Espaces métriques : cours de maths en L3 en PDF.

Soit \(X\) un ensemble non vide. Une distance sur \(X\) est une application \(d : X \times X \to [0, +\infty[\) telle que, pour tous \(x, y, z \in X\) :

• séparation : \(d(x, y) = 0 \Leftrightarrow x = y\) ;
• symétrie : \(d(x, y) = d(y, x)\) ;
• inégalité triangulaire : \(d(x, z) \leq\, d(x, y) + d(y, z)\).

Le couple \((X, d)\) s’appelle un espace métrique.

Pour tous \(x, y, z \in X\), on a l’inégalité triangulaire renversée \(|d(x, z) – d(y, z)| \leq\, d(x, y)\).

D’abord, \(d(x, z) \leq\, d(x, y) + d(y, z)\), donc \(d(x, z) – d(y, z) \leq\, d(x, y)\). Ensuite, en échangeant les rôles de \(x\) et \(y\), on obtient \(d(y, z) – d(x, z) \leq\, d(y, x) = d(x, y)\). Les deux inégalités donnent le résultat.

Voici les exemples à connaître.

• Sur \(\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\), \(d(x, y) = |x – y|\) est la distance usuelle.
• Si \(\|\cdot\|\) est une norme sur un espace vectoriel \(E\), alors \(d(x, y) = \|x – y\|\) est une distance. Ainsi, sur \(\mathbb{R}^n\), on dispose de \(d_1(x, y) = \sum_{i} |x_i – y_i|\), de \(d_2(x, y) = \sqrt{\sum_i (x_i – y_i)^2}\) et de \(d_\infty(x, y) = \max_i |x_i – y_i|\).
• Sur tout ensemble \(X\), la distance discrète vaut \(\delta(x, y) = 1\) si \(x \neq y\) et \(\delta(x, x) = 0\).
• Sur \(C([0, 1], \mathbb{R})\), la distance uniforme est \(d_\infty(f, g) = \sup_{t \in [0, 1]} |f(t) – g(t)|\).

Pour montrer qu’une application est une distance, vérifiez d’abord qu’elle est à valeurs positives. Ensuite, traitez la séparation dans les deux sens et la symétrie, qui sont souvent immédiates. Enfin, prouvez l’inégalité triangulaire : c’est le vrai travail. Distinguez des cas si la définition en comporte, et cherchez à vous ramener à une inégalité triangulaire connue.

Soient \(a \in X\) et \(r > 0\). La boule ouverte de centre \(a\) et de rayon \(r\) est \(B(a, r) = \{x \in X : d(a, x) < r\}\). La boule fermée est \(B_f(a, r) = \{x \in X : d(a, x) \leq\, r\}\). La sphère est \(S(a, r) = \{x \in X : d(a, x) = r\}\). Une partie \(A\) est bornée si elle est contenue dans une boule.

Pour la distance discrète, \(B(a, r) = \{a\}\) si \(r \leq\, 1\) et \(B(a, r) = X\) si \(r > 1\). Ainsi, une boule peut être réduite à son centre. De plus, \(B_f(a, 1) = X\) alors que \(B(a, 1) = \{a\}\).

Une partie \(U\) de \(X\) est ouverte si, pour tout \(x \in U\), il existe \(r > 0\) tel que \(B(x, r) \subset U\). Autrement dit, tout point de \(U\) peut bouger un peu sans sortir de \(U\).

Une boule ouverte est une partie ouverte.

Soit \(x \in B(a, r)\). On pose \(\rho = r – d(a, x) > 0\). Pour \(y \in B(x, \rho)\), l’inégalité triangulaire donne \(d(a, y) \leq\, d(a, x) + d(x, y) < d(a, x) + \rho = r\). Donc \(B(x, \rho) \subset B(a, r)\).

L’ensemble vide et \(X\) sont ouverts. Une réunion quelconque d’ouverts est ouverte. Une intersection finie d’ouverts est ouverte.

Le cas de \(\emptyset\) et de \(X\) est immédiat. Si \(x\) appartient à une réunion \(\bigcup_i U_i\), il appartient à un \(U_{i_0}\). Il existe donc \(r > 0\) tel que \(B(x, r) \subset U_{i_0} \subset \bigcup_i U_i\). Enfin, si \(x \in U_1 \cap \cdots \cap U_n\), on choisit \(r_k > 0\) avec \(B(x, r_k) \subset U_k\). Alors \(r = \min(r_1, \ldots, r_n) > 0\) convient pour tous les \(U_k\).

Une intersection infinie d’ouverts n’est pas ouverte en général. Par exemple, dans \(\mathbb{R}\), \(\bigcap_{n \geq\, 1} ] -\frac{1}{n}, \frac{1}{n} [ = \{0\}\), qui n’est pas ouvert. En effet, le minimum d’une infinité de rayons peut valoir \(0\).

Une partie \(F\) de \(X\) est fermée si son complémentaire \(X \setminus F\) est ouvert. Une partie \(V\) est un voisinage de \(x\) s’il existe \(r > 0\) tel que \(B(x, r) \subset V\).

« Fermé » n’est pas le contraire de « ouvert ». Ainsi, \(\emptyset\) et \(X\) sont à la fois ouverts et fermés. Dans \(\mathbb{R}\), l’intervalle \([0, 1[\) n’est ni ouvert ni fermé. Enfin, pour la distance discrète, toute partie est ouverte, car \(\{x\} = B(x, 1)\) ; par conséquent, toute partie est aussi fermée.

Pour démontrer qu’une partie est ouverte ou fermée, écrivez-la si possible sous la forme \(f^{-1}(V)\), avec \(f\) continue et \(V\) ouvert (ou fermé). C’est le plus rapide : par exemple \(\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : xy > 1\}\) est ouvert. Sinon, revenez à la définition par les boules pour un ouvert, ou utilisez la caractérisation séquentielle pour un fermé. Pour prouver qu’une partie n’est pas ouverte, exhibez un point dont aucune boule n’est contenue dans la partie.

Soit \(A \subset X\). L’intérieur \(\mathring{A}\), aussi noté \(\operatorname{Int}(A)\), est la réunion des ouverts contenus dans \(A\) : c’est le plus grand ouvert contenu dans \(A\). L’adhérence \(\overline{A}\) est l’intersection des fermés contenant \(A\) : c’est le plus petit fermé contenant \(A\). La frontière est \(\operatorname{Fr}(A) = \overline{A} \setminus \mathring{A}\).

Soient \(A \subset X\) et \(x \in X\).

• \(x \in \mathring{A}\) si et seulement s’il existe \(r > 0\) tel que \(B(x, r) \subset A\).
• \(x \in \overline{A}\) si et seulement si, pour tout \(r > 0\), \(B(x, r) \cap A \neq \emptyset\).
• \(X \setminus \overline{A} = \operatorname{Int}(X \setminus A)\) et \(X \setminus \mathring{A} = \overline{X \setminus A}\).

Si \(B(x, r) \subset A\), cette boule est un ouvert contenu dans \(A\), donc \(x \in \mathring{A}\). Réciproquement, \(x\) appartient à un ouvert \(U \subset A\), qui contient une boule centrée en \(x\). Ensuite, le complémentaire d’un fermé contenant \(A\) est un ouvert contenu dans \(X \setminus A\), et inversement. En passant aux complémentaires, on obtient la troisième égalité, puis la deuxième caractérisation : \(x \notin \overline{A}\) si et seulement si une boule centrée en \(x\) est incluse dans \(X \setminus A\).

Dans \(\mathbb{R}\), pour \(A = [0, 1[ \cup \{2\}\), on trouve \(\mathring{A} = ]0, 1[\), \(\overline{A} = [0, 1] \cup \{2\}\) et \(\operatorname{Fr}(A) = \{0, 1, 2\}\). De plus, \(\overline{\mathbb{Q}} = \mathbb{R}\) et \(\mathring{\mathbb{Q}} = \emptyset\), donc \(\operatorname{Fr}(\mathbb{Q}) = \mathbb{R}\).

On a toujours \(\overline{B(a, r)} \subset B_f(a, r)\), car la boule fermée est un fermé qui contient la boule ouverte. Dans un espace vectoriel normé non nul, il y a égalité. En revanche, pour la distance discrète, \(\overline{B(a, 1)} = \{a\}\) alors que \(B_f(a, 1) = X\).

Une partie \(A\) de \(X\) est dense dans \(X\) si \(\overline{A} = X\). De manière équivalente, tout ouvert non vide de \(X\) rencontre \(A\), ou encore toute boule ouverte rencontre \(A\).

Les parties \(\mathbb{Q}\) et \(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\) sont denses dans \(\mathbb{R}\). En effet, tout intervalle ouvert non vide contient un rationnel et un irrationnel. Par ailleurs, \(GL_n(\mathbb{R})\) est dense dans \(M_n(\mathbb{R})\), comme vous le montrerez en exercice.

Une suite \((x_n)\) de \(X\) converge vers \(\ell \in X\) si \(d(x_n, \ell) \to 0\). Autrement dit, pour tout \(\varepsilon > 0\), il existe \(N\) tel que, pour tout \(n \geq\, N\), \(x_n \in B(\ell, \varepsilon)\).

La limite d’une suite convergente est unique.

Si \(x_n \to \ell\) et \(x_n \to \ell^{\prime}\), alors \(d(\ell, \ell^{\prime}) \leq\, d(\ell, x_n) + d(x_n, \ell^{\prime})\) pour tout \(n\). Le membre de droite tend vers \(0\), donc \(d(\ell, \ell^{\prime}) = 0\). Par séparation, \(\ell = \ell^{\prime}\).

Caractérisation séquentielle. Soient \(A \subset X\) et \(x \in X\). Alors \(x \in \overline{A}\) si et seulement s’il existe une suite d’éléments de \(A\) qui converge vers \(x\). Par conséquent, \(A\) est fermée si et seulement si la limite de toute suite convergente d’éléments de \(A\) appartient à \(A\).

Si \(x \in \overline{A}\), la boule \(B(x, \frac{1}{n+1})\) rencontre \(A\) pour tout \(n\). On choisit \(a_n\) dans cette intersection. Ainsi, \(d(a_n, x) < \frac{1}{n+1}\), donc \(a_n \to x\). Réciproquement, si \(a_n \to x\) avec \(a_n \in A\), toute boule \(B(x, r)\) contient \(a_n\) pour \(n\) assez grand. Elle rencontre donc \(A\). Enfin, \(A\) est fermée si et seulement si \(\overline{A} \subset A\), d’où la seconde affirmation.

Pour calculer une adhérence, procédez par double inclusion. D’une part, trouvez un fermé \(F\) contenant \(A\) : alors \(\overline{A} \subset F\). D’autre part, montrez que chaque point de \(F\) est limite d’une suite de points de \(A\). De même, pour calculer un intérieur, trouvez un ouvert \(U \subset A\), puis montrez qu’aucun point de \(A \setminus U\) n’est intérieur.

Dans \(C([0, 1], \mathbb{R})\) muni de \(d_\infty\), la partie \(F = \{f : f(0) = 0\}\) est fermée. En effet, si \(f_n \in F\) et \(d_\infty(f_n, f) \to 0\), alors \(|f(0)| = |f(0) – f_n(0)| \leq\, d_\infty(f, f_n) \to 0\). Donc \(f(0) = 0\).

Soit \(Y\) une partie non vide de \((X, d)\). La restriction de \(d\) à \(Y \times Y\) est une distance sur \(Y\), appelée distance induite. Les boules de \(Y\) sont les traces des boules de \(X\) : \(B_Y(y, r) = B(y, r) \cap Y\).

Une partie \(U \subset Y\) est ouverte dans \(Y\) si et seulement s’il existe un ouvert \(O\) de \(X\) tel que \(U = O \cap Y\). De même, les fermés de \(Y\) sont les \(F \cap Y\), avec \(F\) fermé de \(X\).

Si \(U = O \cap Y\) et \(y \in U\), il existe \(r > 0\) tel que \(B(y, r) \subset O\). Donc \(B_Y(y, r) \subset U\). Réciproquement, si \(U\) est ouvert dans \(Y\), on choisit pour chaque \(y \in U\) un \(r_y > 0\) tel que \(B_Y(y, r_y) \subset U\). On pose alors \(O = \bigcup_{y \in U} B(y, r_y)\), qui est ouvert dans \(X\). Ainsi, \(O \cap Y = \bigcup_{y} B_Y(y, r_y) = U\). Le cas des fermés s’obtient par complémentaire.

Dans \(Y = [0, 2[\), la partie \([0, 1[ = ]-1, 1[ \cap Y\) est ouverte dans \(Y\). Pourtant, elle n’est pas ouverte dans \(\mathbb{R}\). Ainsi, la nature d’une partie dépend de l’espace ambiant : il faut toujours préciser « ouvert dans \(Y\) ».

Soient \((X, d_X)\) et \((Y, d_Y)\) deux espaces métriques. On munit \(X \times Y\) de la distance produit \(d((x, y), (x^{\prime}, y^{\prime})) = \max(d_X(x, x^{\prime}), d_Y(y, y^{\prime}))\).

Une suite \((x_n, y_n)\) converge vers \((x, y)\) dans \(X \times Y\) si et seulement si \(x_n \to x\) dans \(X\) et \(y_n \to y\) dans \(Y\). De plus, \(B((x, y), r) = B(x, r) \times B(y, r)\), donc un produit de deux ouverts est ouvert.

Soit \(f : (X, d) \to (Y, d^{\prime})\). L’application \(f\) est continue en \(a \in X\) si, pour tout \(\varepsilon > 0\), il existe \(\delta > 0\) tel que \(d(a, x) < \delta \Rightarrow d^{\prime}(f(a), f(x)) < \varepsilon\). Autrement dit, \(f(B(a, \delta)) \subset B(f(a), \varepsilon)\). Elle est continue si elle l’est en tout point.

L’application \(f : X \to Y\) est continue si et seulement si l’image réciproque de tout ouvert de \(Y\) est un ouvert de \(X\). De manière équivalente, l’image réciproque de tout fermé est fermée.

Supposons \(f\) continue et soit \(V\) un ouvert de \(Y\). Soit \(x \in f^{-1}(V)\). Il existe \(\varepsilon > 0\) tel que \(B(f(x), \varepsilon) \subset V\), puis \(\delta > 0\) tel que \(f(B(x, \delta)) \subset B(f(x), \varepsilon)\). Donc \(B(x, \delta) \subset f^{-1}(V)\), qui est ouvert. Réciproquement, soient \(a \in X\) et \(\varepsilon > 0\). La boule \(B(f(a), \varepsilon)\) est ouverte, donc \(f^{-1}(B(f(a), \varepsilon))\) est un ouvert contenant \(a\). Il contient une boule \(B(a, \delta)\), ce qui est exactement la continuité en \(a\). Enfin, le cas des fermés vient de \(f^{-1}(Y \setminus F) = X \setminus f^{-1}(F)\).

L’image directe d’un ouvert par une application continue n’est pas toujours ouverte. Par exemple, l’image de \(]-1, 1[\) par \(x \mapsto x^2\) est \([0, 1[\). De même, l’image du fermé \(\mathbb{R}\) par \(\exp\) est \(]0, +\infty[\), qui n’est pas fermé dans \(\mathbb{R}\).

Pour prouver la continuité par image réciproque, ou pour l’exploiter, décomposez l’ensemble étudié. Par exemple, \(GL_n(\mathbb{R}) = \det^{-1}(\mathbb{R}^*)\) est ouvert, car \(\det\) est polynomiale en les coefficients, donc continue, et \(\mathbb{R}^*\) est ouvert. De même, \(O_n(\mathbb{R}) = \{M : M^{T} M = I_n\}\) est fermé comme image réciproque du fermé \(\{I_n\}\).

L’application \(f\) est uniformément continue si, pour tout \(\varepsilon > 0\), il existe \(\delta > 0\) tel que, pour tous \(x, y \in X\), \(d(x, y) < \delta \Rightarrow d^{\prime}(f(x), f(y)) < \varepsilon\). Elle est \(k\)-lipschitzienne si \(d^{\prime}(f(x), f(y)) \leq\, k\, d(x, y)\) pour tous \(x, y\).

D’après l’inégalité triangulaire renversée, \(x \mapsto d(a, x)\) est \(1\)-lipschitzienne. Dans un espace normé, la norme est aussi \(1\)-lipschitzienne. En revanche, \(x \mapsto x^2\) est continue sur \(\mathbb{R}\) mais pas uniformément continue : avec \(x_n = n + \frac{1}{n}\) et \(y_n = n\), on a \(x_n – y_n \to 0\) alors que \(x_n^2 – y_n^2 \geq\, 2\).

Un homéomorphisme est une bijection continue \(f : X \to Y\) dont la réciproque est continue. Deux distances \(d\) et \(d^{\prime}\) sur \(X\) sont topologiquement équivalentes si elles ont les mêmes ouverts. Elles sont équivalentes (ou fortement équivalentes) s’il existe \(\alpha, \beta > 0\) tels que \(\alpha\, d \leq\, d^{\prime} \leq\, \beta\, d\).

Deux distances équivalentes sont topologiquement équivalentes. Plus précisément, \(d\) et \(d^{\prime}\) ont les mêmes ouverts si et seulement si l’identité \((X, d) \to (X, d^{\prime})\) est un homéomorphisme.

L’identité de \((X, d)\) vers \((X, d^{\prime})\) est continue si et seulement si tout ouvert de \(d^{\prime}\) est un ouvert de \(d\), par la caractérisation par les ouverts. De même pour la réciproque. Enfin, si \(\alpha\, d \leq\, d^{\prime} \leq\, \beta\, d\), l’identité est \(\beta\)-lipschitzienne dans un sens et \(\frac{1}{\alpha}\)-lipschitzienne dans l’autre. Elle est donc un homéomorphisme.

Sur \(\mathbb{R}^n\), on a \(d_\infty \leq\, d_2 \leq\, d_1 \leq\, n\, d_\infty\). Les trois distances sont donc équivalentes : elles définissent les mêmes ouverts et les mêmes suites convergentes. En revanche, \(d(x, y) = |\arctan x – \arctan y|\) est topologiquement équivalente à la distance usuelle sur \(\mathbb{R}\), sans lui être équivalente.

Une bijection continue n’est pas forcément un homéomorphisme. Ainsi, \(t \mapsto (\cos t, \sin t)\) est une bijection continue de \([0, 2\pi[\) sur le cercle unité. Cependant, sa réciproque n’est pas continue au point \((1, 0)\). Nous l’étudierons en exercice.