Corrigé du brevet blanc de maths 2022 n° 3

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

Vrai ou faux justifié, 6 points

1. On demande si \((x-5)(x+1)\) est égal à \(x^2-4x-5\). On développe :

\[E=(x-5)(x+1)=x^2+x-5x-5=x^2-4x-5.\]

L’affirmation est vraie.

2. On affirme que le nombre \(2^n+1\) est toujours premier. Il suffit d’un contre-exemple : pour \(n=5\),

\[2^5+1=32+1=33=3\times 11.\]

33 est divisible par 3 : il n’est pas premier. L’affirmation est fausse.

3. On affirme que la somme de deux multiples de 5 est toujours un multiple de 10. Contre-exemple : 15 et 10 sont des multiples de 5, mais \(15+10=25\) n’est pas un multiple de 10 (il ne se termine pas par 0). L’affirmation est fausse.

4. On affirme que l’expression \(F=3x^2-8x+7\) vaut 35 pour \(x=-2\). On remplace \(x\) par \(-2\) :

\[F=3\times (-2)^2-8\times (-2)+7=3\times 4+16+7=12+16+7=35.\]

L’affirmation est vraie.

5. On considère un rectangle ABCD avec \(AB=95\) et \(BC=160\), et l’on s’interroge sur la longueur annoncée de sa diagonale [AC]. Le triangle ABC est rectangle en B, donc d’après le théorème de Pythagore :

\[AC^2=AB^2+BC^2=95^2+160^2=9\,025+25\,600=34\,625,\]

\[AC=\sqrt{34\,625}\approx 186{,}1.\]

La diagonale mesure environ 186,1 (dans l’unité des côtés), ce qui ne correspond pas à la valeur annoncée : l’affirmation est fausse.

Exercice 2 :

Arithmétique, 5 points

1. On justifie que 102 est divisible par 3. La somme de ses chiffres est \(1+0+2=3\), qui est un multiple de 3. D’après le critère de divisibilité, 102 est divisible par 3 (\(102=3\times 34\)).

2. Décomposition de 102 en produit de facteurs premiers :

\[102=2\times 51=2\times 3\times 17.\]

Donc \(102=2\times 3\times 17\), et 2, 3 et 17 sont bien premiers.

3. On cherche des diviseurs de 102 qui ne sont pas premiers. En regroupant les facteurs premiers deux par deux :

\[102=6\times 17=2\times 51=34\times 3.\]

Ainsi 6, 34 et 51 sont des diviseurs de 102 qui ne sont pas premiers (\(6=2\times 3\), \(34=2\times 17\), \(51=3\times 17\)). On pourrait aussi citer 1 et 102 lui-même.

4. On se demande si l’on peut découper la plaque de 102 sur 85 en étiquettes carrées de 34 de côté, sans perte. Il faudrait que 34 divise à la fois 102 et 85. Or

\[85: 34=2{,}5,\]

qui n’est pas un nombre entier : 34 n’est pas un diviseur de 85. On ne peut donc pas utiliser des étiquettes de 34 de côté.

5. Le côté des étiquettes doit diviser 102 et 85. Comme \(85=5\times 17\) et \(102=2\times 3\times 17\), le plus grand diviseur commun est 17. Avec des carrés de 17 de côté :

\[102: 17=6 \quad\text{et}\quad 85: 17=5,\]

on obtient 6 étiquettes dans un sens et 5 dans l’autre, soit \(6\times 5=\) 30 étiquettes.

Exercice 3 :

Droites parallèles, théorème de Thalès et vitesse, 7,5 points

Un trajet monte du point A (altitude 251 m) au point E (altitude 393 m). Les points A, B, C sont alignés à l’horizontale, les points A, D, E sont alignés sur la pente, [DB] et [EC] sont verticaux, avec \(AD=51{,}25\) m et \(BD=11{,}25\) m.

1. La hauteur EC est la différence d’altitude entre E et A :

\[EC=393-251=142\ \text{m}.\]

2. a) On montre que (DB) et (EC) sont parallèles. On sait que \((DB)\perp(AC)\) et \((EC)\perp(AC)\). Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, alors elles sont parallèles entre elles. Donc \((DB)\parallel(EC)\).

2. b) On calcule la longueur DE. Les points A, D, E sont alignés, les points A, B, C sont alignés et \((DB)\parallel(EC)\) : d’après le théorème de Thalès,

\[\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{EC}.\]

On utilise l’égalité \(\dfrac{AD}{AE}=\dfrac{BD}{EC}\) :

\[\frac{51{,}25}{AE}=\frac{11{,}25}{142}\quad\text{donc}\quad AE=\frac{51{,}25\times 142}{11{,}25}\approx 646{,}9\ \text{m}.\]

Ensuite \(DE=AE-AD\approx 646{,}9-51{,}25\approx 595{,}6\) m, soit \(DE\approx 596\) m.

3. Le trajet de D à E se fait à la vitesse de 8 km/h, c’est-à-dire 8 000 m en 3 600 s. On cherche la durée \(t\) nécessaire pour parcourir 596 m (proportionnalité) :

\[t=\frac{596\times 3\,600}{8\,000}=268{,}2\ \text{s}.\]

Or \(268{,}2\ \text{s}=4\ \text{min}\ 28{,}2\ \text{s}\), donc le trajet dure moins de 5 minutes. En ajoutant cette durée à l’heure de départ fixée par l’énoncé, la personne arrive en E au plus tard à 10 h.

Exercice 4 :

Réciproque de Thalès, Thalès, Pythagore et trigonométrie, 9 points

Les segments [IU] et [AO] se coupent en M, avec \(IA=45\) mm, \(IM=36\) mm, \(MA=27\) mm, \(MU=28\) mm et \(MO=21\) mm.

1. On montre que (OU) et (AI) sont parallèles. Les points I, M, U d’une part et A, M, O d’autre part sont alignés dans le même ordre. On compare :

\[\frac{MO}{MA}=\frac{21}{27}=\frac{7}{9}\quad\text{et}\quad\frac{MU}{MI}=\frac{28}{36}=\frac{7}{9}.\]

(Vérification par les produits en croix : \(21\times 36=756\) et \(27\times 28=756\).) Ainsi \(\dfrac{MO}{MA}=\dfrac{MU}{MI}\) : d’après la réciproque du théorème de Thalès, \((OU)\parallel(AI)\).

2. On calcule OU. On sait que \(M\in(OA)\), \(M\in(IU)\) et \((OU)\parallel(AI)\). D’après le théorème de Thalès :

\[\frac{MO}{MA}=\frac{MU}{MI}=\frac{OU}{IA}\quad\text{donc}\quad\frac{21}{27}=\frac{OU}{45}\quad\text{et}\quad OU=\frac{21\times 45}{27}=35.\]

\(OU=35\) mm.

3. On montre que le triangle AMI est rectangle. Son plus long côté est [AI]. D’une part \(AI^2=45^2=2\,025\) ; d’autre part

\[MI^2+MA^2=36^2+27^2=1\,296+729=2\,025.\]

Comme \(AI^2=MI^2+MA^2\), d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle AMI est rectangle en M.

4. On calcule l’angle \(\widehat{AIM}\). Dans le triangle AMI rectangle en M, [IM] est le côté adjacent à l’angle et [AI] l’hypoténuse :

\[\cos\widehat{AIM}=\frac{IM}{AI}=\frac{36}{45}=0{,}8\quad\text{donc}\quad\widehat{AIM}=\arccos(0{,}8)\approx 36{,}9^\circ.\]

Arrondi au degré : \(\widehat{AIM}\approx 37^\circ\).

Exercice 5 :

Programme Scratch avec condition, 6 points

Le programme demande un nombre \(N\). Si \(N\gt 15\), il affiche \(100-4\times N\) ; sinon, il affiche \(2\times (N+10)\).

1. Avec \(N=18\) : \(18\gt 15\), donc le programme calcule \(100-4\times 18=100-72=\) 28.

2. Avec \(N=14\) : \(14\lt 15\), donc il calcule \(2\times (14+10)=2\times 24=\) 48.

3. On cherche les nombres de départ qui donnent 32. On étudie les deux cas.

• Si \(N\gt 15\) : \(100-4N=32\), donc \(-4N=-68\) et \(N=17\). Comme \(17\gt 15\), cette solution convient.
• Si \(N\leq\, 15\) : \(2(N+10)=32\), donc \(N+10=16\) et \(N=6\). Comme \(6\leq\, 15\), cette solution convient aussi.

Il y a donc deux nombres possibles : \(N=17\) ou \(N=6\).

4. a) À la ligne 3, la condition compare la réponse à 15 :

si  réponse > 15  alors

4. b) À la ligne 6 (branche « sinon »), le programme doit dire le double de la réponse augmentée de 10 ; on complète avec 2, réponse et 10 :

dire  2 * (réponse + 10)

Exercice 6 :

Aires de trois voiles triangulaires, 6,5 points

On cherche laquelle des trois voiles, en forme de triangles ABC rectangles en A, a une aire supérieure à 6 m². L’aire d’un triangle rectangle vaut \(\dfrac{AB\times AC}{2}\).

Voile A : les côtés de l’angle droit mesurent 3,4 m et 3 m.

\[\mathcal{A}_A=\frac{3{,}4\times 3}{2}=5{,}1\ \text{m}^2\lt 6\ \text{m}^2.\]

Voile B : \(AB=3{,}4\) m et l’hypoténuse \(BC=5{,}25\) m. D’après le théorème de Pythagore dans ABC rectangle en A :

\[AC^2=BC^2-AB^2=5{,}25^2-3{,}4^2=27{,}5625-11{,}56=16{,}0025,\quad AC=\sqrt{16{,}0025}\approx 4\ \text{m}.\]

\[\mathcal{A}_B\approx\frac{3{,}4\times 4}{2}=6{,}8\ \text{m}^2\gt 6\ \text{m}^2.\]

Voile C : \(AB=3{,}4\) m et \(\widehat{ACB}=46^\circ\). Dans ABC rectangle en A, [AB] est le côté opposé à l’angle \(\widehat{ACB}\) et [AC] le côté adjacent :

\[\tan 46^\circ=\frac{AB}{AC}\quad\text{donc}\quad AC=\frac{3{,}4}{\tan 46^\circ}\approx 3{,}28\ \text{m}.\]

\[\mathcal{A}_C\approx\frac{3{,}4\times 3{,}28}{2}\approx 5{,}58\ \text{m}^2\lt 6\ \text{m}^2.\]

(Si l’on arrondit d’abord AC à 3,3 m, on trouve environ 5,61 m², ce qui ne change pas la conclusion.)

Conclusion : la voile B est la seule dont l’aire dépasse 6 m² ; c’est la seule qui convient.