Équations différentielles : QCM de maths en L1 corrigé

Sommaire

Ce QCM vérifie la maîtrise des équations différentielles linéaires en L1 : premier ordre à coefficients variables, second ordre à coefficients constants, solutions particulières et problème de Cauchy. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Équations différentielles linéaires du programme de première année de licence de mathématiques (L1), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.

🎓 Équations différentielles - QCM de maths en L1

Score : 0 / 10

Répondues : 0 / 10

Question 1

Soit \(a\) continue sur un intervalle \(I\) et \(A\) une primitive de \(a\). Quelles sont les solutions de \(y' + a(x)y = 0\) sur \(I\) ?

A \(x \mapsto e^{-A(x)} + C\), \(C \in \mathbb{R}\)

B \(x \mapsto C e^{A(x)}\), \(C \in \mathbb{R}\)

C \(x \mapsto C e^{-a(x)}\), \(C \in \mathbb{R}\)

D \(x \mapsto C e^{-A(x)}\), \(C \in \mathbb{R}\)

Question 2

Quelles sont les solutions réelles de \(y'' - 3y' + 2y = 0\) ?

A \(x \mapsto C_1 e^{x} + C_2 e^{2x}\)

B \(x \mapsto (C_1 x + C_2) e^{x}\)

C \(x \mapsto C_1 e^{x} + C_2 e^{3x}\)

D \(x \mapsto C_1 e^{-x} + C_2 e^{-2x}\)

Question 3

Quelles sont les solutions réelles de \(y'' + 4y = 0\) ?

A \(x \mapsto C_1 \cos 4x + C_2 \sin 4x\)

B \(x \mapsto C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x}\)

C \(x \mapsto C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x\)

D \(x \mapsto C_1 \cos 2x\)

Question 4

Quelles sont les solutions réelles de \(y'' - 2y' + y = 0\) ?

A \(x \mapsto (C_1 x + C_2) e^{x}\)

B \(x \mapsto (C_1 x + C_2) e^{-x}\)

C \(x \mapsto C e^{x}\)

D \(x \mapsto C_1 e^{x} + C_2 e^{-x}\)

Question 5

Quelle est une solution particulière de \(y'' - 3y' + 2y = e^{x}\) ?

A \(x \mapsto \frac{1}{2} e^{x}\)

B \(x \mapsto -e^{x}\)

C \(x \mapsto x\, e^{x}\)

D \(x \mapsto -x\, e^{x}\)

Question 6

Quelle est la solution du problème de Cauchy \(y' + y = 1\), \(y(0) = 0\) ?

A \(x \mapsto e^{-x} - 1\)

B \(x \mapsto 1 - e^{-x}\)

C \(x \mapsto 1 - e^{x}\)

D \(x \mapsto 1 + e^{-x}\)

Question 7

Par variation de la constante, quelles sont les solutions de \(y' - \frac{y}{x} = x\) sur \(]0, +\infty[\) ?

A \(x \mapsto x^2 + \frac{C}{x}\), \(C \in \mathbb{R}\)

B \(x \mapsto x^2 + C\), \(C \in \mathbb{R}\)

C \(x \mapsto \frac{x^2}{2} + Cx\), \(C \in \mathbb{R}\)

D \(x \mapsto x^2 + Cx\), \(C \in \mathbb{R}\)

Question 8

Soient \(y_1\) et \(y_2\) deux solutions de \(y' + a(x)y = b(x)\), avec \(b\) non nulle. Laquelle de ces fonctions est solution de l’équation homogène \(y' + a(x)y = 0\) ?

A \(y_1 y_2\)

B \(y_1 - y_2\)

C \(y_1 + y_2\)

D \(2y_1\)

Question 9

Quelle est une solution particulière de \(y'' + y = x + e^{x}\) ?

A \(x \mapsto x - \frac{1}{2} e^{x}\)

B \(x \mapsto \frac{1}{2} e^{x}\)

C \(x \mapsto x + \frac{1}{2} e^{x}\)

D \(x \mapsto x + e^{x}\)

Question 10

Pour l’équation \(y'' + ay' + by = 0\) à coefficients réels, dont l’équation caractéristique a deux racines complexes \(\alpha \pm i\beta\) avec \(\beta \neq 0\), quelles sont les solutions réelles ?

A \(x \mapsto e^{\beta x}(C_1 \cos \alpha x + C_2 \sin \alpha x)\)

B \(x \mapsto e^{\alpha x}(C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x)\)

C \(x \mapsto C_1 e^{\alpha x} + C_2 e^{\beta x}\)

D \(x \mapsto e^{\alpha x}(C_1 \cos x + C_2 \sin x)\)

🎉 QCM terminé !

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Ce que vérifie ce QCM de équations différentielles en L1

Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :

la résolution de \(y’ + a(x)y = 0\) par une primitive de \(a\) ;
la structure affine de l’ensemble des solutions et le principe de superposition ;
la variation de la constante au premier ordre ;
l’équation caractéristique du second ordre, selon le signe du discriminant ;
la recherche d’une solution particulière adaptée au second membre, y compris en cas de résonance.

L’erreur la plus fréquente

L’erreur classique : chercher une solution particulière de la forme \(a\,e^{x}\) pour \(y » – 3y’ + 2y = e^x\), alors que \(1\) est racine de l’équation caractéristique. Il faut alors multiplier par \(x\).

Comment réviser avant de refaire le test

Vérifiez toujours une solution particulière en la réinjectant dans l’équation : le calcul prend une ligne et détecte immédiatement une erreur de signe ou un cas de résonance oublié. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.

Le cours et les exercices du même chapitre

Un score faible signale donc simplement qu’il faut reprendre la leçon avant de recommencer :

Le cours : Équations différentielles linéaires, avec les définitions, les théorèmes et leurs démonstrations.
Les exercices du chapitre, de l’application directe au problème de synthèse.
Le corrigé détaillé des exercices, rédigé comme on l’attend en devoir.

Les autres QCM de maths en L1

Dans la continuité du programme, voici les chapitres voisins : Systèmes linéaires et matrices, Intégration sur un segment, Développements limités, Espaces vectoriels. Par ailleurs, le sommaire des QCM de maths en L1 rassemble les 22 chapitres de l’année. Enfin, la page des QCM de maths du CP au post-bac présente tous les niveaux, de l’école primaire à la licence.

Questions fréquentes

Pourquoi l’ensemble des solutions est-il un espace affine ?

Parce que l’équation s’écrit \(L(y) = b\) avec \(L\) linéaire : si \(y_p\) est une solution, les autres sont exactement les \(y_p + h\) avec \(L(h) = 0\). L’équation homogène fournit la « direction ».

Combien faut-il de conditions initiales pour avoir une solution unique ?

Une seule, \(y(x_0) = y_0\), au premier ordre ; deux, \(y(x_0)\) et \(y'(x_0)\), au second ordre. C’est le contenu du théorème de Cauchy pour les équations linéaires.