Familles sommables : exercices de maths sup corrigés en PDF.

Exercice 1 : Calculs dans [0, +∞]

Toutes les sommes de cet exercice sont calculées dans \([0, +\infty]\).

1. Déterminer, dans \([0, +\infty]\), la borne supérieure de \(A = \big\{ 1 – \frac{1}{n} : n \in \mathbb{N}^* \big\}\), puis celle de \(\mathbb{N}\).
2. Calculer \(\sum_{n \in \mathbb{Z}} 3^{-|n|}\).
3. Pour \(j \in \mathbb{N}\), on pose \(I_j = \{ n \in \mathbb{N}^* : 2^j \leq\, n < 2^{j+1} \}\). Montrer que \(\sum_{n \in I_j} \frac{1}{n} \geq\, \frac{1}{2}\). En déduire, par sommation par paquets, que \(\sum_{n \in \mathbb{N}^*} \frac{1}{n} = +\infty\).
4. On pose \(u_r = 1\) pour tout \(r \in \mathbb{Q} \cap [0, 1]\). Calculer \(\sum_{r \in \mathbb{Q} \cap [0,1]} u_r\).

Exercice 2 : Famille géométrique double

1. Montrer que la famille \(\big( \frac{1}{2^p 3^q} \big)_{(p,q) \in \mathbb{N}^2}\) est sommable et calculer sa somme.
2. On pose \(v_{p,q} = 2^{-(p+q)}\) pour \((p, q) \in \mathbb{N}^2\). Calculer \(\sum_{(p,q) \in \mathbb{N}^2} v_{p,q}\) par le théorème de Fubini positif.
3. Calculer de nouveau cette somme en regroupant les couples selon la valeur de \(p + q\). En déduire \(\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n+1}{2^n}\).
4. En découpant \(\mathbb{N}^2\) en trois paquets (\(p < q\), \(p = q\), \(p > q\)) et en utilisant la symétrie, calculer \(\sum_{p < q} 2^{-(p+q)}\).

Exercice 3 : Permutation des termes

1. Soit \(\sigma\) une bijection de \(\mathbb{N}\) dans \(\mathbb{N}\). Calculer \(\sum_{n=0}^{+\infty} 2^{-\sigma(n)}\).
2. Montrer que la famille \(\big( \frac{(-1)^n}{n+1} \big)_{n \in \mathbb{N}}\) n’est pas sommable, bien que la série \(\sum \frac{(-1)^n}{n+1}\) converge.
3. Montrer que la famille \(\big( \frac{(-1)^{m-1}}{m^2} \big)_{m \in \mathbb{N}^*}\) est sommable. On admet que \(\sum_{m=1}^{+\infty} \frac{1}{m^2} = \frac{\pi^2}{6}\). Calculer \(\sum_{m \text{ pair}} \frac{1}{m^2}\), puis \(\sum_{m=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{m-1}}{m^2}\) par une sommation par paquets selon la parité.

Exercice 4 : Sommabilité par un calcul positif

Pour chacune des familles suivantes, indexées par \(\mathbb{N}^2\), dire si elle est sommable et, si oui, calculer sa somme. On admet que \(\sum_{m=1}^{+\infty} \frac{1}{m^2} = \frac{\pi^2}{6}\).

1. \(u_{p,q} = \frac{1}{(p+1)(q+1)^2}\).
2. \(v_{p,q} = \frac{1}{(p+q+1)^2}\).
3. \(w_{p,q} = \frac{1}{(p+q+1)^3}\).

Exercice 5 : Familles de Riemann doubles

Les familles sont indexées par \((\mathbb{N}^*)^2\), et \(\alpha, \beta\) sont des réels strictement positifs.

1. Montrer que \(\big( \frac{1}{(p+q)^\alpha} \big)\) est sommable si et seulement si \(\alpha > 2\).
2. Montrer que \(\frac{(p+q)^2}{2} \leq\, p^2 + q^2 \leq\, (p+q)^2\) pour tous \(p, q \geq\, 1\). En déduire que \(\big( \frac{1}{(p^2+q^2)^\beta} \big)\) est sommable si et seulement si \(\beta > 1\).
3. Montrer que \(\big( \frac{1}{\max(p,q)^\alpha} \big)\) est sommable si et seulement si \(\alpha > 2\).

Exercice 6 : Familles produits

1. Soit \(a, b\) deux réels strictement positifs. Montrer que \(\big( \frac{1}{p^a q^b} \big)_{(p,q) \in (\mathbb{N}^*)^2}\) est sommable si et seulement si \(a > 1\) et \(b > 1\).
2. Soit \(x, y\) deux complexes. On pose \(u_{p,q} = x^p y^q\) pour \((p, q) \in \mathbb{N}^2\). Montrer que si \(|x| < 1\) et \(|y| < 1\), la famille est sommable, et calculer sa somme.
3. Montrer que si \(|x| \geq\, 1\), la famille \((x^p y^q)\) n’est pas sommable, quel que soit \(y\) (on convient que \(0^0 = 1\)).

Exercice 7 : Sommes des ζ(n) − 1

Pour tout entier \(n \geq\, 2\), on pose \(\zeta(n) = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k^n}\).

1. Montrer que \(\sum_{n=2}^{+\infty} \big( \zeta(n) – 1 \big) = 1\).
2. Montrer que \(\sum_{n=1}^{+\infty} \big( \zeta(2n) – 1 \big) = \frac{3}{4}\).
3. Justifier que la famille \(\big( (-1)^n k^{-n} \big)_{n \geq\, 2, k \geq\, 2}\) est sommable, puis calculer \(\sum_{n=2}^{+\infty} (-1)^n \big( \zeta(n) – 1 \big)\).

Exercice 8 : Écrire un entier comme une somme

Soit \(x\) un nombre complexe tel que \(|x| < 1\).

1. Pour \((n, k) \in (\mathbb{N}^*)^2\), on pose \(u_{n,k} = x^n\) si \(k \leq\, n\) et \(u_{n,k} = 0\) sinon. Montrer que la famille est sommable, puis en déduire \(\sum_{n=1}^{+\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2}\).
2. En écrivant \(\frac{n(n+1)}{2} = \sum_{k=1}^{n} k\), montrer de même que \(\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n(n+1)}{2} x^n = \frac{x}{(1-x)^3}\).
3. En déduire \(\sum_{n=1}^{+\infty} n^2 x^n\), puis la valeur de \(\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n^2}{2^n}\).

Exercice 9 : Un contre-exemple au théorème de Fubini

On définit \((a_{p,q})_{(p,q) \in \mathbb{N}^2}\) par \(a_{p,p} = 1\), \(a_{p,p+1} = -1\) et \(a_{p,q} = 0\) dans tous les autres cas. La figure ci-dessous donne les premières valeurs.

1. Calculer \(\sum_{p=0}^{+\infty} \Big( \sum_{q=0}^{+\infty} a_{p,q} \Big)\).
2. Calculer \(\sum_{q=0}^{+\infty} \Big( \sum_{p=0}^{+\infty} a_{p,q} \Big)\).
3. Calculer \(\sum_{(p,q) \in \mathbb{N}^2} |a_{p,q}|\) et expliquer pourquoi ce résultat ne contredit pas le théorème de Fubini.

Exercice 10 : Noyau de Poisson

Soit \(r \in [0, 1[\) et \(\theta \in \mathbb{R}\). On considère la famille \(\big( r^{|n|} e^{in\theta} \big)_{n \in \mathbb{Z}}\).

1. Montrer que cette famille est sommable et calculer la somme de ses modules.
2. On note \(P_r(\theta)\) sa somme. Montrer que \(P_r(\theta) = \dfrac{1 – r^2}{1 – 2r\cos\theta + r^2}\).
3. En déduire que \(1 + 2 \sum_{n=1}^{+\infty} r^n \cos(n\theta) = \dfrac{1 – r^2}{1 – 2r\cos\theta + r^2}\).
4. Montrer que \(P_r(\theta) > 0\) et déterminer le maximum et le minimum de \(P_r\) sur \(\mathbb{R}\).

Exercice 11 : Paquets et factorielles

1. Montrer que la famille \(\big( \frac{1}{(p+q+1)!} \big)_{(p,q) \in \mathbb{N}^2}\) est sommable et que sa somme vaut \(e\).
2. Calculer \(\sum_{(p,q) \in \mathbb{N}^2} \frac{p}{(p+q+1)!}\) de deux façons : par paquets \(p + q = n\), puis par un argument de symétrie.
3. En sommant la famille \(\big( \frac{1}{p!\,q!} \big)_{(p,q) \in \mathbb{N}^2}\) de deux façons, montrer que \(\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{2^n}{n!} = e^2\).

On utilisera \(\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!} = e\).

Exercice 12 : Somme des restes d’une série

Soit \((a_k)_{k \geq\, 1}\) une suite de réels positifs. Pour \(n \in \mathbb{N}\), on pose \(R_n = \sum_{k=n+1}^{+\infty} a_k \in [0, +\infty]\). La figure représente les couples \((n, k)\) avec \(k > n\).

1. En considérant la famille \((a_k)_{(n,k) \in D}\) indexée par \(D = \{ (n, k) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}^* : k > n \}\), montrer que \(\sum_{n=0}^{+\infty} R_n = \sum_{k=1}^{+\infty} k a_k\) dans \([0, +\infty]\).
2. Vérifier ce résultat pour \(a_k = 2^{-k}\) en calculant \(R_n\).
3. Traiter de même le cas \(a_k = \frac{1}{k(k+1)}\).
4. On suppose maintenant les \(a_k\) complexes, avec \(\sum k |a_k| < +\infty\). Montrer que les \(R_n\) sont bien définis et que l’égalité de la question 1 reste vraie.

Exercice 13 : Produit de Cauchy de séries géométriques

Soit \(x\) et \(y\) deux complexes de module strictement inférieur à \(1\).

1. On suppose \(x \neq y\). Calculer le terme général \(c_n\) du produit de Cauchy des séries \(\sum x^n\) et \(\sum y^n\), puis en déduire \(\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^{n+1} – y^{n+1}}{x – y}\).
2. Traiter le cas \(x = y\) et retrouver \(\sum_{n=0}^{+\infty} (n+1) x^n\).
3. Par un nouveau produit de Cauchy, montrer que \(\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(n+1)(n+2)}{2} x^n = \frac{1}{(1-x)^3}\).
4. Application numérique : calculer \(\sum_{n=0}^{+\infty} 6 \Big( \frac{1}{2^{n+1}} – \frac{1}{3^{n+1}} \Big)\) de deux façons.

Exercice 14 : Produit de Cauchy et exponentielle

1. Pour \(n \in \mathbb{N}\), on pose \(s_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}\). Montrer que pour tout complexe \(x\) avec \(|x| < 1\), \(\sum_{n=0}^{+\infty} s_n x^n = \frac{\exp(x)}{1 – x}\).
2. Calculer le produit de Cauchy de la série \(\sum \frac{1}{n!}\) par elle-même et retrouver \(\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{2^n}{n!} = e^2\).
3. Calculer le produit de Cauchy de \(\sum \frac{1}{n!}\) et de \(\sum \frac{(-1)^n}{n!}\). Quelle égalité retrouve-t-on ?

Exercice 15 : Produit de Cauchy de deux séries semi-convergentes

Pour \(n \in \mathbb{N}\), on pose \(a_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}\).

1. Montrer que la série \(\sum a_n\) converge, mais pas absolument.
2. On note \(\sum c_n\) le produit de Cauchy de \(\sum a_n\) par elle-même. Montrer que \(c_n = (-1)^n \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{\sqrt{(k+1)(n-k+1)}}\).
3. Montrer que \((k+1)(n-k+1) \leq\, \big( \frac{n+2}{2} \big)^2\) pour \(0 \leq\, k \leq\, n\). En déduire \(|c_n| \geq\, 1\).
4. Conclure sur la nature de \(\sum c_n\). Quelle hypothèse du théorème du produit de Cauchy est en défaut ?

Exercice 16 : Séries de Dirichlet et diviseurs

Pour \(s > 1\), on pose \(\zeta(s) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^s}\). Pour \(n \in \mathbb{N}^*\), on note \(d(n)\) le nombre de diviseurs positifs de \(n\) et \(\sigma(n)\) leur somme. La figure montre les couples \((p, q)\) tels que \(pq = 6\) et \(pq = 12\).

1. Montrer que la famille \(\big( \frac{1}{(pq)^s} \big)_{(p,q) \in (\mathbb{N}^*)^2}\) est sommable, de somme \(\zeta(s)^2\).
2. Pour \(n \geq\, 1\), on pose \(P_n = \{ (p, q) \in (\mathbb{N}^*)^2 : pq = n \}\). Montrer que les \(P_n\) forment une partition de \((\mathbb{N}^*)^2\) et que \(P_n\) a \(d(n)\) éléments. En déduire \(\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{d(n)}{n^s} = \zeta(s)^2\).
3. On suppose \(s > 2\). Montrer que \(\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\sigma(n)}{n^s} = \zeta(s)\,\zeta(s-1)\).

Exercice 17 : Séries de Lambert

Soit \(x\) un complexe tel que \(|x| < 1\). On reprend les notations \(d(n)\) et \(\sigma(n)\) de l’exercice précédent.

1. Montrer que la famille \(\big( x^{km} \big)_{(k,m) \in (\mathbb{N}^*)^2}\) est sommable.
2. En déduire que \(\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{x^k}{1 – x^k} = \sum_{n=1}^{+\infty} d(n)\, x^n\).
3. Montrer de même que \(\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{k\, x^k}{1 – x^k} = \sum_{n=1}^{+\infty} \sigma(n)\, x^n\).
4. Vérifier la question 2 en calculant, dans le membre de gauche, le coefficient de \(x^4\).

Exercice 18 : Problème : l’exponentielle complexe

On admet que pour tout réel \(x\), \(\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^n}{n!} = e^x\) et que \(\big( 1 + \frac{x}{n} \big)^n \to e^x\) quand \(n \to +\infty\).

Partie A : morphisme.

1. Montrer que pour tout \(z \in \mathbb{C}\), la série \(\sum \frac{z^n}{n!}\) converge absolument. On note \(\exp(z)\) sa somme.
2. Montrer que \(\exp(a + b) = \exp(a) \exp(b)\) pour tous \(a, b \in \mathbb{C}\).
3. En déduire que \(\exp(z) \neq 0\), que \(\exp(-z) = \frac{1}{\exp(z)}\), et que \(\exp(nz) = \exp(z)^n\) pour tout \(n \in \mathbb{Z}\).

Partie B : module.

1. Montrer que \(\overline{\exp(z)} = \exp(\overline{z})\).
2. En déduire que \(|\exp(z)| = e^{\mathrm{Re}(z)}\), et que \(|\exp(i\theta)| = 1\) pour tout réel \(\theta\).

Partie C : une autre expression de l’exponentielle. Pour \(n \geq\, 1\) et \(k \in \mathbb{N}\), on pose \(\alpha_{n,k} = \binom\,{n}{k} \frac{1}{n^k}\) si \(k \leq\, n\), et \(\alpha_{n,k} = 0\) si \(k > n\).

1. Montrer que \(\alpha_{n,k} = \frac{1}{k!} \prod_{j=0}^{k-1} \big( 1 – \frac{j}{n} \big)\) pour \(k \leq\, n\), puis que \(0 \leq\, \alpha_{n,k} \leq\, \frac{1}{k!}\).
2. Montrer que pour tout \(z \in \mathbb{C}\), \(\big| \exp(z) – \big( 1 + \frac{z}{n} \big)^n \big| \leq\, e^{|z|} – \big( 1 + \frac{|z|}{n} \big)^n\).
3. En déduire que \(\big( 1 + \frac{z}{n} \big)^n \to \exp(z)\) pour tout \(z \in \mathbb{C}\). En admettant que \(\exp(i\theta) = \cos\theta + i \sin\theta\) pour \(\theta\) réel, déterminer la limite de \(\big( 1 + \frac{i\pi}{n} \big)^n\).

Le corrigé des exercices

Chaque exercice est corrigé en détail, question par question, sur la page suivante.

Pour aller plus loin en maths sup

• Le cours : familles sommables, cours de maths sup
• À maîtriser avant : Séries numériques
• Chapitre précédent : Séries numériques
• Chapitre suivant : Dénombrement
• Tester vos connaissances : QCM de maths sup par chapitre
• Le sommaire : tous les chapitres de maths sup et les chapitres de maths spé