Convergence dominée : cours de maths spé en PDF.

Posons \(f_n(x) = n^2 x\, e^{-nx}\) sur \([0, +\infty[\). Pour \(x > 0\), les croissances comparées donnent \(f_n(x) \to 0\), et \(f_n(0) = 0\). La limite simple est donc la fonction nulle. En revanche, une intégration par parties donne \(\int_0^{+\infty} x\,e^{-nx}\,\mathrm{d}x = \dfrac{1}{n^2}\), donc \(\int_0^{+\infty} f_n = 1\) pour tout \(n\). Ainsi la limite des intégrales vaut \(1\), alors que l’intégrale de la limite vaut \(0\).

Théorème de convergence dominée. Soit \((f_n)\) une suite de fonctions continues par morceaux de \(I\) dans \(\mathbb{K}\). On suppose que :

• la suite \((f_n)\) converge simplement sur \(I\) vers une fonction \(f\) continue par morceaux sur \(I\) ;
• il existe une fonction \(\varphi : I \to \mathbb{R}_+\), continue par morceaux et intégrable sur \(I\), telle que \[\forall n \in \mathbb{N},\ \forall x \in I, \quad |f_n(x)| \leq\, \varphi(x).\]

Alors les fonctions \(f_n\) et \(f\) sont intégrables sur \(I\) et \[\lim_{n \to +\infty} \int_I f_n = \int_I f.\]

La fonction \(\varphi\) ne dépend pas de \(n\). C’est tout l’intérêt : une majoration \(|f_n| \leq\, \varphi_n\) avec \(\varphi_n\) intégrable ne suffit pas. Par ailleurs, l’intégrabilité de \(f\) est une conclusion : en passant à la limite dans \(|f_n| \leq\, \varphi\), on obtient \(|f| \leq\, \varphi\). Enfin, la domination peut n’être vérifiée qu’à partir d’un certain rang \(n_0\), puisque les premiers termes ne changent pas la limite.

La continuité par morceaux de la limite \(f\) fait partie des hypothèses du programme. En pratique, elle se vérifie à vue : \(f\) est souvent continue, ou continue sauf en un point. Il faut quand même la mentionner dans une copie.

D’abord, chaque \(f_n\) est continue sur \([0, +\infty[\). Ensuite, fixons \(x \geq\, 0\). Pour \(n > x\), on a \(f_n(x) = \exp\big(n \ln(1 – x/n)\big)\). Or \(n\ln(1 – x/n) \to -x\), donc \(f_n(x) \to e^{-x}\). De plus, l’inégalité de concavité \(\ln(1+u) \leq\, u\) donne \(\ln(1 – x/n) \leq\, -x/n\). Par conséquent, \(0 \leq\, f_n(x) \leq\, e^{-x}\) pour tout \(x \geq\, 0\). Ainsi \(|f_n(x)\cos x| \leq\, e^{-x}\), et \(x \mapsto e^{-x}\) est intégrable sur \([0, +\infty[\). Le théorème de convergence dominée donne donc \[\lim_{n \to +\infty} \int_0^{n} (1 – \frac{x}{n})^n \cos x \,\mathrm{d}x = \int_0^{+\infty} e^{-x} \cos x \,\mathrm{d}x = \frac{1}{2}.\]

Pour trouver une fonction dominante :

• faire disparaître \(n\) avec une inégalité uniforme : \(|\sin u| \leq\, |u|\), \(\ln(1+u) \leq\, u\), \((1+u/n)^n \leq\, e^u\), \(|\cos| \leq\, 1\), \(\arctan u \leq\, \pi/2\) ;
• découper \(I\) en morceaux : sur \([0,1]\), \(x^n \leq\, 1\) ; sur \([1, +\infty[\), \(x^n \geq\, x^2\) dès que \(n \geq\, 2\) ;
• utiliser la monotonie en \(n\) : si \(|f_n|\) décroît avec \(n\), la fonction \(|f_{n_0}|\) domine toutes les suivantes ;
• effectuer un changement de variable qui fait sortir \(n\) des bornes ou d’un facteur, avant de dominer.

Sur \([0,1]\), on a simplement \(0 \leq\, f_n(x) \leq\, 1\). Sur \(]1, +\infty[\), on a \(x^n \geq\, x\), donc \(f_n(x) \leq\, e^{-x}\). La fonction \(\varphi\), égale à \(1\) sur \([0,1]\) et à \(e^{-x}\) au-delà, est continue par morceaux et intégrable. Par convergence dominée, \[\lim_{n \to +\infty} \int_0^{+\infty} e^{-x^n}\,\mathrm{d}x = \int_0^{1} 1 \,\mathrm{d}x = 1.\]

Si aucune domination n’existe, il faut changer d’outil. Pour la suite \(f_n(x) = n^2 x\, e^{-nx}\), on peut montrer que \(\sup_n f_n(x) \geq\, \dfrac{1}{4ex}\) sur \(]0,1]\). Ce supremum n’est pas intégrable en \(0\) : aucune dominante intégrable n’existe, ce qui est cohérent avec l’échec de l’interversion.

Soit \(J\) un intervalle de \(\mathbb{R}\) et \(a\) une borne de \(J\), éventuellement infinie. Soit \((f_\lambda)_{\lambda \in J}\) une famille de fonctions continues par morceaux de \(I\) dans \(\mathbb{K}\). On suppose que :

• pour tout \(x \in I\), \(f_\lambda(x) \to f(x)\) quand \(\lambda \to a\), où \(f\) est continue par morceaux sur \(I\) ;
• il existe \(\varphi\) continue par morceaux, positive et intégrable sur \(I\), telle que \(|f_\lambda(x)| \leq\, \varphi(x)\) pour tous \(\lambda \in J\) et \(x \in I\).

Alors \(f\) est intégrable sur \(I\) et \(\displaystyle \int_I f_\lambda \xrightarrow[\lambda \to a]{ \int_I f\).

Soit \((\lambda_n)\) une suite d’éléments de \(J\) qui tend vers \(a\). Posons \(g_n = f_{\lambda_n}\). Alors \(g_n\) converge simplement vers \(f\) sur \(I\), et \(|g_n| \leq\, \varphi\) pour tout \(n\). Le théorème de convergence dominée donne \(\int_I g_n \to \int_I f\). Ainsi, pour toute suite \(\lambda_n \to a\), on a \(\int_I f_{\lambda_n} \to \int_I f\). Par la caractérisation séquentielle de la limite, \(\int_I f_\lambda \to \int_I f\) quand \(\lambda \to a\).

Posons \(F(\lambda) = \int_0^{+\infty} \arctan(\lambda x)\, e^{-x}\,\mathrm{d}x\) pour \(\lambda > 0\). Pour \(x > 0\), \(\arctan(\lambda x) \to \pi/2\) quand \(\lambda \to +\infty\) ; en \(x = 0\), la valeur reste \(0\), mais un point isolé ne gêne pas la continuité par morceaux de la limite. De plus, \(|\arctan(\lambda x)\, e^{-x}| \leq\, \frac{\pi}{2} e^{-x}\), fonction intégrable indépendante de \(\lambda\). Par conséquent, \(F(\lambda) \to \frac{\pi}{2}\int_0^{+\infty} e^{-x}\,\mathrm{d}x = \frac{\pi}{2}\).

Intégration terme à terme positive. Soit \((f_n)\) une suite de fonctions continues par morceaux, positives et intégrables sur \(I\). On suppose que \(\sum f_n\) converge simplement sur \(I\) et que sa somme \(S\) est continue par morceaux. Alors, dans \([0, +\infty]\), \[\int_I S = \sum_{n=0}^{+\infty} \int_I f_n.\] En particulier, \(S\) est intégrable sur \(I\) si et seulement si la série \(\sum \int_I f_n\) converge.

Calculons \(\int_0^{+\infty} \frac{x}{e^x – 1}\,\mathrm{d}x\). Pour \(x > 0\), on a \(0 < e^{-x} < 1\), donc \[\frac{x}{e^x – 1} = \frac{x\,e^{-x}}{1 – e^{-x}} = \sum_{n=1}^{+\infty} x\, e^{-nx}.\] Les fonctions \(f_n(x) = x\,e^{-nx}\) sont continues, positives et intégrables sur \(]0, +\infty[\), avec \(\int_0^{+\infty} f_n = \frac{1}{n^2}\). La somme est continue. Le théorème donne donc \[\int_0^{+\infty} \frac{x}{e^x – 1}\,\mathrm{d}x = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}.\]

Théorème d’intégration terme à terme. Soit \((f_n)\) une suite de fonctions continues par morceaux et intégrables sur \(I\), à valeurs dans \(\mathbb{K}\). On suppose que :

• la série \(\sum f_n\) converge simplement sur \(I\) et sa somme \(S\) est continue par morceaux sur \(I\) ;
• la série numérique \(\displaystyle\sum_{n} \int_I |f_n|\) converge.

Alors \(S\) est intégrable sur \(I\), la série \(\sum \int_I f_n\) converge et \[\int_I \sum_{n=0}^{+\infty} f_n = \sum_{n=0}^{+\infty} \int_I f_n.\]

Calculons \(\int_0^1 \frac{\ln x}{1+x}\,\mathrm{d}x\). Pour \(x \in \,]0,1[\), on a \(\frac{\ln x}{1+x} = \sum_{n \geq\, 0} (-1)^n x^n \ln x\). Posons \(f_n(x) = (-1)^n x^n \ln x\). Une intégration par parties donne \(\int_0^1 |f_n| = \int_0^1 x^n (-\ln x)\,\mathrm{d}x = \frac{1}{(n+1)^2}\). Cette série converge. Le théorème s’applique : \[\int_0^1 \frac{\ln x}{1+x}\,\mathrm{d}x = -\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{(n+1)^2} = -\frac{\pi^2}{12}.\]

Pour intervertir série et intégrale :

• écrire l’intégrande comme somme d’une série, souvent géométrique ou exponentielle, en précisant sur quel ensemble l’égalité est valable ;
• si tous les \(f_n\) sont positifs, appliquer le théorème positif : aucune autre vérification n’est requise ;
• sinon, calculer ou majorer \(\int_I |f_n|\) et prouver la convergence de \(\sum \int_I |f_n|\) ;
• enfin, calculer \(\int_I f_n\) et reconnaître la somme obtenue.

Soit \((u_{n,k})_{(n,k) \in \mathbb{N}^2}\) une famille complexe. Si \(\sum_n \sum_k |u_{n,k}| < +\infty\), alors la famille est sommable et \[\sum_{n=0}^{+\infty} \sum_{k=0}^{+\infty} u_{n,k} = \sum_{k=0}^{+\infty} \sum_{n=0}^{+\infty} u_{n,k}.\] De même, si \(\sum_n \int_I |f_n| < +\infty\), les symboles \(\int\) et \(\sum\) s’échangent.

Sans hypothèse de module, l’interversion échoue dans les deux cadres. Posons \(u_{n,n} = 1\), \(u_{n,n+1} = -1\) et \(u_{n,k} = 0\) sinon. Chaque ligne a pour somme \(0\), donc \(\sum_n \sum_k u_{n,k} = 0\). En revanche, la colonne \(k = 0\) a pour somme \(1\) et les autres colonnes ont pour somme \(0\) : \(\sum_k \sum_n u_{n,k} = 1\). Du côté des intégrales, les fonctions \(f_n(x) = n\,e^{-nx} – (n+1)\,e^{-(n+1)x}\) produisent le même phénomène : chaque \(\int_0^{+\infty} f_n\) est nulle, alors que \(\sum f_n = e^{-x}\) sur \(]0, +\infty[\).

Montrons que \(\sum_{n \geq\, 0} \frac{(-1)^n}{2n+1} = \frac{\pi}{4}\). Pour \(x \in [0,1[\), posons \(S_N(x) = \sum_{n=0}^{N} (-1)^n x^{2n} = \dfrac{1 – (-x^2)^{N+1}}{1 + x^2}\). D’abord, \(S_N(x) \to \frac{1}{1+x^2}\) car \(x^2 < 1\). Ensuite, \(|S_N(x)| \leq\, \frac{2}{1+x^2} \leq\, 2\), fonction intégrable sur \([0,1[\). Par convergence dominée, \[\sum_{n=0}^{N} \frac{(-1)^n}{2n+1} = \int_0^1 S_N(x)\,\mathrm{d}x \xrightarrow[N \to +\infty]{ \int_0^1 \frac{\mathrm{d}x}{1+x^2} = \frac{\pi}{4}.\] Ici, le théorème d’intégration terme à terme échoue : \(\sum \int_0^1 x^{2n}\,\mathrm{d}x = \sum \frac{1}{2n+1}\) diverge.

Face à une interversion, posez-vous les questions dans cet ordre :

• s’agit-il d’une limite de suite ou d’une limite en un paramètre réel ? Alors, convergence dominée, éventuellement avec la caractérisation séquentielle ;
• s’agit-il d’une série de fonctions positives ? Alors, intégration terme à terme positive ;
• la série \(\sum \int_I |f_n|\) converge-t-elle ? Alors, théorème d’intégration terme à terme ;
• sinon, par exemple pour une série alternée, convergence dominée sur les sommes partielles, en majorant \(|S_N|\) indépendamment de \(N\).

Sur un segment, la convergence uniforme reste un outil valable. Cependant, elle n’est pas nécessaire : une suite bornée uniformément par une constante \(M\) est dominée par \(\varphi = M\), intégrable sur un segment. La convergence dominée est donc souvent plus rapide, même sur \([a,b]\).