Espaces euclidiens : QCM de maths en L2 corrigé

Sommaire

Ce QCM vérifie la maîtrise du produit scalaire et des espaces euclidiens en L2 : inégalité de Cauchy-Schwarz, orthogonalité, bases orthonormées, procédé de Gram-Schmidt, projection orthogonale, distance à un sous-espace et moindres carrés. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Produit scalaire et espaces euclidiens du programme de deuxième année de licence de mathématiques (L2), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.

🎓 Espaces euclidiens - QCM de maths en L2

Score : 0 / 10

Répondues : 0 / 10

Question 1

Qu’est-ce qu’un produit scalaire sur un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel \(E\) ?

A Une forme bilinéaire, symétrique, définie positive.

B Une forme bilinéaire, symétrique, positive.

C Une forme bilinéaire, antisymétrique, définie positive.

D Une forme linéaire, définie positive.

Question 2

Dans un espace préhilbertien réel, dans quel cas l’inégalité \(|\langle x, y \rangle| \leqslant \|x\|\,\|y\|\) est-elle une égalité ?

A Si et seulement si \(x\) et \(y\) sont colinéaires.

B Si et seulement si \(x = y\).

C Si et seulement si \(\|x\| = \|y\|\).

D Si et seulement si \(x\) et \(y\) sont orthogonaux.

Question 3

On orthonormalise \((u_1, u_2) = ((1, 1, 0), (1, 0, 1))\) par Gram-Schmidt dans \(\mathbb{R}^3\) usuel. Quel est le second vecteur \(e_2\) ?

A \(\frac{1}{\sqrt 6}(-1, 1, 2)\)

B \(\frac{1}{\sqrt 2}(1, 0, 1)\)

C \(\frac{1}{\sqrt 3}(1, -1, 1)\)

D \(\frac{1}{\sqrt 6}(1, -1, 2)\)

Question 4

Quelle est la projection orthogonale de \(x = (3, 0, 0)\) sur la droite dirigée par \(u = (1, 2, 2)\) ?

A \(3(1, 2, 2)\)

B \(\frac{1}{3}(1, 2, 2)\)

C \((1, 2, 2)\)

D \(\frac{1}{9}(1, 2, 2)\)

Question 5

Quelle est la distance du point \(x = (1, 1, 1)\) au plan \(P\) d’équation \(x + 2y + 2z = 0\) dans \(\mathbb{R}^3\) usuel ?

A \(\frac{5}{9}\)

B \(\frac{5}{3}\)

C \(5\)

D \(\frac{\sqrt 5}{3}\)

Question 6

Soit \(F\) un sous-espace d’un espace euclidien \(E\) de dimension \(n\). Quelle affirmation est vraie ?

A \(F^{\perp}\) est le seul supplémentaire de \(F\).

B \(E = F \oplus F^{\perp}\), mais \((F^{\perp})^{\perp}\) contient strictement \(F\) en général.

C \(\dim F^{\perp} = \dim F\).

D \(E = F \oplus F^{\perp}\) et \((F^{\perp})^{\perp} = F\).

Question 7

Sur \(\mathbb{R}_2[X]\), \(\varphi(P, Q) = P(0)Q(0) + P(1)Q(1)\) est-elle un produit scalaire ?

A Non : \(\varphi(P, P) = 0\) pour \(P = X(X - 1) \neq 0\).

B Non : elle n’est pas positive.

C Non : elle n’est pas symétrique.

D Oui : elle est bilinéaire, symétrique et positive.

Question 8

On ajuste \(y = ax\) aux points \((1, 1)\) et \((2, 3)\) par la méthode des moindres carrés. Quelle valeur de \(a\) obtient-on ?

A \(\frac{3}{2}\)

B \(2\)

C \(\frac{7}{5}\)

D \(\frac{4}{3}\)

Question 9

Que peut-on dire d’une famille orthogonale de vecteurs tous non nuls ?

A Elle est génératrice.

B Elle est orthonormée.

C Elle est libre.

D C’est une base de l’espace.

Question 10

Dans \(\mathbb{C}^2\) muni du produit scalaire hermitien canonique, quelle est la norme de \(x = (1, i)\) ?

A \(2\)

B \(1\)

C \(0\)

D \(\sqrt 2\)

🎉 QCM terminé !

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Ce que vérifie ce QCM de espaces euclidiens en L2

Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :

la définition d’un produit scalaire : forme bilinéaire symétrique définie positive ;
l’inégalité de Cauchy-Schwarz et son cas d’égalité, le théorème de Pythagore ;
le procédé de Gram-Schmidt et les bases orthonormées ;
l’orthogonal d’un sous-espace, la projection orthogonale et la distance à un sous-espace ;
la méthode des moindres carrés et le cas hermitien.

L’erreur la plus fréquente

L’erreur classique : oublier le caractère défini. \(\varphi(P, Q) = P(0)Q(0) + P(1)Q(1)\) est bilinéaire, symétrique et positive sur \(\mathbb{R}_2[X]\), mais \(\varphi(P, P) = 0\) pour \(P = X(X – 1) \neq 0\) : ce n’est pas un produit scalaire.

Comment réviser avant de refaire le test

Pour projeter sur un sous-espace, cherchez d’abord une base orthonormée de ce sous-espace (Gram-Schmidt) et appliquez \(p(x) = \sum \langle x, e_i \rangle e_i\) ; si le sous-espace est un hyperplan, projetez plutôt sur sa normale et retranchez. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.

Le cours et les exercices du même chapitre

Un score faible signale donc simplement qu’il faut reprendre la leçon avant de recommencer :

Le cours : Produit scalaire et espaces euclidiens, avec les définitions, les théorèmes et leurs démonstrations.
Les exercices du chapitre, de l’application directe au problème de synthèse.
Le corrigé détaillé des exercices, rédigé comme on l’attend en devoir.

Les autres QCM de maths en L2

Dans la continuité du programme, voici les chapitres voisins : Séries entières, Intégrales à paramètre, Isométries et théorème spectral, Séries de Fourier. Par ailleurs, le sommaire des QCM de maths en L2 rassemble les 22 chapitres de l’année. Enfin, la page des QCM de maths du CP au post-bac présente tous les niveaux, de l’école primaire à la licence.

Questions fréquentes

Pourquoi Gram-Schmidt conserve-t-il les sous-espaces engendrés ?

À chaque étape, \(e_k\) est \(x_k\) moins une combinaison de \(e_1, \ldots, e_{k-1}\), puis normalisé : on a donc \(\mathrm{Vect}(e_1, \ldots, e_k) = \mathrm{Vect}(x_1, \ldots, x_k)\) pour tout \(k\).

Qu’est-ce qui change dans un espace hermitien ?

Le produit scalaire est sesquilinéaire et vérifie \(\langle y, x \rangle = \overline{\langle x, y \rangle}\) ; ainsi \(\langle x, x \rangle\) est réel positif. Dans \(\mathbb{C}^n\), on pose \(\langle x, y \rangle = \sum \overline{x_k}\,y_k\) (ou la convention conjuguée).