Ce QCM vérifie la maîtrise des intégrales à paramètre en Maths Spé MP : continuité et dérivation sous le signe intégrale, domination sur des segments, fonction Gamma d’Euler et transformées usuelles. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Intégrales à paramètre du programme de maths spé (MP, deuxième année de classe préparatoire), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.
🎓 Intégrales à paramètre - QCM de maths spé
Score : 0 / 10
Répondues : 0 / 10
Question 1
Pour la continuité de \(F(x) = \int_I f(x,t)\,dt\) sur \(A\), quelle hypothèse de domination demande le théorème ?
A\(|f(x,t)| \leqslant \varphi(t)\) pour tous \(x \in A\), \(t \in I\), avec \(\varphi\) intégrable sur \(I\)
B\(\left| \frac{\partial f}{\partial x}(x,t) \right| \leqslant \varphi(t)\) avec \(\varphi\) intégrable sur \(I\)
C\(f\) est bornée sur \(A \times I\)
D\(t \mapsto f(x,t)\) est intégrable sur \(I\) pour chaque \(x \in A\)
Question 2
Pour montrer que \(F(x) = \int_I f(x,t)\,dt\) est de classe \(C^1\), quelle fonction doit-on dominer par une fonction intégrable indépendante de \(x\) ?
Que vaut \(\Gamma(5)\), où \(\Gamma(x) = \int_0^{+\infty} t^{x-1} e^{-t}\,dt\) ?
A\(120\)
B\(24\)
C\(5\)
D\(4\)
Question 4
Sachant que \(\Gamma\left( \frac{1}{2} \right) = \sqrt{\pi}\), que vaut \(\Gamma\left( \frac{3}{2} \right)\) ?
A\(\frac{3\sqrt{\pi}}{4}\)
B\(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\)
C\(\sqrt{\pi}\)
D\(\frac{3\sqrt{\pi}}{2}\)
Question 5
On pose \(F(x) = \int_0^{+\infty} e^{-t^2} \cos(xt)\,dt\). Quelle équation différentielle \(F\) vérifie-t-elle sur \(\mathbb{R}\) ?
A\(F'(x) = -2x\,F(x)\)
B\(F'(x) = \frac{x}{2}\,F(x)\)
C\(F'(x) = -x\,F(x)\)
D\(F'(x) = -\frac{x}{2}\,F(x)\)
Question 6
Pourquoi, pour étudier la continuité de \(\Gamma\) sur \(]0,+\infty[\), domine-t-on \(t^{x-1}e^{-t}\) sur chaque segment \([a,b] \subset ]0,+\infty[\) ?
AParce que \(x \mapsto t^{x-1}e^{-t}\) n’est pas continue sur \(]0,+\infty[\)
BParce que \(\Gamma\) n’est définie que sur des segments
CAucune fonction intégrable ne domine \(t^{x-1}e^{-t}\) pour tous les \(x > 0\) à la fois
DParce que le théorème de continuité exige un ensemble de paramètres compact
Question 7
Pour \(x > 0\), on sait que \(\int_0^{+\infty} e^{-xt}\,dt = \frac{1}{x}\). Que vaut \(\int_0^{+\infty} t\,e^{-xt}\,dt\) ?
A\(-\frac{1}{x^2}\)
B\(\frac{2}{x^3}\)
C\(\frac{1}{x^2}\)
D\(\frac{1}{x}\)
Question 8
Quel est un équivalent de \(\Gamma(x)\) quand \(x \to 0^+\) ?
A\(\frac{1}{x}\)
B\(1\)
C\(-\ln x\)
D\(\frac{1}{x^2}\)
Question 9
On considère \(G(x) = \int_0^{+\infty} \frac{\sin(xt)}{t}\,dt\), intégrale convergente pour tout réel \(x\). Que dire de \(G\) ?
A\(G\) est linéaire : \(G(x) = \frac{\pi x}{2}\) pour tout réel \(x\)
B\(G\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\), de dérivée \(\int_0^{+\infty} \cos(xt)\,dt\)
C\(G\) est continue sur \(\mathbb{R}\), car l’intégrande est continue en \(x\)
D\(G\) est discontinue en \(0\) : elle vaut \(\frac{\pi}{2}\) pour \(x > 0\) et \(0\) en \(0\)
Question 10
Pour montrer que \(F(x) = \int_I f(x,t)\,dt\) est de classe \(C^k\), que demande-t-on à \(\frac{\partial^k f}{\partial x^k}\), en plus de sa continuité ?
AUne domination par une fonction intégrable indépendante de \(x\), au moins sur tout segment
BD’être bornée sur \(A \times I\)
CRien de plus, si \(f\) est de classe \(C^\infty\)
DSeulement l’intégrabilité de \(t \mapsto \frac{\partial^k f}{\partial x^k}(x,t)\) pour chaque \(x\)
🎉 QCM terminé !
0 / 10
Ce que vérifie ce QCM de intégrales à paramètre en maths spé
Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :
le théorème de continuité sous hypothèse de domination ;
le théorème de dérivation sous le signe intégrale et son extension à la classe \(C^k\) ;
la domination sur tout segment et son intérêt ;
la fonction Gamma et la relation \(\Gamma(x+1) = x\,\Gamma(x)\) ;
l’obtention d’une équation différentielle ou d’un équivalent pour une intégrale à paramètre.
L’erreur la plus fréquente
L’erreur classique : dériver sous le signe intégrale en dominant \(f\) au lieu de \(\frac{\partial f}{\partial x}\). Pour la classe \(C^1\), c’est bien la dérivée partielle qu’il faut dominer par une fonction intégrable indépendante de \(x\).
Comment réviser avant de refaire le test
Rédigez les hypothèses dans l’ordre du théorème (régularité en \(x\), continuité par morceaux en \(t\), domination), et dominez sur des segments \([a,b]\) dès que la domination globale échoue au bord du domaine. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.
Pourquoi une domination sur tout segment suffit-elle pour la continuité ?
La continuité est une propriété locale : si \(F\) est continue sur chaque segment \([a,b]\) inclus dans l’intervalle \(A\) des paramètres, elle est continue en chaque point de \(A\).
Comment retrouver \(\Gamma(n+1) = n!\) ?
Une intégration par parties donne \(\Gamma(x+1) = x\,\Gamma(x)\) pour \(x > 0\), et \(\Gamma(1) = \int_0^{+\infty} e^{-t}\,dt = 1\) : une récurrence immédiate conclut.
Voter... post
Télécharger et imprimer ce document en PDF gratuitement :
Vous avez la possibilité de télécharger puis d'imprimer gratuitement ce document «intégrales à paramètre : QCM de maths spé» au format PDF.
