Géométrie du plan et de l'espace : QCM de maths en L1 corrigé

Sommaire

Ce QCM vérifie la maîtrise de la géométrie analytique du plan et de l’espace en L1 : équations de droites et de plans, produit scalaire, produit vectoriel, distances, positions relatives et sphères. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Géométrie du plan et de l’espace du programme de première année de licence de mathématiques (L1), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.

🎓 Géométrie du plan et de l'espace - QCM de maths en L1

Score : 0 / 10

Répondues : 0 / 10

Question 1

Quelle est la distance du point \(A(1, 2, 3)\) au plan \(\mathcal{P} : x + 2y + 2z = 1\) ?

A \(\frac{11}{3}\)

B \(\frac{10}{3}\)

C \(\frac{10}{9}\)

D \(10\)

Question 2

Quel vecteur est normal au plan dirigé par \(u = (1, 0, 1)\) et \(v = (0, 1, 1)\) ?

A \((-1, 1, 1)\)

B \((1, -1, 1)\)

C \((1, 1, -1)\)

D \((1, 1, 1)\)

Question 3

Pour \(u, v \in \mathbb{R}^3\), laquelle de ces propriétés du produit vectoriel est vraie ?

A \(\|u \wedge v\| = \|u\|\,\|v\|\) pour tous \(u, v\)

B \(u \wedge v\) est colinéaire à \(u + v\)

C \(u \wedge v = 0\) si et seulement si \(u\) et \(v\) sont colinéaires

D \(u \wedge v = v \wedge u\)

Question 4

Quel est un paramétrage du plan \(x + y - z = 2\) ?

A \((2, 0, 0) + s(1, 1, -1) + t(1, -1, 0)\), \(s, t \in \mathbb{R}\)

B \((2, 0, 0) + t(1, 1, -1)\), \(t \in \mathbb{R}\)

C \((0, 0, 2) + s(1, -1, 0) + t(1, 0, 1)\), \(s, t \in \mathbb{R}\)

D \((2, 0, 0) + s(1, -1, 0) + t(1, 0, 1)\), \(s, t \in \mathbb{R}\)

Question 5

Quelle est l’intersection des plans \(x + y + z = 1\) et \(x - y = 0\) ?

A La droite \((0, 0, 1) + t(1, 1, -2)\), \(t \in \mathbb{R}\)

B La droite \((0, 0, 1) + t(1, 1, 1)\), \(t \in \mathbb{R}\)

C Le point \(\left(\frac13, \frac13, \frac13\right)\)

D La droite \((0, 0, 1) + t(1, -1, 0)\), \(t \in \mathbb{R}\)

Question 6

Dans le plan, quelle est la distance du point \(A(1, 1)\) à la droite \(3x + 4y = 2\) ?

A \(\frac{1}{5}\)

B \(\frac{7}{5}\)

C \(5\)

D \(1\)

Question 7

Quel est le volume du parallélépipède construit sur \(u = (1, 0, 0)\), \(v = (1, 1, 0)\) et \(w = (1, 1, 1)\) ?

A \(3\)

B \(1\)

C \(\frac{1}{6}\)

D \(6\)

Question 8

Quelle est la position relative des droites \(D_1 : (0,0,0) + t(1, 0, 0)\) et \(D_2 : (0, 1, 0) + s(0, 0, 1)\) ?

A Elles sont confondues

B Elles sont non coplanaires

C Elles sont sécantes

D Elles sont parallèles

Question 9

Que représente l’équation \(x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y - 4 = 0\) ?

A La sphère de centre \((1, -2, 0)\) et de rayon \(3\)

B La sphère de centre \((1, -2, 0)\) et de rayon \(2\)

C La sphère de centre \((-1, 2, 0)\) et de rayon \(3\)

D La sphère de centre \((1, -2, 0)\) et de rayon \(9\)

Question 10

Quelle est la position de la droite \((1, 0, 0) + t(1, 1, 2)\) par rapport au plan \(x + y - z = 5\) ?

A Elle est orthogonale au plan

B Elle coupe le plan en un seul point

C Elle est contenue dans le plan

D Elle est strictement parallèle au plan

🎉 QCM terminé !

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Ce que vérifie ce QCM de géométrie du plan et de l’espace en L1

Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :

le passage d’une équation cartésienne à un paramétrage et inversement ;
le produit vectoriel pour obtenir un vecteur normal ou directeur ;
les distances d’un point à une droite du plan ou à un plan de l’espace ;
les positions relatives de droites et de plans, vues comme des systèmes linéaires ;
le produit mixte et l’équation d’une sphère.

L’erreur la plus fréquente

L’erreur classique : croire que deux droites de l’espace non parallèles sont sécantes. Dans l’espace, elles peuvent être non coplanaires : le système qui décrit leur intersection est alors incompatible.

Comment réviser avant de refaire le test

Face à un problème d’intersection, écrivez le système linéaire correspondant et interprétez son rang : deux plans non parallèles se coupent selon une droite, trois plans génériques en un point. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.

Le cours et les exercices du même chapitre

Un score faible signale donc simplement qu’il faut reprendre la leçon avant de recommencer :

Le cours : Géométrie du plan et de l'espace, avec les définitions, les théorèmes et leurs démonstrations.
Les exercices du chapitre, de l’application directe au problème de synthèse.
Le corrigé détaillé des exercices, rédigé comme on l’attend en devoir.

Les autres QCM de maths en L1

Dans la continuité du programme, voici les chapitres voisins : Matrices et changement de base, Déterminants, Probabilités finies. Par ailleurs, le sommaire des QCM de maths en L1 rassemble les 22 chapitres de l’année. Enfin, la page des QCM de maths du CP au post-bac présente tous les niveaux, de l’école primaire à la licence.

Questions fréquentes

Comment passer d’une équation de plan à un paramétrage ?

On choisit un point du plan, puis deux vecteurs non colinéaires orthogonaux au vecteur normal \((a, b, c)\), par exemple en résolvant l’équation homogène avec deux paramètres libres.

À quoi sert le produit mixte ?

\([u, v, w] = \det(u, v, w)\) donne le volume orienté du parallélépipède construit sur \(u\), \(v\), \(w\) ; il est nul exactement quand les trois vecteurs sont coplanaires.

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