Ce QCM vérifie la maîtrise des espaces vectoriels en L1 : sous-espaces, sous-espace engendré, somme, somme directe et supplémentaires, dans \(\mathbb{K}^n\) comme dans les espaces de fonctions ou de suites. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Espaces vectoriels et sous-espaces vectoriels du programme de première année de licence de mathématiques (L1), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.
🎓 Espaces vectoriels - QCM de maths en L1
Score : 0 / 10
Répondues : 0 / 10
Question 1
Lequel de ces ensembles est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^3\) ?
A\(\{(x, y, z) : x \geqslant 0\}\)
B\(\{(x, y, z) : xy = 0\}\)
C\(\{(x, y, z) : x + 2y - z = 0\}\)
D\(\{(x, y, z) : x + 2y - z = 1\}\)
Question 2
Une partie \(F\) d’un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\) est un sous-espace vectoriel si et seulement si :
A\(0 \in F\) et \(\forall (u, v) \in F^2,\ u + v \in F\)
B\(\forall (u, v) \in F^2,\ u + v \in F\)
C\(0 \in F\) et \(\forall (u, v) \in F^2,\ \forall \lambda \in \mathbb{K},\ \lambda u + v \in F\)
D\(F\) est non vide et \(\forall u \in F,\ -u \in F\)
Question 3
Soient \(F\) et \(G\) deux sous-espaces de \(E\). À quelle condition \(F \cup G\) est-il un sous-espace de \(E\) ?
AToujours
BSi et seulement si \(F \subset G\) ou \(G \subset F\)
CSi et seulement si \(F \cap G = \{0\}\)
DSi et seulement si \(F + G = E\)
Question 4
Lequel de ces vecteurs appartient à \(\mathrm{Vect}\big((1, 0, 1), (0, 1, 1)\big)\) ?
A\((1, -1, 1)\)
B\((1, 1, 1)\)
C\((2, -1, 1)\)
D\((0, 0, 1)\)
Question 5
Deux sous-espaces \(F\) et \(G\) de \(E\) sont supplémentaires lorsque :
A\(F + G = E\) et \(F \cap G = \{0\}\)
B\(F \cap G = \{0\}\)
C\(G\) est le complémentaire de \(F\) dans \(E\)
D\(F \cup G = E\) et \(F \cap G = \{0\}\)
Question 6
Dans l’espace \(\mathbb{R}^{\mathbb{R}}\) des fonctions de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\), quel est un supplémentaire du sous-espace des fonctions paires ?
AL’ensemble des fonctions strictement positives
BLe sous-espace des fonctions nulles en \(0\)
CLe sous-espace des fonctions constantes
DLe sous-espace des fonctions impaires
Question 7
Dans \(\mathbb{R}^2\), avec \(F = \mathrm{Vect}\big((1, 1)\big)\) et \(G = \mathrm{Vect}\big((1, -1)\big)\), quelle est la décomposition de \((3, 1)\) sur \(F \oplus G\) ?
A\((3, 1) = (3, 3) + (0, -2)\)
B\((3, 1) = (2, 2) + (1, -1)\)
C\((3, 1) = (1, 1) + (2, -2)\)
D\((3, 1) = (1, 1) + (2, 0)\)
Question 8
Lequel de ces ensembles de suites réelles est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\) ?
ALes suites monotones
BLes suites qui tendent vers \(1\)
CLes suites à termes positifs
DLes suites convergentes
Question 9
Dans \(\mathbb{R}^3\), soit \(F\) le plan \(x + y + z = 0\) et \(G = \mathrm{Vect}\big((1, 1, 1)\big)\). Que peut-on dire ?
A\(F\) et \(G\) sont supplémentaires dans \(\mathbb{R}^3\)
B\(F + G\) est un plan
C\(F + G = \mathbb{R}^3\), mais la somme n’est pas directe
D\(F \cap G\) n’est pas réduit à \(\{0\}\)
Question 10
Dans \(\mathbb{R}^3\), soient \(u\) et \(v\) deux vecteurs non colinéaires. Que vaut \(\mathrm{Vect}(u) + \mathrm{Vect}(v)\) ?
ALe plan \(\mathrm{Vect}(u, v)\), et la somme est directe
DLe plan \(\mathrm{Vect}(u, v)\), mais la somme n’est pas directe
🎉 QCM terminé !
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Ce que vérifie ce QCM de espaces vectoriels en L1
Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :
la caractérisation d’un sous-espace vectoriel : contenir \(0\) et être stable par combinaison linéaire ;
le sous-espace engendré \(\mathrm{Vect}(u_1, \dots, u_p)\) ;
l’intersection, toujours un sous-espace, et la réunion, presque jamais ;
la somme directe et les sous-espaces supplémentaires ;
la décomposition d’un vecteur sur deux supplémentaires.
L’erreur la plus fréquente
L’erreur classique : confondre supplémentaire et complémentaire. Le complémentaire d’un sous-espace ne contient pas \(0\), donc n’est jamais un sous-espace ; un supplémentaire n’est pas unique.
Comment réviser avant de refaire le test
Pour montrer que \(F\) et \(G\) sont supplémentaires, séparez clairement les deux vérifications : \(F \cap G = \{0\}\) d’une part, tout vecteur s’écrit \(f + g\) d’autre part ; une analyse-synthèse donne souvent les deux d’un coup. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.
Le cours et les exercices du même chapitre
Un score faible signale donc simplement qu’il faut reprendre la leçon avant de recommencer :
Comment montrer rapidement qu’un ensemble est un sous-espace ?
Le plus efficace est souvent de l’écrire comme un noyau d’application linéaire ou comme un \(\mathrm{Vect}\) : c’est alors automatiquement un sous-espace, sans vérification des axiomes.
Quelle différence entre \(F + G\) et \(F \cup G\) ?
\(F + G = \{f + g\}\) est le plus petit sous-espace contenant \(F\) et \(G\). La réunion \(F \cup G\) n’est un sous-espace que si l’un des deux contient l’autre.
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