Ce QCM vérifie la maîtrise de l’optimisation en Maths Spé MP : points critiques, théorème de Schwarz, matrice hessienne et formule de Taylor-Young, extremums sous contrainte et équations aux dérivées partielles. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Fonctions de classe C^k et optimisation du programme de maths spé (MP, deuxième année de classe préparatoire), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.
🎓 Optimisation - QCM de maths spé
Score : 0 / 10
Répondues : 0 / 10
Question 1
Soit \(f\) différentiable sur un ouvert \(U\) de \(\mathbb{R}^n\), admettant un extremum local en \(a \in U\). Que peut-on affirmer ?
A\(df(a) = 0\)
B\(\nabla f(a)\) est non nul
C\(f\) est de classe \(C^2\) au voisinage de \(a\)
DLa hessienne de \(f\) en \(a\) est définie positive ou définie négative
Question 2
On cherche le maximum de \(f(x,y) = x + y\) sur le carré fermé \([0,1]^2\). Que dire ?
AIl vaut \(2\), atteint en un point critique intérieur au carré
BIl n’existe pas, car \(f\) n’a aucun point critique dans le carré
CIl vaut \(1\), atteint en \((1,0)\) et en \((0,1)\)
DIl vaut \(2\), atteint en \((1,1)\) où \(\nabla f \neq 0\), point du bord du carré
Question 3
Quelle est la nature des points critiques de \(f(x,y) = x^3 - 3x + y^2\) ?
A\((1,0)\) est un point col, \((-1,0)\) est un minimum local
B\((1,0)\) et \((-1,0)\) sont deux minimums locaux
C\((1,0)\) est un maximum local, \((-1,0)\) est un point col
D\((1,0)\) est un minimum local, \((-1,0)\) est un point col
Question 4
Quelle hypothèse le programme retient-il pour le théorème de Schwarz \(\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} = \frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i}\) ?
A\(f\) est de classe \(C^2\) sur l’ouvert \(U\)
B\(f\) est de classe \(C^1\) sur l’ouvert \(U\)
C\(f\) admet des dérivées partielles d’ordre \(2\) en tout point de \(U\)
D\(f\) est différentiable sur l’ouvert \(U\)
Question 5
Quelle est la nature du point critique \((0,0)\) de \(f(x,y) = x^2 + 3xy + y^2\) ?
AOn ne peut pas conclure, car la hessienne est dégénérée
BC’est un point col : \(f\) n’y a pas d’extremum local
CC’est un minimum local strict
DC’est un maximum local strict
Question 6
\(f\) de classe \(C^2\) admet en \((0,0)\) un point critique où la hessienne est nulle. Que peut-on en déduire ?
AC’est un minimum local, car la hessienne nulle est positive
BRien par le second ordre : \(x^4 + y^4\) et \(x^4 - y^4\) le montrent
C\(f\) est constante au voisinage de \((0,0)\), par Taylor-Young
DC’est nécessairement un point col, faute de hessienne définie
Question 7
\(f\) et \(g\) sont de classe \(C^1\) sur un ouvert de \(\mathbb{R}^n\), et la restriction de \(f\) à \(X = \{ g = 0 \}\) a un extremum en \(a\), avec \(\nabla g(a) \neq 0\). Que peut-on affirmer ?
A\(\nabla f(a) = \nabla g(a)\)
B\(\nabla f(a) = 0\)
C\(\nabla f(a)\) est colinéaire à \(\nabla g(a)\)
D\(\nabla f(a)\) est orthogonal à \(\nabla g(a)\)
Question 8
Quel est le maximum de \(x + 2y\) sur le cercle \(x^2 + y^2 = 5\) ?
A\(3\)
B\(\sqrt{5}\)
C\(5\)
D\(5\sqrt{5}\)
Question 9
Soit \(f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) continue telle que \(f(x) \to +\infty\) quand \(\|x\| \to +\infty\). Que peut-on affirmer ?
A\(f\) est minorée mais n’atteint pas forcément sa borne inférieure
B\(f\) admet un maximum global
C\(f\) admet un minimum global seulement si elle est de classe \(C^1\)
D\(f\) admet un minimum global, en se ramenant à une boule fermée
Question 10
Quelles sont les fonctions \(f\) de classe \(C^1\) sur \(\mathbb{R}^2\) vérifiant \(\frac{\partial f}{\partial x} - \frac{\partial f}{\partial y} = 0\) ?
ALes \(f(x,y) = \varphi(x) + \psi(y)\), avec \(\varphi\), \(\psi\) de classe \(C^1\)
BLes \(f(x,y) = \varphi(x-y)\), avec \(\varphi\) de classe \(C^1\) sur \(\mathbb{R}\)
CLes \(f(x,y) = \varphi(x+y)\), avec \(\varphi\) de classe \(C^1\) sur \(\mathbb{R}\)
DLes \(f(x,y) = \varphi(xy)\), avec \(\varphi\) de classe \(C^1\) sur \(\mathbb{R}\)
🎉 QCM terminé !
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Ce que vérifie ce QCM de optimisation en maths spé
Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :
la condition nécessaire d’extremum en un point intérieur : \(df(a) = 0\) ;
le théorème de Schwarz pour une fonction de classe \(C^2\) ;
la hessienne et les conditions du second ordre (cas \(n = 2\) : trace et déterminant) ;
les extremums liés : \(\nabla f(a)\) colinéaire à \(\nabla g(a)\) ;
l’existence d’un extremum global par compacité, et les EDP par changement de variables.
L’erreur la plus fréquente
L’erreur classique : chercher les extremums sur un fermé en ne regardant que les points critiques. La condition \(\nabla f(a) = 0\) ne vaut qu’en un point intérieur : sur le bord, un extremum peut être atteint avec un gradient non nul.
Comment réviser avant de refaire le test
Pour un extremum global sur \(\mathbb{R}^n\), montrez d’abord son existence (coercivité, restriction à un compact), puis cherchez-le parmi les points critiques : la hessienne seule ne donne que des informations locales. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.
Que conclure si le déterminant de la hessienne est nul en un point critique ?
Rien par le second ordre : il faut une étude directe (signe de \(f(a+h) – f(a)\) sur des directions bien choisies). \(x^4 + y^4\) et \(x^4 – y^4\) ont la même hessienne nulle en \((0,0)\).
Pourquoi le gradient de \(f\) est-il colinéaire à celui de \(g\) en un extremum lié ?
En un extremum de \(f\) sur \(X = \{g = 0\}\), \(df(a)\) s’annule sur l’espace tangent \(\ker dg(a)\) ; si \(dg(a) \neq 0\), \(\nabla f(a)\) est donc orthogonal à cet hyperplan, c’est-à-dire colinéaire à \(\nabla g(a)\).
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