Au programme de Terminale
Propriété
Les croissances comparées sont les résultats qui indiquent laquelle, de l’exponentielle, de la puissance ou du logarithme, l’emporte lorsque \(x\) tend vers l’infini.
En clair
Elles disent qui « gagne » dans une forme indéterminée : l’exponentielle bat les puissances, qui battent le logarithme.
Ce qu’il faut retenir
- \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \dfrac{e^x}{x^n} = +\infty\) : l’exponentielle l’emporte sur toute puissance.
- \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \dfrac{\ln x}{x^n} = 0\) : toute puissance l’emporte sur le logarithme.
- \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty} x^n e^x = 0\).
- \(\displaystyle\lim_{x\to 0^+} x\ln x = 0\).
- Elles servent à lever les formes indéterminées mêlant exponentielle, logarithme et polynômes.
Exemple
\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \dfrac{x^3}{e^x} = 0\) : même élevé au cube, \(x\) ne rattrape pas l’exponentielle.
À ne pas confondre avec
- Limite d'une fonction — les croissances comparées sont un outil pour calculer certaines limites.
Réviser cette notion sur Mathovore
- Synthèse de coursFonction logarithme népérien
- Synthèse de coursLimites de fonctions et asymptotes
- Cours completLa fonction logarithme népérien : cours de maths en terminale en PDF
- Exercices corrigésLogarithme népérien : corrigé des exercices de maths en terminale en PDF
- QCM en ligneLa fonction logarithme népérien : QCM de maths en terminale avec exercices
Termes liés
Limite d'une fonction
Fonction exponentielle
Logarithme népérien
Asymptote
Aire sous la courbe
Continuité
Convexité
Équation différentielle
Intégrale
Questions fréquentes sur « croissances comparées »
Qui l’emporte entre \(e^x\) et \(x^n\) ?
L’exponentielle, toujours, quelle que soit la puissance \(n\).
