Contrôle de maths L3 : convergence monotone et lemme de Fatou

Exercice 1 : Question de cours, le lemme de Fatou (4 points)

Calculatrice interdite. Documents interdits. Durée : 1 heure 30. Le théorème de convergence dominée ne doit pas être utilisé dans ce sujet.

Dans tout le sujet, \((X, \mathcal{A}, \mu)\) désigne un espace mesuré, et \(\lambda\) la mesure de Lebesgue.

1. Énoncez le théorème de convergence monotone de Beppo Levi pour une suite de fonctions mesurables positives. (1 point)
2. Soit \((f_n)\) une suite de fonctions mesurables de \(X\) dans \([0, +\infty]\). En posant \(g_n = \inf_{k \geq\, n} f_k\), démontrez le lemme de Fatou :
   \[\int_X \liminf_{n \to +\infty} f_n \,\mathrm{d}\mu \leq\, \liminf_{n \to +\infty} \int_X f_n \,\mathrm{d}\mu.\]
   (3 points)

Exercice 2 : Deux limites par convergence monotone (4 points)

1. Pour \(n \geq\, 1\) et \(x \geq\, 0\), on pose \(f_n(x) = (1 + \dfrac{x}{n})^{n} e^{-2x} \mathbf{1}_{[0, n]}(x)\). Montrez que, pour \(x \geq\, 0\) fixé, la fonction \(u \mapsto u \ln(1 + \frac{x}{u})\) est croissante sur \(]0, +\infty[\). Déduisez-en la limite de \(\displaystyle\int_{0}^{+\infty} f_n(x) \,\mathrm{d}x\). (2 points)
2. Pour \(n \geq\, 1\) et \(x > 0\), on pose \(h_n(x) = \dfrac{1 – e^{-n x^2}}{x^2}\). Montrez que \(0 \leq\, h_n(x) \leq\, \min(n, \frac{1}{x^2})\), puis que \(J_n = \displaystyle\int_{0}^{+\infty} h_n(x) \,\mathrm{d}x\) est fini. Déterminez la limite de \(J_n\). (2 points)

Exercice 3 : Intégration terme à terme et somme des inverses des carrés (6 points)

On admet que \(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}\).

1. Montrez que, pour tout \(x > 0\), \(\dfrac{x}{e^{x} – 1} = \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} x e^{-n x}\). (1 point)
2. Calculez, pour \(n \geq\, 1\), \(\displaystyle\int_{0}^{+\infty} x e^{-n x} \,\mathrm{d}x\). (1 point)
3. Justifiez l’intégration terme à terme et calculez \(\displaystyle\int_{0}^{+\infty} \frac{x}{e^{x} – 1} \,\mathrm{d}x\). (2 points)
4. Par la même méthode, calculez \(\displaystyle\int_{0}^{1} \frac{-\ln x}{1 – x} \,\mathrm{d}x\). (2 points)

Exercice 4 : Problème, masse perdue et fonctions presque partout finies (6 points)

Pour \(n \geq\, 1\), on considère les fonctions \(u_n = n \mathbf{1}_{]0, 1/n]}\) sur \([0, 1]\) et \(v_n = \mathbf{1}_{[n, n+1]}\) sur \(\mathbb{R}\). La figure représente \(u_1\), \(u_2\) et \(u_4\).

1. Déterminez la limite simple des suites \((u_n)\) et \((v_n)\), puis comparez \(\int \liminf u_n\) et \(\liminf \int u_n\), et de même pour \((v_n)\). Décrivez en une phrase les deux façons dont la masse se perd. (1,5 point)
2. Soit \((f_n)\) une suite de fonctions mesurables positives sur \(X\) qui converge \(\mu\)-presque partout vers une fonction mesurable \(f : X \to [0, +\infty]\), avec \(\int_X f_n \,\mathrm{d}\mu \leq\, C\) pour tout \(n\). Montrez que \(\int_X f \,\mathrm{d}\mu \leq\, C\) et que \(f\) est finie presque partout. (1,5 point)
3. Soit \((A_n)\) une suite d’éléments de \(\mathcal{A}\) telle que \(\sum_n \mu(A_n) < +\infty\). En étudiant \(S = \sum_n \mathbf{1}_{A_n}\), montrez que presque tout point de \(X\) n’appartient qu’à un nombre fini des \(A_n\) (lemme de Borel-Cantelli). (1,5 point)
4. Soit \((r_n)_{n \geq\, 1}\) une énumération de \(\mathbb{Q} \cap [0, 1]\). Calculez \(\int_{0}^{1} |x – r|^{-1/2} \,\mathrm{d}x\) pour \(r \in [0, 1]\) et majorez ce nombre par \(2\sqrt{2}\). Montrez que la série \(\sum_{n \geq\, 1} \dfrac{1}{n^2 \sqrt{|x – r_n|}}\) converge pour \(\lambda\)-presque tout \(x \in [0, 1]\). (1,5 point)

Réviser avant le contrôle : convergence monotone et lemme de Fatou

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Intégrale de Lebesgue » en L3 puis entraînez-vous avec les exercices corrigés intégrale de lebesgue.

Retrouvez tous les contrôles de maths de L3 classés par chapitre, ou choisissez un autre niveau sur la page contrôles de maths du CP au post-bac.

Autres contrôles de maths de L3 sur ce thème

• Contrôle de maths L3 : convergence dominée et intégrales à paramètre
• Contrôle de maths L3 : partiel final : intégration et probabilités