Logique, démonstration et algorithmique
Au programme de Seconde
Définition
Deux propositions sont équivalentes lorsque chacune implique l’autre : elles sont vraies exactement dans les mêmes cas.
Notation : \(A \Longleftrightarrow B\).
En clair
C’est « si et seulement si » : les deux affirmations disent la même chose.
Ce qu’il faut retenir
- \(A \Longleftrightarrow B\) signifie \(A \Longrightarrow B\) et \(B \Longrightarrow A\).
- Les caractérisations (« un quadrilatère est un parallélogramme si et seulement si… ») sont des équivalences.
- Résoudre une équation revient à écrire une suite d’équivalences.
- Un passage au carré n’est pas une équivalence : il peut créer des solutions supplémentaires.
Exemple
\(2x – 6 = 0 \Longleftrightarrow 2x = 6 \Longleftrightarrow x = 3\) : chaque étape est réversible, donc l’ensemble des solutions est conservé.
À ne pas confondre avec
- Implication — l’implication ne fonctionne que dans un sens.
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Termes liés
Implication
Réciproque
Contraposée
Résoudre une équation
Équation
Disjonction de cas
Fonction (en programmation)
Affectation
Algorithme
Boucle
Questions fréquentes sur « équivalence »
Que signifie « si et seulement si » ?
Que les deux propositions s’impliquent mutuellement : elles sont vraies dans exactement les mêmes situations.
