Fonctions usuelles : QCM de maths en L1 corrigé

Sommaire

Ce QCM vérifie la maîtrise des fonctions usuelles en L1 : logarithme, puissances réelles, croissances comparées, fonctions trigonométriques réciproques et hyperboliques, asymptotes. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Fonctions usuelles et fonctions réciproques du programme de première année de licence de mathématiques (L1), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.

🎓 Fonctions usuelles - QCM de maths en L1

Score : 0 / 10

Répondues : 0 / 10

Question 1

Pour \(x < 0\), que vaut \(\arctan x + \arctan \frac{1}{x}\) ?

A \(-\frac{\pi}{2}\)

B \(0\)

C \(\pi\)

D \(\frac{\pi}{2}\)

Question 2

Quelle est la dérivée de \(\arcsin\) sur \(]-1, 1[\) ?

A \(x \mapsto \dfrac{1}{1 + x^2}\)

B \(x \mapsto -\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\)

C \(x \mapsto \dfrac{1}{\cos x}\)

D \(x \mapsto \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\)

Question 3

Que vaut \(\arcsin\left(\sin \frac{3\pi}{4}\right)\) ?

A \(\frac{3\pi}{4}\)

B \(\frac{\pi}{4}\)

C \(-\frac{\pi}{4}\)

D \(-\frac{3\pi}{4}\)

Question 4

Que vaut \(\lim_{x \to +\infty} \dfrac{(\ln x)^3}{\sqrt{x}}\) ?

A \(0\)

B \(1\)

C La limite n’existe pas

D \(+\infty\)

Question 5

Quelle relation vérifient \(\mathrm{ch}\) et \(\mathrm{sh}\) pour tout réel \(x\) ?

A \(\mathrm{ch}^2 x + \mathrm{sh}^2 x = 1\)

B \(\mathrm{ch}^2 x - \mathrm{sh}^2 x = e^{2x}\)

C \(\mathrm{sh}^2 x - \mathrm{ch}^2 x = 1\)

D \(\mathrm{ch}^2 x - \mathrm{sh}^2 x = 1\)

Question 6

Quelle est l’asymptote oblique en \(+\infty\) de \(f(x) = \dfrac{x^2 + x + 1}{x - 1}\) ?

A \(y = x - 2\)

B \(y = x + 2\)

C \(y = x\)

D \(y = x + 1\)

Question 7

Quelles sont les asymptotes de la courbe de \(x \mapsto \dfrac{2x + 1}{x - 3}\) ?

A \(x = 3\) et \(y = 2\)

B \(x = -3\) et \(y = 2\)

C \(x = 3\) et \(y = -\frac{1}{3}\)

D \(x = -\frac{1}{2}\) et \(y = 2\)

Question 8

Avec la définition \(x^a = e^{a \ln x}\) pour \(a\) réel quelconque, sur quel ensemble la fonction \(x \mapsto x^{1/3}\) est-elle définie ?

A \([0, +\infty[\)

B \(\mathbb{R}\)

C \(\mathbb{R}^*\)

D \(]0, +\infty[\)

Question 9

Pour \(x \in [-1, 1]\), que vaut \(\arcsin x + \arccos x\) ?

A \(\pi\) pour tout \(x\)

B \(\frac{\pi}{2}\) seulement si \(x \geqslant 0\)

C \(\frac{\pi}{2}\) pour tout \(x\)

D \(0\) pour tout \(x\)

Question 10

Que vaut \(\lim_{x \to 0^+} x^x\) ?

A \(+\infty\)

B \(0\)

C \(1\)

D \(e^{-1}\)

🎉 QCM terminé !

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Ce que vérifie ce QCM de fonctions usuelles en L1

Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :

les fonctions puissances \(x^a = e^{a \ln x}\) et les croissances comparées ;
les fonctions arcsinus, arccosinus, arctangente et leurs dérivées ;
les simplifications du type \(\arcsin(\sin x)\) et \(\arctan x + \arctan\frac1x\) ;
les fonctions hyperboliques et la relation \(\mathrm{ch}^2 – \mathrm{sh}^2 = 1\) ;
les asymptotes verticales, horizontales et obliques.

L’erreur la plus fréquente

L’erreur classique : écrire \(\arcsin(\sin x) = x\) pour tout réel \(x\). Ce n’est vrai que si \(x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\), puisque \(\arcsin\) prend ses valeurs dans cet intervalle.

Comment réviser avant de refaire le test

Pour toute fonction réciproque, notez à côté de sa formule l’intervalle de départ et l’intervalle d’arrivée : la quasi-totalité des erreurs de simplification vient d’un argument sorti de l’intervalle où la bijection a été définie. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.

Le cours et les exercices du même chapitre

Un score faible signale donc simplement qu’il faut reprendre la leçon avant de recommencer :

Le cours : Fonctions usuelles et fonctions réciproques, avec les définitions, les théorèmes et leurs démonstrations.
Les exercices du chapitre, de l’application directe au problème de synthèse.
Le corrigé détaillé des exercices, rédigé comme on l’attend en devoir.

Les autres QCM de maths en L1

Dans la continuité du programme, voici les chapitres voisins : Limites et continuité, Dérivation, Arithmétique dans Z, Polynômes. Par ailleurs, le sommaire des QCM de maths en L1 rassemble les 22 chapitres de l’année. Enfin, la page des QCM de maths du CP au post-bac présente tous les niveaux, de l’école primaire à la licence.

Questions fréquentes

Pourquoi \(\arcsin\) n’est-elle pas dérivable en \(\pm 1\) ?

Parce que \(\sin’ = \cos\) s’annule en \(\pm \frac{\pi}{2}\) : la courbe de \(\arcsin\) a une tangente verticale en \(\pm 1\), et la formule \(\frac{1}{\sqrt{1 – x^2}}\) n’y est pas définie.

Comment déterminer une asymptote oblique ?

On cherche \(a = \lim \frac{f(x)}{x}\), puis \(b = \lim (f(x) – ax)\) ; si les deux limites sont finies, \(y = ax + b\) est asymptote. Pour une fraction rationnelle, la division euclidienne donne directement le résultat.