Trigonometría: clave de respuestas para los ejercicios de matemáticas en 3er grado en PDF.

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Respuestas a los ejercicios de matemáticas en 3ème sobre trigonometría en el triángulo rectángulo. Aplica las fórmulas del seno, coseno y tangente para calcular la longitud o medida de un ángulo.

Ejercicio 1:

sabemos que $\widehat{CAB}=50^{\circ}$ ; $\widehat{DBA}=15^{\circ}$ ; $\widehat{ACB}=90^{\circ}$ y $AB=40\,m$ .

Calcula el perímetro del triángulo ABD Redondea el resultado al decímetro más próximo.

En el triángulo rectángulo ABC :

$cos\widehat{A}=\frac{AC}{AB}$

$AC=40cos\widehat{50}$

$AC\simeq\,25,71\,m$

En triángulo ABD :

$\widehat{ADB}=180-50-15=180-65=115$

$\widehat{CDB}=180-115=65^{\circ}$

En el triángulo rectángulo ACB :

$sin\widehat{A}=\frac{BC}{AB}$

$BC=AB\times \,sinA$

$BC=40\times \,sin\,50^{\circ}$

$BC\simeq\,30,64\,m$

En el triángulo rectángulo BCD :

$tan\widehat{BDC}=\frac{BC}{DC}$

$tan65=\frac{40\times \,sin50^{\circ}}{DC}$

$DC=\frac{40\times \,sin50^{\circ}}{tan65}$

$DC\simeq\,15,83\,m$

Además

$DA=AC-DC=25,71-15,83=9,88\,m$

En el triángulo BCD rectángulo en C :

${\color{DarkRed}\,BD\simeq\,34,5\,m}$

El perímetro del triángulo ABD es :

AD+DB+BA =9,88+34,5+40=84,38 m .

Conclusión: el perímetro es de aproximadamente 84,4 metros.

Ejercicio 2:

a. En el triángulo rectángulo DGE :

$sin\,\,\widehat{GED}=\frac{DG}{DE}$

$sin\,\,40=\frac{DG}{20}$

$DG=20sin\,\,40$

${\color{DarkRed}\,DG=12,9\,m}$

b. Muestra la situación de la figura a escala 1:200. (Los datos de la situación deben colocarse en la figura).

Ejercicio 3:

1.a. Utilizando una calculadora, calcula (cos67°+sin67°)²+(cos67°-sin67°)²=2 (cos35°+sin35°)²+(cos35°-sin35°)²=2

b. ¿qué encontramos?

El resultado es siempre igual a 2 .

Demuestra que para cualquier ángulo agudo x :

$=2\times \,1\,\,(car\,cos^2x+sin^2x=1)$

Ejercicio 4:

Demuestra que el triángulo SON es rectángulo.

Cálculo del ángulo $\widehat{AOC}$ :

$cos\widehat{AOC}=\frac{3}{6}$

$\widehat{AOC}=cos^{-1}\frac{1}{2}$

$\widehat{AOC}=60^{\circ}$

Los ángulos $\widehat{AOC}$ y $\widehat{EOS}$ son opuestos en el vértice y, por tanto, iguales.

$\widehat{EOS}=60^{\circ}$

$\widehat{SON}=\widehat{EOS}+\widehat{NOE}=60^{\circ}+30^{\circ}=90^{\circ}$

Conclusión: el triángulo NOS es un triángulo rectángulo en O .

Ejercicio 5:

es un ángulo tal que $sinx=\frac{5}{8}$ .

$cos^2x=1-(\frac{5}{8})^2$

$cos^2x=1-\frac{25}{64}$

$cos^2x=\frac{64}{64}-\frac{25}{64}$

$cos^2x=\frac{39}{64}$

Ahora el coseno de un ángulo agudo es positivo:

$cosx=\sqrt{\frac{39}{64}}$

$cosx=\frac{\sqrt{39}}{8}$

$tanx=\frac{sinx}{cosx}$

$tanx=\frac{\frac{5}{8}}{\frac{\sqrt{39}}{8}}$

$tanx=\frac{5}{\sqrt{39}}$

$tanx=\frac{5\sqrt{39}}{39}$

Ejercicio 6:

1. Construye un triángulo ABC en C tal que AC = 5 cm y $\widehat{BAC}=40^{\circ}$ .

2. Calcular la longitud BC (se dará un valor redondeado al milímetro más próximo).

Según el curso sen $\widehat{BAC}$ = $\frac{BC}{AC}$ es decir sen 40° = BC/AC entonces BC = AC x sen 40° = 5 sen (40) $\approx$ 3.2cm

3.a) ¿Dónde está el centro O del círculo circunscrito del triángulo ABC?

Como el triángulo es rectángulo, una propiedad del recorrido es que la hipotenusa es un diámetro de la circunferencia circunscrita del triángulo rectángulo(circunscrita significa que la circunferencia pasa por los tres vértices del triángulo).

Si [AC] es el diámetro, entonces O es el centro de [AC].

b) Dibuja este círculo.

4. Deduce la medida del ángulo $\widehat{BOC}$ .

OB = OA por lo que OAB es un triángulo isósceles $\widehat{OBA}$ =40° implica que $\widehat{AOB}$ = 180°-(2×40°) ya que la suma de los ángulos de un triángulo es siempre 180°. $\widehat{AOB}$ = 100° y puesto que los ángulos $\widehat{AOB}$ y $\widehat{BOC}$ son suplementarios (juntos forman un ángulo llano y su suma es por lo tanto 180°) tenemos $\widehat{BOC}$ = 180° -100° =80°.

Ejercicio 7:

¿Qué distancia OH se necesita para que la catedral aparezca completamente en el objetivo?
Tengo el lado opuesto y el ángulo $\widehat{O}\,$ .
Busco el lado adyacente al ángulo $\widehat{O}\,$ .
Fórmula: tangente
$Tan\widehat{O}=\frac{AH}{OH}\,$

$Tan\,42=\frac{140}{OH}\,$

$OH=\frac{140}{Tan\,42}\,$

$OH=155,5\,m$

Conclusión:

La distancia OH necesaria para que la catedral aparezca completamente en el objetivo debe ser superior a 155,5 metros.

Ejercicio 8:

a) El triángulo SAH es rectángulo en H.

Así que $\widehat{S}=90-45=45$ °

Por lo tanto el triángulo SAH es un triángulo rectángulo e isósceles en H.

BH=BA+AH=BA+HS=BA+x=40+x

b)AH=HS=x

c) En el triángulo BSH rectangular en H.

$tan(\widehat{SBH})=\frac{SH}{BH}$

$tan(\widehat{SBH})=\frac{x}{40+x}$

$(40+x)tan(\widehat{SBH})=x$

${\color{DarkRed},(40+x)tan(\widehat{25})=x}$

d) $(40+x)tan(\widehat{25})=x$

$40tan(\widehat{25})+xtan(\widehat{25})=x$

$40tan(\widehat{25})+xtan(\widehat{25})=x,\\x(tan(\widehat{25})-1)=-40tan(\widehat{25}),\\x=\frac{-40tan(\widehat{25})}{tan(\widehat{25})-1}$

${\color{DarkRed},x\simeq,35\,\,m}$

La altura del torreón es de unos 35 metros.

Ejercicio 9:

En el bloque de la derecha, EH=69 cm, EF=60 cm y EA=51 cm.
¿Cuál es la medida del ángulo DEA? (redondear a la unidad superior)

$tan\,\widehat{AED}=\frac{AD}{AE}$

$tan\,\widehat{AED}=\frac{69}{51}$

$\widehat{AED}=tan^{-1}(\frac{69}{51})$

$\widehat{AED}=54^{\circ}$

Ejercicio 10:

Ayuda a Lisa a realizar este cálculo con ayuda del siguiente diagrama:

Tenemos :

$tan\,40=\frac{BD}{BA}$ y $tan\,48=\frac{BD}{BC}$

utilizando estas dos igualdades

$BD=BA\times \,tan40=(BC+50)tan40$ y $BD=BC\times \,tan48$

Determinemos BC :

$(BC+50)tan40=BC\times \,tan48$

$BC\times \,tan40+50tan40=BC\times \,tan48$

$BC\times \,tan40-BC\times \,tan48=-50tan40$

$BC=\frac{-50tan40}{tan40-tan48}$

Determinemos BD :

$BD=BC\times \,tan48\\=\frac{-50tan40}{tan40-tan48}\times \,tan48\\\simeq\,171,62$

El arcángel San Miguel se eleva a 171,62 metros.

Ejercicio 11:
1. Construye un triángulo ABC de tamaño natural tal que AB = 7 cm; BC = 8 cm y AC = 5 cm.

2. [BC] siendo el lado cuya medida es la mayor, deberíamos tener si el triángulo fuera rectángulo en A :

BC² = AB² + AC²
o
8² $\not=$ 7² + 5²
Por lo tanto, el triángulo ABC no es rectángulo.

2- Cálculo del ángulo $\hat{BAC}$ : apliquemos la fórmula

8² = 7² + 5² – 2*5*7 cos $\hat{BAC}$

64 = 49 + 25 – 70 cos $\hat{BAC}$

64 – 49 – 25 = -70 cos $\hat{BAC}$

-10 =-70 cos $\hat{BAC}$

cos $\hat{BAC}$ = $\frac{1}{7}$

Utilizando la calculadora encontramos :

$\hat{BAC}\,=\,81.79^\circ$

Puede comprobar este resultado utilizando GEOGEBRA

Ejercicio 12:

1) En una pendiente del 15%, ¿qué ángulo forma la carretera con la horizontal?

En este triángulo rectángulo, observe $\widehat{A}$ el ángulo entre la carretera y la horizontal.

Conocemos el lado adyacente y opuesto del ángulo $\widehat{A}$ , por lo que la fórmula a utilizar es la tangente.

$tan\widehat{A}=\frac{30}{100}=0,3$

$\widehat{A}=tan^{-1}(0,3)\simeq\,17^{\circ}$

Conclusión: la carretera forma un ángulo de aproximadamente 17° con la horizontal.

2) Se considera un descenso peligroso en cuanto la pendiente es superior al 10% en carretera y superior al 4% en autopista.

¿A partir de qué ángulo entre la calzada y la horizontal se considera peligrosa una pendiente descendente en carretera?

$\widehat{A}=tan^{-1}(0,1)\simeq\,6^{\circ}$

$\widehat{B}=tan^{-1}(0,04)\simeq\,3^{\circ}$

Conclusión: una bajada en carretera es peligrosa en cuanto el ángulo es superior a 6° y superior a 3° para una autopista.

3)¿Es más peligroso circular por una carretera con una pendiente del 20% o por una autopista con un ángulo de 20 grados respecto a la horizontal? Justificar

$\widehat{A}=tan^{-1}(0,2)\simeq\,3^{\circ}\simeq\,12^{\circ}$

Conclusión: En una autopista la velocidad es mucho mayor, por lo que es más peligroso en una autopista.

Ejercicio 13:
1°) Tu triángulo debe tener este aspecto:

2°) Demostrar que el triángulo IJK es un triángulo rectángulo,
utilizaremos el recíproco del teorema de Pitágoras.
La demostración es la siguiente:

En el triángulo IJK, aplicamos el recíproco del teorema de Pitágoras, tenemos :

JK² = 8² = 64 E IJ² + IK ² = 4,8² + 6,4² = 23,04 + 40,96 = 64

Ahora JK² = IJ² + IK², por lo que el triángulo JIK es rectángulo en I.

3°) Ahora queremos saber la medida del ángulo $\widehat{IJK}\,$ .

Se utilizan tres posibilidades de resolución:

Ejercicio 14:

1°) Sabemos que la pared (AB) y el suelo son perpendiculares.
También sabemos que el muro mide 3,05 m y que la escala [AC] mide 3,20 m.

Para saber a qué distancia del pie de la pared debe colocarse la escalera
para que su vértice esté justo a nivel de la cesta, utilizaremos el teorema de Pitágoras.
Pero primero hacemos la conversión: AB = 3,05 m = 305 cm y CA 3,20 m = 320 cm.

En el triángulo ABC, acutángulo en B, aplicando el teorema de Pitágoras, tenemos :
CB²+AB²=CA²
CB²+305²=320²
CB²+93025=102400
CB²=102400-93025=9375
o CB>0 entonces $\fbox{CB=\sqrt{9375}\approx\,97\,cm}\,$

2°) El ángulo formado por la escalera y el suelo es, por tanto, el ángulo $\widehat{ACB}\,$ .

Tenemos las tres medidas de los tres lados del triángulo,
lo que nos da tres posibilidades.

Ejercicio 15:

1°) Tu triángulo debe tener este aspecto.

Los ángulos $\widehat{AHC}\,$ y $\widehat{AHB}\,$ forman dos ángulos rectos porque (AH) es la altura de [BC] desde el vértice A.
Ahora la altura es la recta que parte de un vértice y es perpendicular al lado opuesto.
También sabemos que BH = HC = BC/2 porque en un triángulo isósceles,
la altura desde el vértice principal biseca su base ya que también es una mediana.

2°) Cálculo de $\widehat{B}\,$

Se sabe que la tangente de un ángulo es igual al cociente del lado opuesto del mismo por el lado adyacente del mismo.
Así que..:

$Tan\widehat{B}\,=\frac{AH}{BH}=\frac{7}{8/2}=\frac{7}{4}\,$

Esto es $\widehat{B}\,=\,Tan^{-1}(\frac{7}{4})\approx\,60\,$ grados.

Ejercicio 16:
1°) Un rectángulo con su diagonal … ¡¡¡no necesita corrección!!!

2°) Cálculo de la medida del ángulo $\widehat{ACD}\,$ :
Se conocen los lados adyacente y opuesto de este ángulo,
lo que nos lleva a calcular la tangente de este ángulo.

$Tan\widehat{ACD}\,=\frac{AB}{BC}=\frac{7,2}{5,4}=\frac{4}{3}\,$

Esto es $\widehat{ACD}\,=\,Tan^{-1}(\frac{4}{3})\approx\,53\,$ grados.

3°) Demuestra que los ángulos $\widehat{ACD}\,$ y $\widehat{CAB}\,$ son iguales. 1. método (más sencillo) Las rectas (AB) y (DC) son paralelas y el segmento [AC] corta a $\widehat{BAD}\,$ y $\widehat{BCD}\,$ en dos ángulos cada uno.

Por lo tanto, podemos decir que estos dos ángulos son alternos internos y, por lo tanto, iguales.

2. método (para los adictos)
Calculamos [AC] con Pitágoras:

En el triángulo rectángulo ACB (o ADC, son lo mismo), aplicamos el teorema de Pitágoras:
AC²=AB²+BC²
AC²=7,2²+5,4²
AC²=51,84+29,16=81 o AC>0,por lo tanto

$AC=\sqrt{81}=9\,$ cm .

Ahora tenemos todas las medidas de los lados del rectángulo.

Así, si los ángulos $\widehat{ACD}\,$ y $\widehat{CAB}\,$ fueran iguales, el seno de uno sería igual al seno del otro e IDEM con los cosenos.

Comprobémoslo:

En efecto, los ángulos $\widehat{ACD}\,$ y $\widehat{CAB}\,$ son iguales.

Ejercicio 18:

Calcula, para cada figura, la medida del ángulo marcado

(redondear el resultado al grado más próximo).

1. En el triángulo rectángulo IAB, conozco el lado opuesto y adyacente al ángulo $\widehat{ABI}$ .

Fórmula: tangente.

$tan\widehat{ABI}=\frac{2,1}{2,8}$ así que .

2. En el triángulo rectángulo DCL, conozco la hipotenusa y el lado opuesto del ángulo $\widehat{DLC}$ .

Fórmula: seno.

$sin\,(\widehat{DLC})=sin(\frac{8}{9})$ así que .

3. En el triángulo rectángulo EFJ, conozco la hipotenusa y el lado opuesto del ángulo $\widehat{JEF}$ .

Fórmula: seno.

$sin\,(\widehat{JEF})=\frac{2,7}{4,2}$ así que .

3. En el triángulo rectángulo GHK, conozco el lado adyacente y opuesto al ángulo $\widehat{HKG}$ .

Fórmula: tangente.

$tan(\widehat{HKG})=\frac{4}{3}$ así que $\widehat{HKG}=tan^{-1}(\frac{4}{3})\simeq\,53^{\circ}$

Ejercicio 20:

1. Calcule la medida de $\widehat{IGH}$ .

En el triángulo rectángulo IGH, conozco el lado opuesto a $\widehat{IGH}$ y la hipotenusa.

Fórmula: seno.

$sin(\widehat{IGH})=\frac{3}{6}$ así que .

2. Deduce la medida del ángulo $\widehat{EGF}$ .

Los ángulos $\widehat{EGF}$ y $\widehat{IGH}$ son opuestos en el vértice, por lo que tienen la misma medida: $\widehat{EGF}=30$ °.

3. Calcula las longitudes EF y FG a la décima más próxima.

En el triángulo GEF acodado en E.

$cos(\widehat{EGF})=\frac{EG}{FG}$ y $tan(\widehat{EGF})=\frac{EF}{EG}$

$cos(30^{\circ})=\frac{3}{FG}$ y $tan(30^{\circ})=\frac{EF}{3}$

$FG=\frac{3}{cos\,30^{\circ}}\simeq\,3,5$ cm.

$EF=3tan(30^{\circ})\simeq\,1,7$ cm

Ejercicio 21:

Calcula la longitud OM redondeada al milímetro más próximo.

Calculemos PM :

En el triángulo rectángulo PAM, conozco el lado opuesto y el ángulo $\widehat{APM}=47^{\circ}$

y estoy buscando la hipotenusa.

Fórmula: seno

$sin(\widehat{APM})=\frac{4,6}{PM}$

$sin(47^{\circ})=\frac{4,6}{PM}$ así que

$PM=\frac{4,6}{sin(47^{\circ})}\simeq\,6,29\,cm$

Calculemos OM :

En el triángulo rectángulo POM, conozco la hipotenusa y el ángulo $\widehat{PMO}=23^{\circ}$

y busco el lado adyacente al ángulo $\widehat{PMO}$ .

Fórmula: coseno.

$cos(\widehat{PMO})=\frac{OM}{PM}$

$cos(23^{\circ})=\frac{OM}{6,29}$

$OM\simeq\,6,29\times \,cos(23^{\circ})\simeq\,5,8\,cm$

Ejercicio 22:

Damos BD = 4 cm , BA = 6 cm y $\widehat{DBC}=60^{\circ}$ .

1. Demuestra que BC= 8 cm.

En el triángulo rectángulo DCB,

$cos60^{\circ}=\frac{DB}{BC}$

$cos60^{\circ}=\frac{4}{BC}$

$BC=\frac{4}{cos60^{\circ}}$

${\color{DarkRed}\,BC=8\,cm}$

2. Calcula CD e indica el valor redondeado a la décima.

$tan60^{\circ}=\frac{CD}{DB}$

$tan60^{\circ}=\frac{CD}{4}$

$CD=4tan60^{\circ}$

${\color{DarkRed}\,CD\simeq\,6,9\,cm}$

3. Calcula la CA.

En el triángulo ABC, que es rectángulo en B según la parte directa del teorema de Pitágoras:

$AC=\sqrt{100}$

${\color{DarkRed}\,AC=10\,cm}$

4. ¿Cuál es el valor de $tan\widehat{BAC}$ ?

$tan\widehat{BAC}=\frac{BC}{BA}$

$tan\widehat{BAC}=\frac{8:2}{6:2}$

${\color{DarkRed}\,tan\widehat{BAC}=\frac{4}{3}}$

5. Deduce el valor, redondeado al grado más próximo, de $\widehat{BAC}$ .

$\widehat{BAC}=tan^{-1}(\frac{4}{3})$

${\color{DarkRed}\,\widehat{BAC}=53^{\circ}}$

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