Familles sommables : cours de maths sup en PDF.

On note \([0, +\infty] = [0, +\infty[ \cup \{+\infty\}\), muni de l’ordre prolongeant celui de \(\mathbb{R}_+\) avec \(x \leq\, +\infty\) pour tout \(x\). On y pose, pour tout \(x \in [0, +\infty]\) :

\[ x + (+\infty) = (+\infty) + x = +\infty, \qquad x \times (+\infty) = +\infty \text{ si } x > 0, \qquad 0 \times (+\infty) = 0. \]

Toute partie \(A\) de \([0, +\infty]\) possède une borne supérieure dans \([0, +\infty]\). Elle vaut \(+\infty\) si \(A\) contient \(+\infty\) ou si \(A \cap \mathbb{R}\) n’est pas majorée. Sinon, c’est la borne supérieure réelle usuelle (avec \(\sup \emptyset = 0\)).

La soustraction n’est pas définie dans \([0, +\infty]\) : l’expression \(+\infty – (+\infty)\) n’a pas de sens. Par conséquent, on ne simplifie jamais une égalité \(a + c = b + c\) sans vérifier que \(c\) est fini.

Pour la suite \(u_n = 1/n\) avec \(n \geq\, 1\), les sommes partielles croissent vers \(+\infty\). Dans \([0, +\infty]\), on écrit donc simplement \(\sum_{n \geq\, 1} \frac{1}{n} = +\infty\), sans parler de série divergente.

Soit \((u_i)_{i \in I}\) une famille d’éléments de \([0, +\infty]\). Sa somme est

\[ \sum_{i \in I} u_i = \sup \Big\{ \sum_{i \in F} u_i \ : \ F \subset I, \ F \text{ fini} \Big\} \in [0, +\infty]. \]

La famille est dite sommable lorsque cette somme est finie.

Si \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) est une suite de \([0, +\infty[\), alors \(\sum_{n \in \mathbb{N}} u_n = \lim_{N \to +\infty} \sum_{n=0}^{N} u_n\), limite prise dans \([0, +\infty]\). Autrement dit, la famille est sommable si et seulement si la série \(\sum u_n\) converge, et les deux sommes coïncident.

Notons \(S\) la somme de la famille et \(S_N = \sum_{n=0}^{N} u_n\). D’abord, \(S_N\) est une somme finie, donc \(S_N \leq\, S\) ; par passage à la limite, \(\lim S_N \leq\, S\). Ensuite, soit \(F\) une partie finie de \(\mathbb{N}\) et \(N = \max F\). Comme les termes sont positifs, \(\sum_{n \in F} u_n \leq\, S_N \leq\, \lim S_N\). En passant à la borne supérieure sur \(F\), on obtient \(S \leq\, \lim S_N\).

Soit \((u_i)_{i \in I}\) une famille de \([0, +\infty]\) et \(\sigma : J \to I\) une bijection. Alors \(\sum_{j \in J} u_{\sigma(j)} = \sum_{i \in I} u_i\).

L’application \(G \mapsto \sigma(G)\) est une bijection entre les parties finies de \(J\) et celles de \(I\). De plus, \(\sum_{j \in G} u_{\sigma(j)} = \sum_{i \in \sigma(G)} u_i\) pour toute partie finie \(G\). Les deux ensembles de sommes finies sont donc égaux, et leurs bornes supérieures aussi.

La famille \(\big(2^{-|n|}\big)_{n \in \mathbb{Z}}\) se somme en regroupant \(n = 0\), les \(n > 0\) et les \(n < 0\). On obtient \(1 + 2 \sum_{n \geq\, 1} 2^{-n} = 1 + 2 = 3\). Cette famille est donc sommable, de somme \(3\).

Soit \((u_i)_{i \in I}\) une famille de \([0, +\infty]\) et \((I_n)_{n \in \mathbb{N}}\) une partition de \(I\) (parties deux à deux disjointes de réunion \(I\), éventuellement vides). Alors

\[ \sum_{i \in I} u_i = \sum_{n=0}^{+\infty} \Big( \sum_{i \in I_n} u_i \Big) \quad \text{dans } [0, +\infty]. \]

Notons \(S\) le membre de gauche et \(T\) celui de droite. Soit \(F\) une partie finie de \(I\). Elle ne rencontre qu’un nombre fini de paquets, disons \(I_0, \ldots, I_N\). Ainsi \(\sum_{F} u_i = \sum_{n=0}^{N} \sum_{F \cap I_n} u_i \leq\, T\), d’où \(S \leq\, T\). Réciproquement, supposons \(S\) fini et fixons \(N\) et \(\varepsilon > 0\). Pour chaque \(n \leq\, N\), on choisit \(F_n \subset I_n\) finie avec \(\sum_{F_n} u_i \geq\, \sum_{I_n} u_i – \varepsilon/(N+1)\). La réunion \(F\) des \(F_n\) est finie, donc \(\sum_{n=0}^{N} \sum_{I_n} u_i \leq\, \sum_{F} u_i + \varepsilon \leq\, S + \varepsilon\). Enfin, on fait tendre \(\varepsilon\) vers \(0\) puis \(N\) vers \(+\infty\) : \(T \leq\, S\). Si \(S = +\infty\), l’inégalité est évidente.

Sommons \(u_{p,q} = 2^{-(p+q)}\) par diagonales. Le paquet \(I_n\) contient \(n + 1\) termes égaux à \(2^{-n}\). Donc \(\sum_{\mathbb{N}^2} u_{p,q} = \sum_{n \geq\, 0} (n+1) 2^{-n}\). Or \(\sum_{n \geq\, 0} (n+1) x^n = \frac{1}{(1-x)^2}\) pour \(|x| < 1\), comme on le verra dans la partie V. Ainsi la somme vaut \(\frac{1}{(1 – 1/2)^2} = 4\).

(Fubini positif) Pour toute famille \((u_{p,q})_{(p,q) \in \mathbb{N}^2}\) de \([0, +\infty]\),

\[ \sum_{(p,q) \in \mathbb{N}^2} u_{p,q} = \sum_{p=0}^{+\infty} \Big( \sum_{q=0}^{+\infty} u_{p,q} \Big) = \sum_{q=0}^{+\infty} \Big( \sum_{p=0}^{+\infty} u_{p,q} \Big). \]

Pour justifier qu’une famille est sommable, on calcule la somme de ses modules par un calcul positif : on choisit des paquets commodes (lignes, colonnes, diagonales), on somme chaque paquet puis on somme les résultats. Tous les calculs se font dans \([0, +\infty]\), donc aucune hypothèse n’est à vérifier. La famille est sommable si et seulement si le résultat est fini.

La famille \(\big(\frac{1}{(p+q)^2}\big)_{(p,q) \in (\mathbb{N}^*)^2}\) n’est pas sommable. En effet, le paquet \(p + q = n\) (avec \(n \geq\, 2\)) contient \(n – 1\) couples. Sa somme vaut \(\frac{n-1}{n^2}\), équivalent à \(\frac{1}{n}\). Par conséquent, la série des paquets diverge et la somme totale vaut \(+\infty\).

Une famille \((u_i)_{i \in I}\) de nombres complexes est sommable si \(\sum_{i \in I} |u_i| < +\infty\). On note \(\ell^1(I)\) l’ensemble de ces familles.

Si \(u\) est réelle, on pose \(u_i^+ = \max(u_i, 0)\) et \(u_i^- = \max(-u_i, 0)\). Comme \(0 \leq\, u_i^{\pm} \leq\, |u_i|\), ces deux familles sont sommables et l’on définit \(\sum u_i = \sum u_i^+ – \sum u_i^-\). Si \(u\) est complexe, on pose \(\sum u_i = \sum \mathrm{Re}(u_i) + i \sum \mathrm{Im}(u_i)\).

Une suite \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) est sommable si et seulement si la série \(\sum u_n\) est absolument convergente. Dans ce cas, la somme de la famille est égale à la somme de la série.

La série \(\sum \frac{(-1)^n}{n+1}\) converge vers \(\ln 2\), mais la famille correspondante n’est pas sommable, car \(\sum \frac{1}{n+1} = +\infty\). C’est cohérent : on sait que réordonner une série semi-convergente peut changer sa somme. La sommabilité est donc exactement ce qu’il faut pour sommer « en vrac ».

Soit \(u\) et \(v\) deux familles sommables indexées par \(I\), et \(\lambda, \mu \in \mathbb{C}\).

• Linéarité : \(\lambda u + \mu v\) est sommable et \(\sum (\lambda u_i + \mu v_i) = \lambda \sum u_i + \mu \sum v_i\).
• Inégalité triangulaire : \(\big| \sum u_i \big| \leq\, \sum |u_i|\).
• Comparaison : si \(w\) est une famille complexe avec \(|w_i| \leq\, |u_i|\) pour tout \(i\), alors \(w\) est sommable.

(Sommation par paquets) Soit \((u_i)_{i \in I}\) une famille sommable de complexes et \((I_n)_{n \in \mathbb{N}}\) une partition de \(I\). Alors chaque sous-famille \((u_i)_{i \in I_n}\) est sommable, la série \(\sum_n \big( \sum_{i \in I_n} u_i \big)\) est absolument convergente, et

\[ \sum_{i \in I} u_i = \sum_{n=0}^{+\infty} \Big( \sum_{i \in I_n} u_i \Big). \]

(Fubini) Si \((u_{p,q})_{(p,q) \in \mathbb{N}^2}\) est sommable, alors les deux sommes itérées existent et sont égales à la somme de la famille :

\[ \sum_{(p,q) \in \mathbb{N}^2} u_{p,q} = \sum_{p=0}^{+\infty} \sum_{q=0}^{+\infty} u_{p,q} = \sum_{q=0}^{+\infty} \sum_{p=0}^{+\infty} u_{p,q}. \]

Considérons \(u_{p,q} = \frac{(-1)^{p+q}}{2^p 3^q}\) pour \((p, q) \in \mathbb{N}^2\). D’abord, la somme des modules vaut \(\sum_p 2^{-p} \sum_q 3^{-q} = 2 \times \frac{3}{2} = 3\) par Fubini positif. La famille est donc sommable. Ensuite, à \(p\) fixé, \(\sum_q u_{p,q} = \big(-\frac{1}{2}\big)^p \cdot \frac{1}{1 + 1/3} = \frac{3}{4} \big(-\frac{1}{2}\big)^p\). Enfin, en sommant sur \(p\), on obtient \(\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{1 + 1/2} = \frac{1}{2}\). Ainsi, la somme de la famille vaut \(\frac{1}{2}\).

L’hypothèse de sommabilité est indispensable. Pour \(a_{p,p} = 1\), \(a_{p,p+1} = -1\) et \(a_{p,q} = 0\) sinon, sommer d’abord en \(q\) donne \(0\) pour chaque \(p\), donc un total nul. En revanche, sommer d’abord en \(p\) donne \(1\) pour \(q = 0\) et \(0\) sinon, donc un total égal à \(1\). La famille n’est pas sommable, puisqu’elle contient une infinité de termes de module \(1\).

Pour intervertir deux sommes \(\sum_p \sum_q u_{p,q}\) de signe quelconque, on procède en deux temps. D’abord, on montre que \(\sum_p \sum_q |u_{p,q}| < +\infty\) par Fubini positif : c’est la sommabilité. Ensuite, on applique Fubini à la famille elle-même et on calcule la somme dans l’ordre le plus simple.

Pour \(|x| < 1\), considérons \(u_{n,k} = x^n\) si \(1 \leq\, k \leq\, n\), et \(0\) sinon. D’abord, \(\sum_{n} \sum_{k} |u_{n,k}| = \sum_{n \geq\, 1} n |x|^n < +\infty\) : la famille est sommable. Ensuite, sommer d’abord en \(n\) donne \(\sum_{n \geq\, k} x^n = \frac{x^k}{1-x}\). Donc

\[ \sum_{n=1}^{+\infty} n x^n = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{x^k}{1-x} = \frac{x}{(1-x)^2}. \]

Soit \((a_i)_{i \in I}\) et \((b_j)_{j \in J}\) deux familles sommables. Alors la famille \((a_i b_j)_{(i,j) \in I \times J}\) est sommable et

\[ \sum_{(i,j) \in I \times J} a_i b_j = \Big( \sum_{i \in I} a_i \Big) \Big( \sum_{j \in J} b_j \Big). \]

Par Fubini positif, \(\sum_{(i,j)} |a_i b_j| = \sum_{i} |a_i| \sum_{j} |b_j| = \big(\sum_i |a_i|\big)\big(\sum_j |b_j|\big) < +\infty\). La famille produit est donc sommable. Ensuite, Fubini s’applique : \(\sum_{(i,j)} a_i b_j = \sum_i a_i \big(\sum_j b_j\big)\), par linéarité de la somme intérieure. Enfin, la linéarité de la somme extérieure donne le produit annoncé.

Le produit de Cauchy des séries \(\sum a_n\) et \(\sum b_n\) est la série \(\sum c_n\) de terme général

\[ c_n = \sum_{k=0}^{n} a_k b_{n-k} = \sum_{k + \ell = n} a_k b_\ell. \]

Si les séries \(\sum a_n\) et \(\sum b_n\) sont absolument convergentes, alors leur produit de Cauchy \(\sum c_n\) est absolument convergent et

\[ \sum_{n=0}^{+\infty} c_n = \Big( \sum_{n=0}^{+\infty} a_n \Big) \Big( \sum_{n=0}^{+\infty} b_n \Big). \]

D’après le théorème précédent, la famille \((a_k b_\ell)_{(k,\ell) \in \mathbb{N}^2}\) est sommable, de somme \(\big(\sum a_k\big)\big(\sum b_\ell\big)\). On la somme par paquets avec les diagonales \(I_n = \{(k, \ell) : k + \ell = n\}\). La somme du paquet \(I_n\) vaut exactement \(c_n\). De plus, \(|c_n| \leq\, \sum_{k + \ell = n} |a_k b_\ell|\) et la série de ces majorants converge, ce qui donne l’absolue convergence.

Pour \(|x| < 1\), le carré de Cauchy de \(\sum x^n\) a pour terme \(c_n = \sum_{k=0}^{n} x^k x^{n-k} = (n+1) x^n\). Par conséquent, \(\sum_{n \geq\, 0} (n+1) x^n = \frac{1}{(1-x)^2}\).

Sans absolue convergence, le théorème tombe en défaut. Par exemple, pour \(a_n = b_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}\), les deux séries convergent par le critère des séries alternées. Pourtant, \(|c_n| \geq\, 1\) pour tout \(n\), donc \(\sum c_n\) diverge grossièrement.

Pour tous \(a, b \in \mathbb{C}\), \(\exp(a + b) = \exp(a) \exp(b)\).

Les deux séries \(\sum \frac{a^n}{n!}\) et \(\sum \frac{b^n}{n!}\) sont absolument convergentes. Leur produit de Cauchy a pour terme général

\[ c_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{a^k}{k!} \frac{b^{n-k}}{(n-k)!} = \frac{1}{n!} \sum_{k=0}^{n} \binom\,{n}{k} a^k b^{n-k} = \frac{(a+b)^n}{n!}, \]

d’après la formule du binôme. Le théorème du produit de Cauchy donne donc \(\exp(a)\exp(b) = \sum_{n} \frac{(a+b)^n}{n!} = \exp(a+b)\).

Pour calculer un produit de Cauchy, on écrit \(c_n = \sum_{k=0}^{n} a_k b_{n-k}\) et on cherche une formule close : formule du binôme lorsque des factorielles apparaissent, somme géométrique lorsque les termes sont des puissances. Puis on vérifie l’absolue convergence des deux séries avant de conclure \(\sum c_n = \big(\sum a_n\big)\big(\sum b_n\big)\).

Pour \(x \neq y\) avec \(|x| < 1\) et \(|y| < 1\), le produit de Cauchy de \(\sum x^n\) et \(\sum y^n\) a pour terme \(c_n = \sum_{k=0}^{n} x^k y^{n-k} = \frac{x^{n+1} – y^{n+1}}{x – y}\). On en déduit \(\sum_{n \geq\, 0} \frac{x^{n+1} – y^{n+1}}{x – y} = \frac{1}{(1-x)(1-y)}\).