Ce QCM de maths sup porte sur l’espérance et la variance sur un univers fini : linéarité, formule de transfert, covariance, lois usuelles et inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Espérance, variance et inégalités probabilistes du programme de maths sup (MPSI, première année de classe préparatoire), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.
🎓 Espérance et variance - QCM de maths sup
Score : 0 / 10
Répondues : 0 / 10
Question 1
Si \(V(X) = 3\), que vaut \(V(-2X + 5)\) ?
A\(-6\)
B\(17\)
C\(12\)
D\(6\)
Question 2
Une variable aléatoire \(X\) vérifie \(E(X) = 2\) et \(E(X^2) = 7\). Que vaut \(V(X)\) ?
A\(5\)
B\(\sqrt{3}\)
C\(11\)
D\(3\)
Question 3
Soit \(X\) de loi \(\mathcal{B}(10;\ 0{,}3)\). Que vaut \(V(X)\) ?
A\(3\)
B\(7\)
C\(2{,}1\)
D\(0{,}21\)
Question 4
On choisit une permutation \(\sigma\) de \(\{1, \dots, n\}\) uniformément au hasard. Quelle est l’espérance du nombre de points fixes de \(\sigma\) ?
A\(\frac{n}{2}\)
B\(1\)
C\(\frac{1}{n}\)
D\(\frac{1}{e}\)
Question 5
\(X\) suit la loi uniforme sur \(\{1, 2, \dots, 6\}\). Que vaut \(E\left(\frac{1}{X}\right)\) ?
A\(\frac{1}{6}\)
B\(\frac{49}{120}\)
C\(\frac{2}{7}\)
D\(\frac{7}{2}\)
Question 6
\(X\) suit la loi uniforme sur \(\{-1, 0, 1\}\) et \(Y = X^2\). Laquelle des affirmations est vraie ?
A\(X\) et \(Y\) sont décorrélées mais pas indépendantes
B\(X\) et \(Y\) sont indépendantes
C\(X\) et \(Y\) sont corrélées positivement
D\(\mathrm{Cov}(X, Y) = \frac{2}{3}\)
Question 7
On sait que \(V(X) = 2\), \(V(Y) = 3\) et \(\mathrm{Cov}(X, Y) = -1\). Que vaut \(V(X + Y)\) ?
A\(5\)
B\(7\)
C\(4\)
D\(3\)
Question 8
Soit \(X\) une variable aléatoire positive d’espérance \(2\). Quelle majoration l’inégalité de Markov donne-t-elle pour \(P(X \geqslant 10)\) ?
A\(P(X \geqslant 10) \leqslant \frac{1}{10}\)
B\(P(X \geqslant 10) \leqslant \frac{1}{5}\)
C\(P(X \geqslant 10) \leqslant \frac{1}{50}\)
D\(P(X \geqslant 10) \leqslant \frac{1}{25}\)
Question 9
On note \(F_n\) la fréquence de succès sur \(n\) épreuves de Bernoulli indépendantes de paramètre \(p\) inconnu. Quel \(n\) suffit, d’après Bienaymé-Tchebychev et \(p(1-p) \leqslant \frac{1}{4}\), pour garantir \(P(|F_n - p| \geqslant 0{,}1) \leqslant 0{,}05\) ?
A\(n = 500\)
B\(n = 50\)
C\(n = 250\)
D\(n = 100\)
Question 10
Pour \(X\) réelle et \(a > 0\), quel est l’énoncé de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev ?
A\(P(|X - E(X)| \geqslant a) \leqslant \frac{V(X)}{a^2}\)
B\(P(|X - E(X)| \geqslant a) \geqslant \frac{V(X)}{a^2}\)
C\(P(|X - E(X)| \geqslant a) \leqslant \frac{\sigma(X)}{a^2}\)
D\(P(|X - E(X)| \geqslant a) \leqslant \frac{V(X)}{a}\)
🎉 QCM terminé !
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Ce que vérifie ce QCM de espérance et variance en maths sup
Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :
la linéarité de l’espérance et la méthode des indicatrices ;
la formule de transfert \(E(f(X)) = \sum_x f(x)P(X = x)\) ;
la variance, la formule de König-Huygens et \(V(aX + b) = a^2 V(X)\) ;
la covariance et la variance d’une somme ; décorrélation et indépendance ;
les inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev, et la taille d’échantillon.
L’erreur la plus fréquente
Deux variables décorrélées (\(\mathrm{Cov}(X, Y) = 0\)) ne sont pas forcément indépendantes : avec \(X\) uniforme sur \(\{-1, 0, 1\}\) et \(Y = X^2\), la covariance est nulle alors que \(Y\) est une fonction de \(X\).
Comment réviser avant de refaire le test
Pour une espérance de « nombre de … », décomposez la variable en somme d’indicatrices : la linéarité ne demande aucune indépendance, et chaque espérance d’indicatrice est une simple probabilité. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.
Non. L’espérance n’est linéaire que pour les fonctions affines ; pour \(f(X)\) quelconque, il faut appliquer la formule de transfert.
Quand utiliser Markov plutôt que Bienaymé-Tchebychev ?
Markov demande seulement \(X \geq\, 0\) et son espérance ; Bienaymé-Tchebychev utilise la variance et contrôle l’écart à la moyenne, ce qui est en général bien plus précis.
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