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1er curso de matemáticas

Sommaire de cette fiche

1 I. Definición
2 II. Notaciones – Vocabulario
3 III. Varias formas de definir una secuencia
- 3.1 1. Suites definidas por una fórmula de función:
- 3.2 2. Suites definidas por una fórmula de recurrencia:
4 IV. Representaciones gráficas de secuencias
5 V. Secuencias monotónicas.
- 5.1 1. Dirección de variación de una secuencia.
6 VI. Secuencias limitadas, aumentadas y disminuidas.
7 VII. Secuencias periódicas.
8 VIII. Secuencias aritméticas.
9 IX. Secuencias geométricas.
10 X. Secuencias aritméticas y geométricas: resumen.
11 XI. Algunas observaciones interesantes.

Secuencias numéricas en 1ère donde veremos la definición de una secuencia y su sentido de variación.
En esta lección de primer curso estudiaremos dos familias de sucesiones, la aritmética y la geométrica, así como su sentido de variación según el valor de la razón, y terminaremos con el cálculo de la suma de los n primeros términos de una sucesión numérica.

I. Definición

Definición:

Una secuencia numérica (U_n) es una función de $\mathbb{N}$ en $\mathbb{R}$ : $n\,\mapsto \,U_n$ .

Su conjunto definitorio es, por tanto, $\mathbb{N}$ o un subconjunto de $\mathbb{N}$ .

II. Notaciones – Vocabulario

Notaciones y vocabulario de secuencias :

Siendo la variable n un entero natural, este entero n permite numerar las imágenes: además de la escritura funcional clásica s(n) utilizada para designar la imagen del entero natural n por la función s, también podemos utilizar la notación indexada:_sn. Con esta notación se escribe la imagen de 0: _s0.

– Con esta notación, decimos que :

s(n) =_sn es el término de índice n o rango n de la sucesión s.
s es la secuencia con término general_sn y escribimos: s =_(sn)
s(0) = _s0 que es la imagen de 0 por s también se denomina término de rango 0 de la sucesión s .
s(1) = _s1 que es la imagen de 1 por s también se denomina término de rango 1 de la sucesión s.

Si la numeración comienza en el rango 0, s(0) = _s0 es el primer término de la secuencia s . s(1) = _s1 es el segundo término de la sucesión s.

A veces, el primer término de una secuencia s no es _s0.

Por ejemplo:

$S_n=\frac{1}{n}$ no existe para n = 0. La secuencia comienza en el rango 1. Entonces escribiremos: para $n\in\,\mathbb{N}^*$ .

$t_n=\frac{1}{n(n-1)}$ no existe para n = 0, ni para n = 1. La suite comienza en la fila 2.

En todos estos casos, debe especificarse el subconjunto de $\mathbb{N}$ en el que se define la secuencia: Aquí tenemos: $n\in\mathbb{N}\setminus\,\,\{\,0;1\,\,\}$ .

III. Varias formas de definir una secuencia

1. Suites definidas por una fórmula de función:

Definición:

Esto suele hacerse restringiendo a $\mathbb{N}$ una función definida sobre $\mathbb{R}$ o un subconjunto de $\mathbb{R}$ que contenga $\mathbb{N}$ .

Por ejemplo, la secuencia_un = ⁿ² ( $n\in\mathbb{N}$ ), es la restricción a n de la función f definida en $\mathbb{R}$ por f(x) = ^x2.

Así, las propiedades ya estudiadas para las funciones de la variable real pueden utilizarse para las sucesiones.

Sin embargo, también estudiaremos algunos ejemplos de sucesiones asociadas a funciones que aún no has estudiado en^1º; por ejemplo, la sucesión geométrica_un = ²ⁿ está asociada a la función exponencial definida en $\mathbb{R}$ por f(x) =^2x que se estudiará en el último año del curso.

2. Suites definidas por una fórmula de recurrencia:

Para cualquier número natural n, la imagen s(n) =_sn es «numerable».

Definición:

El término $s(n+1)\,=\,s_{n+1}$ de rango (n+1) puede definirse en términos del término anterior $s(n)\,=\,s_n$ de rango n mediante una fórmula denominada fórmula de recurrencia.

Más concretamente, la secuencia s =_(sn) se definirá por recurrencia como

Su primer mandato $s(0)\,=\,s_0$ .
– Una igualdad que conecta dos términos consecutivos cualesquiera de la secuencia:
$s_{n+1\,}\,=\,f(s_n\,)$ donde es una función conocida.

Por ejemplo:

La secuencia definida por su primer término _u0 = 4096 y la fórmula de recurrencia verificada para cualquier número entero n: $U_{n+1}=\sqrt{U_n}$ .

Obtenemos: _u1 = $\sqrt{U_0}$ = $\sqrt{4096}$ = 64

_u2 = $\sqrt{U_1}$ = $\sqrt{64}$ = 8

_u3 = $\sqrt{U_2}$ = $\sqrt{8}$

_u4 = $\sqrt{U_3}$ = $\sqrt{\,\sqrt{8}}$ $\simeq\,1,68$

_u5 = $\sqrt{U_4}$ $\simeq\,1,3$ …. y así sucesivamente…

Aquí la función f está definida por $f(x)=\sqrt{x}$ .

IV. Representaciones gráficas de secuencias

Definición:

Cuando la sucesión está definida por una igualdad funcional del tipo

, se puede utilizar la representación tradicional de gráficas de funciones: Obtenemos entonces los puntos con abscisas enteras de la gráfica de la función de variable real x: $x\,\mapsto \,f(x)$ .

Por ejemplo:

El gráfico de la suite definido en $\mathbb{N}^*$ por: $S_n=\frac{1}{n}$ corresponde a los puntos de abscisa $x\in\mathbb{N}^*$ de la función definida en $\mathbb{R}^*$ por $f(x)=\frac{1}{x}$ .

Cuando la secuencia está definida por una fórmula de recurrencia del tipo $U_{n+1}=f(U_n)$ , esta representación ya no es directamente factible.

Se utiliza entonces una representación de tipo «tela de araña».

Por ejemplo:

En la gráfica anterior se dibujan las rectas con ecuaciones $y=\frac{1}{2}x+1$ e y = x.

Este dispositivo permite visualizar los términos sucesivos de la secuencia definida en $\mathbb{N}$ por :

_u0 = 10 y , para todo $n\in\mathbb{N}$ : $U_{n+1}=\frac{1}{2}U_n+1$

En efecto: $U_{1}=\frac{1}{2}U_0+1=\frac{1}{2}\,\times \,10+1=5+1=6$

$U_{2}=\frac{1}{2}U_1+1=\frac{1}{2}\,\times \,6+1=3+1=4$

$U_{3}=\frac{1}{2}U_2+1=\frac{1}{2}\,\times \,4+1=2+1=3$

V. Secuencias monotónicas.

1. Dirección de variación de una secuencia.

Si para todo $n\in\mathbb{N}$ , tenemos:	$U_n\leq\,\,U_{n+1}$	$U_n=\,U_{n+1}$	$U_n\,\geq\,\,U_{n+1}$
Dirección del cambio de	creciente	constante	disminuyendo
Cambio absoluto	$U_{n+1}-U_n\,\geq\,\,0$	$U_{n+1}-U_n\,=\,0$	$U_{n+1}-U_n\,\leq\,\,0$
Cociente (términos estrictamente positivos)	$\frac{U_{n+1}}{U_n\,}\,\geq\,\,1$	$\frac{U_{n+1}}{U_n\,}\,=\,1$	$\frac{U_{n+1}}{U_n\,}\,\leq\,\,1$

VI. Secuencias limitadas, aumentadas y disminuidas.

Las mismas definiciones que para las funciones de la variable real.

Por ejemplo:

La sucesión_sn = sen n es una sucesión acotada. Efectivamente: aumenta en 1 y disminuye en (-1).

VII. Secuencias periódicas.

Definición:

Se dice que una secuencia (U_n) es periódica con período $p\in\mathbb{N}$ , cuando, para todo $n\in\mathbb{N}$ , tenemos: $U_{n+p}=U_n$ donde p es el menor número natural distinto de cero que verifica esto.

Por ejemplo:

Las secuencias constantes son periódicas con período 1.

La secuencia $U_{n}=(-1)^n$ es periódica de período 2.

VIII. Secuencias aritméticas.

Definición:

Cuando se pasa de cualquier término de una secuencia al término siguiente sumando (o restando) siempre el mismo número, se dice que la secuencia es aritmética.

Es decir, si existe $r\in\mathbb{Z}$ , tal que, para cualquier $n\in\mathbb{N}$ , tenemos :

$S_{n+1}=S_n+r$ Decimos entonces que la secuencia $S_{n}$ es aritmética con una razón r.

Los incrementos de una sucesión aritmética son, por tanto, constantes: esta constante es la razón r de la sucesión aritmética.

Ejemplos:

La sucesión de números naturales es aritmética con primer término 0 y razón 1.
La sucesión de números naturales pares es aritmética con primer término 0 y razón 2.
La sucesión de números naturales impares es aritmética con primer término 1 y razón 2.
La sucesión constante con término general_Un = 2 es aritmética con primer término 2 y razón 0.

IX. Secuencias geométricas.

Definición:

Cuando pasamos de un término cualquiera de una sucesión al término siguiente, multiplicando (o dividiendo) siempre por el mismo número distinto de cero, decimos que la sucesión es geométrica.

Es decir, si existe $q\in\mathbb{R}^*$ , tal que, para cualquier $n\in\mathbb{N}$ , tenemos :

$S_{n+1}=q\times \,S_n$ Se dice entonces que la secuencia $(S_{n}\,)$ es geométrica con razón $q\neq0$ .

Los coeficientes multiplicadores de una sucesión geométrica son, por tanto, constantes: esta constante es la razón q de la sucesión geométrica.

Las tasas de incremento de una secuencia geométrica también son constantes. En efecto:

$\frac{S_{n+1}-S_n}{S_n}=\frac{S_n\times \,q-S_n}{S_n}=\frac{(q-1)S_n}{S_n}=q-1$ .

La sucesión geométrica de razón q tiene, por tanto, una tasa de incremento constante t = q – 1.

Por ejemplo:

La sucesión constante con término general_Un = 2 es geométrica con primer término 2 y razón 1.

La sucesión con término general_Un = (-1⁾ⁿ es geométrica con primer término _U0 = 1 y razón -1.

Nota:

Una sucesión $(S_{n}\,)$ cuyas variaciones absolutas sucesivas_Sn+1 –_Sn = r son constantes, es decir, independientes de n, es una sucesión aritmética de razón r.
Una sucesión $(S_{n}\,)$ cuyas variaciones relativas sucesivas $\frac{S_{n+1}-S_n}{S_n}=t$ son constantes, es decir, independientes de n, es una sucesión geométrica de razón q = 1 + t.

Por ejemplo, con un aumento relativo de t = 5% = 0,05 , entonces, q = 1,05 .

En efecto, si $\frac{S_{n+1}-S_n}{S_n}=$ 0,05 , entonces :_Sn+1 –_Sn = 0,05_Sn.

Por lo tanto :_Sn+1 =_Sn + 0,05_Sn = (1 + 0,05)_Sn.

Esto da:_Sn+1 = 1,05_Sn.

Por tanto, tenemos una secuencia geométrica de razón q = 1,05.

Y en el caso general, si $\frac{S_{n+1}-S_n}{S_n}=t$ , entonces: $S_{n+1}\,-\,S_n\,=\,t\,S_n$ .

Así que: $S_{n+1\,}=\,S_n\,+\,t\,S_n\,=\,(1\,+\,t)\,S_n$ .

Tenemos por tanto una secuencia geométrica de razón .

X. Secuencias aritméticas y geométricas: resumen.

S es una secuencia y n es cualquier número natural:

	Secuencia aritmética de razón r	Secuencia geométrica de razón q ¹ 0
fórmula de repetición	$S_{n+1\,}=\,S_n\,+\,r$	$S_{n+1}\,=\,q\,S_n$
caracterizaciones	$S_{n+1\,}-\,S_n\,=\,r$ (constante)	si $S_{0}\,\neq0$ , $\frac{S-{n+1}}{S_n}=q$ (constante)
término de rango n: fórmula de función	^1er término + n veces la razón $S_n\,=\,S_0\,+\,n\,r$ $S_n\,=\,S_1\,+\,(n-1)\,r$	^1er término $\times$ razón exponente n $S_n\,=\,S_0\,\times \,q^n$ $S_n\,=\,S_1\times \,q^{n-1}$

XI. Algunas observaciones interesantes.

1. Secuencias aritméticas.

Definición:

La secuencia definida por la fórmula: (función afín de ) es la secuencia aritmética con primer término U_0=b y razón .

2. Secuencias geométricas.

Definición:

La sucesión de potencias de un número real distinto de cero a, de término general $U_n\,=\,a^n$ es

la sucesión geométrica con primer término $U_0\,=\,1$ y razón .

La representación gráfica de una sucesión geométrica de razón distinta de 1 está formada, por tanto, por puntos que no están alineados (se sitúan en una curva exponencial).

3. Ilustraciones gráficas.

4. Secuencias aritméticas y sentido de la variación.

Propiedad :

_(un) es una secuencia aritmética de razón r.

Si r > 0, entonces_(un) es estrictamente creciente.
Si r < 0, entonces_(un) es estrictamente decreciente.
Si r = 0, entonces_(un) es constante.

5. Secuencias geométricas y sentido de la variación.

Propiedad :

_(un) es una sucesión geométrica con razón $q\,\neq\,0$ y primer término $u_0\,\neq\,0$ .

Si q < 0, entonces_(un) no es monótona (los términos son alternativamente positivos y luego negativos).
Si q > 1 y si _u0 > 0 , entonces_(un) es estrictamente creciente.
Si q > 1 y si _u0 < 0 , entonces_(un) es estrictamente decreciente.
Si 0 < q < 1 y si _u0 > 0 , entonces_(un) es estrictamente decreciente.
Si 0 < q < 1 y si _u0 < 0 , entonces_(un) es estrictamente creciente.
Si q = 1, entonces_(un) es constante.

6 Secuencias aritméticas y suma de términos consecutivos.

Propiedad :

Si (U_n) es una secuencia aritmética de razón r, entonces para todo $n\in\mathbb{N}$ , tenemos :

$U_0+U_1+U_2+....+U_n=(n+1)\frac{U_0+U_n}{2}$ igualdad que también se escribe: $\sum_{k=0}^{k=n}U_k=(n+1)\,\frac{U_0+U_n}{2}$ .

Para utilizar esta fórmula, puede ser útil ver que: $(n+1)\,\frac{U_0+U_n}{2}=(n+1)\,(U_0+\frac{nr}{2}\,\,)$ .

En particular:

$1+2+3+4+....+n=\frac{n(n+1)}{2}$

7. Secuencias geométricas y suma de términos consecutivos.

Propiedad :

Si (U_n) es una secuencia geométrica de razón $q\neq\,1$ , entonces para todo $n\in\mathbb{N}$ , tenemos :

$U_0+U_1+U_2+...+U_n=\frac{U_{n+1}-U_0}{q-1}$ igualdad que también se escribe :

$\sum_{k=0}^{k=n}U_k=\frac{U_{n+1}-U_0}{q-1}$ .

Para utilizar esta fórmula, puede ser útil ver que :

$\frac{U_{n+1}-U_0}{q-1}=U_0\,(\,\frac{q^{n+1}-1}{q-1}\,\,)$ .

En concreto: $1+q+q^2+q^3+....+q^n=\frac{q^{n+1}-1}{q-1}$ .

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