Ce QCM vérifie la maîtrise des endomorphismes autoadjoints et du théorème spectral en Maths Spé MP : diagonalisation orthogonale des matrices symétriques réelles, projecteurs orthogonaux et positivité des matrices symétriques. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Endomorphismes autoadjoints et théorème spectral du programme de maths spé (MP, deuxième année de classe préparatoire), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.
🎓 Théorème spectral - QCM de maths spé
Score : 0 / 10
Répondues : 0 / 10
Question 1
Que dit le théorème spectral pour un endomorphisme autoadjoint \(u\) d’un espace euclidien \(E\) ?
A\(u\) a toutes ses valeurs propres positives
B\(u\) est diagonalisable, mais pas forcément en base orthonormée
C\(u\) est une isométrie de \(E\)
D\(u\) est diagonalisable dans une base orthonormée de \(E\)
Question 2
Un projecteur \(p\) d’un espace euclidien est orthogonal si et seulement si…
A\(p^* = p\)
B\(\mathrm{tr}\,p = \mathrm{rg}\,p\)
C\(p\) est une isométrie
D\(p^* = p^{-1}\)
Question 3
Quel est le spectre de \(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\), et à quel ensemble appartient-elle ?
A\(\mathrm{Sp}(A) = \{2\}\), et \(A \in S_2^{++}(\mathbb{R})\)
B\(\mathrm{Sp}(A) = \{-1,3\}\), et \(A\) n’est pas positive
C\(\mathrm{Sp}(A) = \{1,3\}\), et \(A \in S_2^{++}(\mathbb{R})\)
D\(\mathrm{Sp}(A) = \{1,3\}\), et \(A \in S_2^{+}(\mathbb{R})\) sans être définie positive
Question 4
Pour \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\) et \(X = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}\), que vaut \(X^T A X\), et qu’en conclure ?
A\(0\), donc \(A\) est positive sans être définie positive
B\(-2\), donc \(A\) n’est pas positive
C\(2\), donc \(A\) est positive
D\(-2\), mais \(A\) est positive car ses coefficients le sont
Question 5
Le théorème spectral s’étend-il aux matrices symétriques à coefficients complexes ?
AOui, mais la diagonalisation n’a plus lieu en base orthonormée
BNon, car une matrice symétrique complexe n’a aucune valeur propre réelle
CNon : \(\begin{pmatrix} 1 & i \\ i & -1 \end{pmatrix}\) est symétrique et nilpotente non nulle
DOui : toute matrice symétrique, réelle ou complexe, est diagonalisable
Question 6
Quel est le maximum de \(X^T A X\) sur la sphère unité \(\|X\| = 1\) de \(\mathbb{R}^2\), pour \(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\) ?
A\(6\)
B\(3\)
C\(4\)
D\(2\)
Question 7
Pour \(S \in S_n(\mathbb{R})\), laquelle de ces conditions équivaut à \(S \in S_n^{++}(\mathbb{R})\) ?
A\(S\) est inversible et \(\mathrm{tr}\,S > 0\)
BLes coefficients diagonaux de \(S\) sont strictement positifs
C\(\det S > 0\)
D\(\mathrm{Sp}(S) \subset ]0,+\infty[\)
Question 8
Quelle est la racine carrée symétrique positive de \(S = \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}\) ?
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\). Que peut-on dire de \(A^T A\) ?
AElle est symétrique positive, et définie positive si et seulement si \(A\) est inversible
BElle est symétrique définie positive dès que \(A\) est non nulle, par \(\|AX\|^2 \geqslant 0\)
CElle est symétrique positive, et orthogonale dès que \(A\) est inversible
DElle est symétrique, mais n’est positive que si \(A\) est elle-même symétrique
Question 10
Soit \(S \in S_n(\mathbb{R})\) telle que \(S^3 = I_n\). Que peut-on en conclure ?
A\(S\) est orthogonale, mais pas nécessairement égale à \(I_n\)
B\(S\) peut être une rotation d’angle \(\frac{2\pi}{3}\)
C\(S = I_n\)
D\(S = I_n\) ou \(S = -I_n\)
🎉 QCM terminé !
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Ce que vérifie ce QCM de théorème spectral en maths spé
Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :
la caractérisation d’un endomorphisme autoadjoint par une matrice symétrique en base orthonormée ;
les projecteurs orthogonaux, qui sont exactement les projecteurs autoadjoints ;
l’énoncé du théorème spectral et la diagonalisation en base orthonormée ;
les ensembles \(S_n^+(\mathbb{R})\) et \(S_n^{++}(\mathbb{R})\) et leur caractérisation spectrale ;
l’encadrement de \(\langle u(x), x \rangle\) par les valeurs propres extrêmes (quotient de Rayleigh).
L’erreur la plus fréquente
L’erreur classique : appliquer le théorème spectral à une matrice symétrique complexe. Il ne vaut que pour les matrices symétriques réelles : \(\begin{pmatrix} 1 & i \\ i & -1 \end{pmatrix}\) est symétrique, non nulle et nilpotente.
Comment réviser avant de refaire le test
Pour prouver qu’une matrice symétrique est positive, choisissez entre deux voies : calculer son spectre, ou écrire \(X^T S X\) comme une somme de carrés. La seconde évite souvent le polynôme caractéristique. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.
Pourquoi les sous-espaces propres d’une matrice symétrique réelle sont-ils orthogonaux ?
Si \(SX = \lambda X\) et \(SY = \mu Y\), alors \(\lambda\,X^T Y = (SX)^T Y = X^T S Y = \mu\,X^T Y\), donc \(X^T Y = 0\) dès que \(\lambda \neq \mu\). C’est la symétrie qui fait tout.
La racine carrée d’une matrice symétrique positive est-elle unique ?
Elle est unique parmi les matrices symétriques positives. Sans la condition de positivité, il y en a d’autres : \(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}^2\).
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