plus simplement, l’application \((m,n) \mapsto 2^m 3^n\) est injective par unicité de la décomposition en facteurs premiers.

Une partie d’un ensemble dénombrable est dénombrable. L’image d’un ensemble dénombrable par une application est dénombrable. Un produit fini d’ensembles dénombrables est dénombrable. Enfin, une réunion dénombrable d’ensembles dénombrables est dénombrable.

Traitons la réunion \(D = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} D_n\), avec chaque \(D_n\) non vide. Pour chaque \(n\), on choisit une surjection \(s_n : \mathbb{N} \to D_n\). Alors \((n,k) \mapsto s_n(k)\) est une surjection de \(\mathbb{N}^2\) sur \(D\). Par conséquent, \(D\) est l’image d’un ensemble dénombrable, donc \(D\) est dénombrable.

L’ensemble \(\{0,1\}^{\mathbb{N}}\) des suites à valeurs dans \(\{0,1\}\) n’est pas dénombrable. Par suite, \(\mathbb{R}\) et tout intervalle non trivial ne sont pas dénombrables.

Soit \((u^{(k)})_{k \in \mathbb{N}}\) une suite d’éléments de \(\{0,1\}^{\mathbb{N}}\). On pose \(v_k = 1 – u^{(k)}_k\) : c’est l’argument diagonal. Pour tout \(k\), la suite \(v\) diffère de \(u^{(k)}\) au rang \(k\). Donc aucune suite ne recouvre \(\{0,1\}^{\mathbb{N}}\). Ensuite, \(v \mapsto \sum v_k 3^{-k-1}\) est injective de \(\{0,1\}^{\mathbb{N}}\) dans \([0,1]\), ce qui conclut.

Soit \(E\) un ensemble. Une famille \(\mathcal{A} \subset \mathcal{P}(E)\) est une algèbre si \(E \in \mathcal{A}\), si \(\mathcal{A}\) est stable par passage au complémentaire et par réunion finie. C’est une tribu (ou \(\sigma\)-algèbre) si, de plus, elle est stable par réunion dénombrable : pour toute suite \((A_n)\) de \(\mathcal{A}\), \(\bigcup_n A_n \in \mathcal{A}\). Le couple \((E, \mathcal{A})\) est alors un espace mesurable.

Les familles \(\{\emptyset, E\}\) et \(\mathcal{P}(E)\) sont des tribus. Pour \(A \subset E\), la famille \(\{\emptyset, A, A^c, E\}\) est une tribu. Sur \(\mathbb{N}\), les parties finies ou de complémentaire fini forment une algèbre. En revanche, ce n’est pas une tribu : l’ensemble des entiers pairs est une réunion dénombrable de singletons, mais il n’est ni fini ni cofini.

Pour montrer qu’une famille est une tribu, on vérifie trois points dans l’ordre. D’abord, \(E\) appartient à la famille. Ensuite, le complémentaire d’un élément est encore un élément. Enfin, une réunion dénombrable d’éléments en est un. Pour montrer qu’une famille n’est pas une tribu, un contre-exemple explicite suffit, souvent une réunion dénombrable qui sort de la famille.

Une intersection quelconque de tribus sur \(E\) est une tribu. Pour \(\mathcal{C} \subset \mathcal{P}(E)\), on appelle tribu engendrée par \(\mathcal{C}\) et on note \(\sigma(\mathcal{C})\) l’intersection de toutes les tribus contenant \(\mathcal{C}\). C’est la plus petite tribu contenant \(\mathcal{C}\).

Pour prouver \(\sigma(\mathcal{C}) \subset \mathcal{T}\), où \(\mathcal{T}\) est une tribu, il suffit de prouver \(\mathcal{C} \subset \mathcal{T}\). Pour prouver \(\sigma(\mathcal{C}) = \sigma(\mathcal{C}^{\prime})\), on montre que \(\mathcal{C} \subset \sigma(\mathcal{C}^{\prime})\) et \(\mathcal{C}^{\prime} \subset \sigma(\mathcal{C})\).

Si \((E_i)_{i \in I}\) est une partition dénombrable de \(E\), alors \(\sigma(\{E_i, i \in I\})\) est formée des réunions \(\bigcup_{i \in J} E_i\) avec \(J \subset I\). En effet, cette famille est une tribu, elle contient les \(E_i\), et toute tribu contenant les \(E_i\) contient ces réunions dénombrables. Les \(E_i\) sont appelés les atomes de la tribu.

Soit \(f : E \to F\) et \(\mathcal{B}\) une tribu sur \(F\). Alors \(f^{-1}(\mathcal{B}) = \{f^{-1}(B), B \in \mathcal{B}\}\) est une tribu sur \(E\). De plus, si \(A \subset E\) et \(\mathcal{A}\) est une tribu sur \(E\), la tribu trace \(\{A \cap X, X \in \mathcal{A}\}\) est une tribu sur \(A\).

Soit \(X\) un espace topologique, par exemple \(\mathbb{R}^d\). La tribu borélienne \(\mathcal{B}(X)\) est la tribu engendrée par les ouverts de \(X\). Ses éléments sont les boréliens.

La tribu \(\mathcal{B}(\mathbb{R})\) est engendrée par chacune des familles suivantes : les intervalles ouverts \(]a,b[\) ; les demi-droites \(]-\infty, a]\) avec \(a \in \mathbb{Q}\) ; les intervalles \(]a,b]\) avec \(a, b \in \mathbb{Q}\).

Notons \(\mathcal{T} = \sigma(\{]-\infty, a], a \in \mathbb{Q}\})\). Chaque \(]-\infty,a]\) est fermé, donc \(\mathcal{T} \subset \mathcal{B}(\mathbb{R})\). Réciproquement, pour \(a \in \mathbb{R}\), on choisit des rationnels \(a_n\) décroissant vers \(a\). Alors \(]-\infty, a] = \bigcap_n ]-\infty, a_n] \in \mathcal{T}\). Ensuite, \(]-\infty, b[ = \bigcup_n ]-\infty, b – \frac{1}{n}]\), donc \(]a, b[ = ]-\infty, b[ \cap ]-\infty, a]^c \in \mathcal{T}\). Or tout ouvert de \(\mathbb{R}\) est réunion dénombrable d’intervalles ouverts à extrémités rationnelles. Donc tout ouvert est dans \(\mathcal{T}\), et \(\mathcal{B}(\mathbb{R}) \subset \mathcal{T}\).

On a \(\mathcal{B}(\mathbb{R}) \neq \mathcal{P}(\mathbb{R})\). En exercice, on montre qu’aucune mesure sur \(\mathcal{P}(\mathbb{R})\) invariante par translation ne donne à \([0,1]\) une masse finie non nulle. C’est pourquoi on ne peut pas mesurer toutes les parties de \(\mathbb{R}\).

Soit \((E, \mathcal{A})\) un espace mesurable. Une mesure positive est une application \(\mu : \mathcal{A} \to [0, +\infty]\) telle que \(\mu(\emptyset) = 0\) et, pour toute suite \((A_n)\) d’éléments de \(\mathcal{A}\) deux à deux disjoints,
\[\mu\Big(\bigcup_{n=0}^{+\infty} A_n\Big) = \sum_{n=0}^{+\infty} \mu(A_n).\]
Cette propriété est la \(\sigma\)-additivité. Le triplet \((E, \mathcal{A}, \mu)\) est un espace mesuré. La mesure est finie si \(\mu(E) < +\infty\), de probabilité si \(\mu(E) = 1\), et \(\sigma\)-finie si \(E\) est réunion dénombrable de parties de mesure finie.

La mesure de Dirac en \(a \in E\) est \(\delta_a(A) = 1\) si \(a \in A\), et \(0\) sinon. La mesure de comptage sur \(\mathcal{P}(E)\) associe à \(A\) son cardinal, éventuellement \(+\infty\). Enfin, si \((a_n)\) est une suite de \([0,+\infty]\), la formule \(\mu = \sum_n a_n \delta_n\) définit une mesure sur \(\mathcal{P}(\mathbb{N})\), avec \(\mu(A) = \sum_{n \in A} a_n\).

Soit \(\mu\) une mesure sur \((E,\mathcal{A})\) et \(A, B, A_n \in \mathcal{A}\).

(i) Monotonie : si \(A \subset B\), alors \(\mu(A) \leq\, \mu(B)\). Si de plus \(\mu(A) < +\infty\), alors \(\mu(B \setminus A) = \mu(B) – \mu(A)\).

(ii) \(\mu(A \cup B) + \mu(A \cap B) = \mu(A) + \mu(B)\).

(iii) Sous-additivité dénombrable : \(\mu\big(\bigcup_n A_n\big) \leq\, \sum_n \mu(A_n)\).

Pour (i), on écrit \(B = A \cup (B \setminus A)\), réunion disjointe. Donc \(\mu(B) = \mu(A) + \mu(B \setminus A) \geq\, \mu(A)\). Pour (ii), on décompose \(A \cup B\) en \(A \setminus B\), \(A \cap B\) et \(B \setminus A\), puis on additionne. Pour (iii), on pose \(B_0 = A_0\) et \(B_n = A_n \setminus (A_0 \cup \cdots \cup A_{n-1})\). Les \(B_n\) sont disjoints, de même réunion que les \(A_n\), et \(B_n \subset A_n\). Ainsi, \(\mu\big(\bigcup A_n\big) = \sum \mu(B_n) \leq\, \sum \mu(A_n)\).

(i) Continuité croissante : si \((A_n)\) est une suite croissante de \(\mathcal{A}\), alors \(\mu\big(\bigcup_n A_n\big) = \lim_{n} \mu(A_n)\).

(ii) Continuité décroissante : si \((A_n)\) est décroissante et si \(\mu(A_0) < +\infty\), alors \(\mu\big(\bigcap_n A_n\big) = \lim_{n} \mu(A_n)\).

Pour (i), on pose \(B_0 = A_0\) et \(B_n = A_n \setminus A_{n-1}\). Les \(B_n\) sont disjoints et \(A_n = B_0 \cup \cdots \cup B_n\). Par \(\sigma\)-additivité, \(\mu\big(\bigcup A_n\big) = \sum_{k=0}^{+\infty} \mu(B_k) = \lim_n \sum_{k=0}^{n} \mu(B_k) = \lim_n \mu(A_n)\). Pour (ii), la suite \(C_n = A_0 \setminus A_n\) est croissante. On applique (i) à \((C_n)\), puis la formule \(\mu(A_0 \setminus A_n) = \mu(A_0) – \mu(A_n)\), valable car \(\mu(A_0)\) est finie.

L’hypothèse \(\mu(A_0) < +\infty\) est indispensable. Par exemple, pour la mesure de comptage sur \(\mathbb{N}\), les ensembles \(A_n = \{n, n+1, \ldots\}\) décroissent et \(\mu(A_n) = +\infty\) pour tout \(n\). Pourtant, leur intersection est vide, de mesure nulle.

Pour utiliser la continuité monotone, on écrit l’ensemble étudié comme limite d’une suite monotone d’ensembles simples. Par exemple, \(\{x\} = \bigcap_n ]x – \frac{1}{n}, x]\) ou \(]-\infty, x[ = \bigcup_n ]-\infty, x – \frac{1}{n}]\). Ensuite, on vérifie la condition de finitude dans le cas décroissant, puis on passe à la limite.

Soit \(\mu\) une probabilité sur \((\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))\) et \(F(x) = \mu(]-\infty, x])\) sa fonction de répartition. Si \(x_n\) décroît vers \(x\), les ensembles \(]-\infty, x_n]\) décroissent vers \(]-\infty, x]\). Par continuité décroissante, \(F(x_n) \to F(x)\). Ainsi, \(F\) est continue à droite.

Soit \(\mathcal{C}\) une famille de parties de \(E\) stable par intersection finie. Si deux mesures \(\mu\) et \(\nu\) sur \(\sigma(\mathcal{C})\) coïncident sur \(\mathcal{C}\), vérifient \(\mu(E) = \nu(E) < +\infty\), alors \(\mu = \nu\). Le résultat s’étend au cas où \(E\) est réunion croissante d’éléments \(E_n\) de \(\mathcal{C}\) avec \(\mu(E_n) < +\infty\).

Une mesure extérieure sur \(E\) est une application \(\mu^* : \mathcal{P}(E) \to [0, +\infty]\) telle que \(\mu^*(\emptyset) = 0\), croissante, et dénombrablement sous-additive. Une partie \(A\) est dite \(\mu^*\)-mesurable si, pour toute partie \(T \subset E\),
\[\mu^*(T) = \mu^*(T \cap A) + \mu^*(T \cap A^c).\]

La mesure extérieure de Lebesgue d’une partie \(A \subset \mathbb{R}\) est
\[\lambda^*(A) = \inf \Big\{ \sum_{n} (b_n – a_n) \ : \ A \subset \bigcup_{n} ]a_n, b_n[ \Big\}.\]
On recouvre \(A\) par une suite d’intervalles ouverts et on minimise la longueur totale. Ainsi, \(\lambda^*(\{x\}) = 0\), car \(\{x\} \subset ]x – \varepsilon, x + \varepsilon[\) pour tout \(\varepsilon > 0\).

Soit \(\mu^*\) une mesure extérieure sur \(E\) et \(\mathcal{M}\) l’ensemble des parties \(\mu^*\)-mesurables. Alors \(\mathcal{M}\) est une tribu, et la restriction de \(\mu^*\) à \(\mathcal{M}\) est une mesure. De plus, toute partie \(N\) telle que \(\mu^*(N) = 0\) appartient à \(\mathcal{M}\).

Par sous-additivité, on a toujours \(\mu^*(T) \leq\, \mu^*(T \cap A) + \mu^*(T \cap A^c)\). Il suffit donc de prouver l’inégalité inverse. Si \(\mu^*(N) = 0\), alors \(\mu^*(T \cap N) = 0\) et \(\mu^*(T \cap N^c) \leq\, \mu^*(T)\), donc \(N \in \mathcal{M}\). Ensuite, la définition est symétrique en \(A\) et \(A^c\) : \(\mathcal{M}\) est stable par complémentaire.

Soit \(A, B \in \mathcal{M}\). On teste \(A\) avec \(T\), puis \(B\) avec \(T \cap A^c\) :
\[\mu^*(T) = \mu^*(T \cap A) + \mu^*(T \cap A^c \cap B) + \mu^*(T \cap A^c \cap B^c).\]
Or \(T \cap (A \cup B) = (T \cap A) \cup (T \cap A^c \cap B)\). Par sous-additivité, \(\mu^*(T) \geq\, \mu^*(T \cap (A \cup B)) + \mu^*(T \cap (A \cup B)^c)\). Donc \(\mathcal{M}\) est une algèbre.

Soit enfin \((A_k)\) une suite disjointe de \(\mathcal{M}\), \(B_n = A_0 \cup \cdots \cup A_n\) et \(B = \bigcup_k A_k\). Par récurrence, en testant \(A_n\) avec \(T \cap B_n\), on obtient \(\mu^*(T \cap B_n) = \sum_{k=0}^{n} \mu^*(T \cap A_k)\). Comme \(B_n \in \mathcal{M}\) et \(B^c \subset B_n^c\),
\[\mu^*(T) \geq\, \sum_{k=0}^{n} \mu^*(T \cap A_k) + \mu^*(T \cap B^c).\]
On fait tendre \(n\) vers l’infini et on utilise la sous-additivité : \(\mu^*(T) \geq\, \mu^*(T \cap B) + \mu^*(T \cap B^c)\). Donc \(B \in \mathcal{M}\). Le choix \(T = B\) donne alors la \(\sigma\)-additivité. Enfin, toute réunion dénombrable se ramène à une réunion disjointe grâce aux différences successives.

Les intervalles de \(\mathbb{R}\) sont \(\lambda^*\)-mesurables et \(\lambda^*([a,b]) = b – a\). Par conséquent, la tribu \(\mathcal{L}\) des parties \(\lambda^*\)-mesurables contient \(\mathcal{B}(\mathbb{R})\). La restriction \(\lambda\) de \(\lambda^*\) à \(\mathcal{B}(\mathbb{R})\) est l’unique mesure sur les boréliens telle que \(\lambda(]a,b]) = b – a\) pour tous \(a < b\). C’est la mesure de Lebesgue.

La mesure de Lebesgue est invariante par translation : \(\lambda(x + A) = \lambda(A)\). De plus, \(\lambda(cA) = |c| \, \lambda(A)\) pour \(c \in \mathbb{R}\). Enfin, \(\lambda(\{x\}) = 0\), donc \(\lambda([a,b]) = \lambda(]a,b[) = b – a\).

Soit \((E, \mathcal{A}, \mu)\) un espace mesuré. Une partie \(N \subset E\) est négligeable si elle est incluse dans un \(A \in \mathcal{A}\) tel que \(\mu(A) = 0\). Une propriété \(P(x)\) est vraie presque partout (en abrégé p.p.) si l’ensemble des \(x\) où elle est fausse est négligeable.

Toute partie dénombrable de \(\mathbb{R}\) est négligeable pour la mesure de Lebesgue. En particulier, \(\lambda(\mathbb{Q}) = 0\) et \(\lambda([0,1] \setminus \mathbb{Q}) = 1\).

Soit \(D = \{r_1, r_2, \ldots\}\) et \(\varepsilon > 0\). On recouvre \(r_k\) par un intervalle \(I_k\) de longueur \(\varepsilon / 2^k\). Alors \(D \subset \bigcup_k I_k\), donc \(\lambda(D) \leq\, \sum_k \varepsilon 2^{-k} = \varepsilon\). Ceci vaut pour tout \(\varepsilon > 0\), donc \(\lambda(D) = 0\).

Pour montrer qu’un ensemble est négligeable, on dispose de trois outils. D’abord, on l’inclut dans un ensemble mesurable de mesure arbitrairement petite, souvent une réunion d’intervalles. Ensuite, on l’écrit comme réunion dénombrable d’ensembles négligeables. Enfin, on l’inclut dans une intersection décroissante \(\bigcap_n A_n\) avec \(\mu(A_n) \to 0\).

Un ensemble négligeable n’est pas forcément dénombrable. Par exemple, l’ensemble triadique de Cantor est de mesure nulle et pourtant en bijection avec \(\mathbb{R}\). À l’inverse, \(\mathbb{Q}\) est dense, mais il est négligeable.

La fonction indicatrice \(\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}\) est nulle presque partout sur \(\mathbb{R}\). De même, la suite \(x \mapsto x^n\) tend vers \(0\) presque partout sur \([0,1]\), car elle converge vers \(0\) hors du singleton \(\{1\}\).

Soit \((E, \mathcal{A})\) et \((F, \mathcal{B})\) deux espaces mesurables. Une application \(f : E \to F\) est mesurable si \(f^{-1}(B) \in \mathcal{A}\) pour tout \(B \in \mathcal{B}\). Lorsque \(E\) et \(F\) sont munis de leurs tribus boréliennes, on dit que \(f\) est borélienne.

Si \(\mathcal{B} = \sigma(\mathcal{C})\), alors \(f\) est mesurable si et seulement si \(f^{-1}(C) \in \mathcal{A}\) pour tout \(C \in \mathcal{C}\). En particulier, \(f : E \to \mathbb{R}\) est mesurable si et seulement si \(\{f \leq\, a\} \in \mathcal{A}\) pour tout \(a \in \mathbb{Q}\).

La famille \(\mathcal{T} = \{B \subset F : f^{-1}(B) \in \mathcal{A}\}\) est une tribu sur \(F\), appelée tribu transportée. Par hypothèse, elle contient \(\mathcal{C}\). Par minimalité, elle contient \(\sigma(\mathcal{C}) = \mathcal{B}\). Autrement dit, \(f^{-1}(B) \in \mathcal{A}\) pour tout \(B \in \mathcal{B}\). La seconde affirmation découle du théorème sur les générateurs de \(\mathcal{B}(\mathbb{R})\).

La composée de deux applications mesurables est mesurable. Si \(f, g : E \to \mathbb{R}\) sont mesurables, alors \(f + g\), \(fg\), \(\max(f,g)\) et \(\min(f,g)\) le sont. Si \((f_n)\) est une suite de fonctions mesurables à valeurs dans \(\overline{\mathbb{R}} = [-\infty, +\infty]\), alors \(\sup_n f_n\), \(\inf_n f_n\), \(\limsup f_n\) et \(\liminf f_n\) sont mesurables. En particulier, une limite simple de fonctions mesurables est mesurable.

Pour la somme, l’application \(x \mapsto (f(x), g(x))\) est mesurable de \(E\) dans \(\mathbb{R}^2\), car \(\mathcal{B}(\mathbb{R}^2)\) est engendrée par les pavés \(]-\infty,a] \times ]-\infty,b]\). On compose ensuite avec l’application continue \((u,v) \mapsto u + v\). Pour le supremum, on écrit \(\{\sup_n f_n \leq\, a\} = \bigcap_n \{f_n \leq\, a\}\), qui est dans \(\mathcal{A}\). Enfin, \(\limsup f_n = \inf_n \sup_{k \geq\, n} f_k\).

Une fonction étagée sur \((E,\mathcal{A})\) est une fonction mesurable \(\varphi : E \to \mathbb{R}\) qui ne prend qu’un nombre fini de valeurs. Si \(\alpha_1, \ldots, \alpha_p\) sont ses valeurs distinctes et \(A_i = \varphi^{-1}(\{\alpha_i\})\), alors
\[\varphi = \sum_{i=1}^{p} \alpha_i \mathbf{1}_{A_i},\]
où les \(A_i\) forment une partition mesurable de \(E\). C’est l’écriture canonique de \(\varphi\).

Soit \(f : E \to [0, +\infty]\) mesurable. Pour \(n \geq\, 1\), on pose
\[\varphi_n = \sum_{k=0}^{n 2^n – 1} \frac{k}{2^n} \mathbf{1}_{\{k 2^{-n} \leq\, f < (k+1) 2^{-n}\}} + n \mathbf{1}_{\{f \geq\, n\}}.\]
Alors \((\varphi_n)\) est une suite croissante de fonctions étagées positives qui converge simplement vers \(f\). Si \(f\) est bornée, la convergence est uniforme.

Chaque ensemble \(\{k 2^{-n} \leq\, f < (k+1) 2^{-n}\}\) est mesurable, donc \(\varphi_n\) est étagée. On vérifie que \(\varphi_n = \min\big(n, 2^{-n} \lfloor 2^n f \rfloor\big)\). Or \(2 \lfloor t \rfloor \leq\, \lfloor 2t \rfloor\), donc \(2^{-n} \lfloor 2^n f \rfloor \leq\, 2^{-n-1} \lfloor 2^{n+1} f \rfloor\), et la suite est croissante. Si \(f(x) < +\infty\), alors pour \(n > f(x)\) on a \(0 \leq\, f(x) – \varphi_n(x) < 2^{-n}\). Si \(f(x) = +\infty\), alors \(\varphi_n(x) = n \to +\infty\). Enfin, si \(f \leq\, M\), l’inégalité \(0 \leq\, f – \varphi_n < 2^{-n}\) vaut partout dès que \(n > M\).

Pour approcher une fonction mesurable positive, on découpe l’axe des valeurs, et non celui des abscisses. On calcule les ensembles \(f^{-1}([k2^{-n}, (k+1)2^{-n}[)\), on attribue à chacun la valeur basse \(k 2^{-n}\), puis on tronque à \(n\). Pour une fonction de signe quelconque, on traite séparément \(f^+ = \max(f, 0)\) et \(f^- = \max(-f, 0)\).