Dérivée : définition, propriété et exemple

Sommaire

Au programme de 1ère

Définition

La dérivée d’une fonction \(f\) est la fonction \(f’\) qui, à chaque nombre \(x\), associe le nombre dérivé de \(f\) en \(x\).

Notation : \(f’\) ou \(\dfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\).

En clair

C’est la fonction « pente » : elle dit, en chaque point, si la courbe monte, descend, et à quelle vitesse.

\(f’ > 0\) sur un intervalle signifie que \(f\) y est croissante ; \(f’ < 0\) qu'elle y est décroissante.
Dérivées usuelles : \((x^n)’ = nx^{n-1}\), \((\dfrac1x)’ = -\dfrac{1}{x^2}\), \((\sqrt x)’ = \dfrac{1}{2\sqrt x}\), \((e^x)’ = e^x\), \((\ln x)’ = \dfrac1x\).
Opérations : \((u+v)’ = u’+v’\), \((uv)’ = u’v + uv’\), \((\dfrac uv)’ = \dfrac{u’v – uv’}{v^2}\).
\((e^u)’ = u’e^u\) et \((\ln u)’ = \dfrac{u’}{u}\).
C’est l’outil central de l’étude des variations et de l’optimisation.

\(f(x) = x^3 – 3x + 2\) : \(f'(x) = 3x^2 – 3 = 3(x-1)(x+1)\). La fonction croît, décroît puis croît à nouveau.

À déterminer les variations d’une fonction, ses extremums, et l’équation de ses tangentes.

\(n x^{n-1}\).

\((\dfrac{u}{v})’ = \dfrac{u’v – uv’}{v^2}\), avec \(v\) qui ne s’annule pas.

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