Séries numériques : exercices de maths sup corrigés en PDF.

Exercice 1 : Sommes partielles et séries télescopiques

Justifiez la convergence de chacune des séries suivantes et calculez sa somme.

1. \(\displaystyle\sum_{n \geq\, 1} \frac{1}{n(n+1)}\).
2. \(\displaystyle\sum_{n \geq\, 1} \frac{1}{n(n+1)(n+2)}\). On pourra écrire \(\frac{2}{n(n+1)(n+2)} = \frac{1}{n(n+1)} – \frac{1}{(n+1)(n+2)}\).
3. \(\displaystyle\sum_{n \geq\, 2} \ln(1 – \frac{1}{n^2})\).

Exercice 2 : Divergence grossière

1. Montrez que les séries \(\sum \cos\frac{1}{n}\), \(\sum n \sin\frac{1}{n}\) et \(\sum (1 + \frac{1}{n})^n\) divergent grossièrement.
2. La série \(\sum (-1)^n\) converge-t-elle ?
3. Montrez que, pour tout \(x > -1\), \(\ln(1+x) \leq\, x\).
4. Calculez \(\sum_{k=1}^{n} \ln(1 + \frac{1}{k})\). Déduisez-en que la série harmonique \(\sum \frac{1}{n}\) diverge, bien que son terme général tende vers \(0\).

Exercice 3 : Séries géométriques et série exponentielle

Justifiez la convergence et calculez la somme des séries suivantes.

1. \(\displaystyle\sum_{n \geq\, 0} \frac{2^n + (-1)^n}{3^n}\).
2. \(\displaystyle\sum_{n \geq\, 2} \frac{1}{3^n}\), puis le reste \(R_n = \sum_{k=n+1}^{+\infty} \frac{1}{3^k}\).
3. \(\displaystyle\sum_{n \geq\, 0} \frac{(-2)^n}{n!}\).
4. \(\displaystyle\sum_{n \geq\, 0} \frac{n+1}{n!}\).

Exercice 4 : Comparaison avec les séries de Riemann

Déterminez la nature des séries de termes généraux suivants.

1. \(u_n = \dfrac{1}{n^2 + n + 1}\).
2. \(u_n = \dfrac{\sqrt{n}}{n^2 + 1}\).
3. \(u_n = \dfrac{n+1}{n^2 + 3}\).
4. \(u_n = \dfrac{1}{\sqrt{n(n+1)}}\), pour \(n \geq\, 1\).
5. \(u_n = \sin\dfrac{1}{n^2}\), pour \(n \geq\, 1\).

Exercice 5 : Nature par équivalents

Déterminez la nature des séries de termes généraux suivants, définis pour \(n \geq\, 1\).

1. \(u_n = 1 – \cos\dfrac{1}{n}\).
2. \(u_n = e^{1/n} – 1\).
3. \(u_n = \dfrac{1}{n} \tan\dfrac{1}{n}\).
4. \(u_n = n^{1/n} – 1\).
5. \(u_n = \sqrt{n+1} – \sqrt{n}\). Retrouvez le résultat en calculant les sommes partielles.

Exercice 6 : Comparaison à une série de Riemann par domination

Déterminez la nature des séries suivantes, en comparant \(u_n\) à \(\frac{1}{n^{\alpha}}\) pour un \(\alpha\) bien choisi.

1. \(\displaystyle\sum_{n \geq\, 1} \frac{\ln n}{n^2}\).
2. \(\displaystyle\sum_{n \geq\, 2} \frac{1}{\sqrt{n} \ln n}\).
3. \(\displaystyle\sum_{n \geq\, 0} e^{-\sqrt{n}}\).
4. \(\displaystyle\sum_{n \geq\, 0} n^3 e^{-n}\).
5. \(\displaystyle\sum_{n \geq\, 2} \frac{1}{(\ln n)^{\ln n}}\). On pourra écrire \((\ln n)^{\ln n} = n^{\ln(\ln n)}\).

Exercice 7 : Convergence absolue

1. Montrez que la série \(\sum_{n \geq\, 1} \frac{\sin n}{n^2}\) converge.
2. Montrez que la série \(\sum_{n \geq\, 0} \frac{(-1)^n n}{2^n}\) converge absolument.
3. Soit \(\theta \in \mathbb{R}\). Montrez que \(\sum_{n \geq\, 1} \frac{e^{in\theta}}{n\sqrt{n}}\) converge.
4. Montrez que \(\sum_{n \geq\, 1} \frac{(-1)^n + \sin n}{n^2 + 1}\) converge, et majorez la valeur absolue de sa somme par \(2 \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2+1}\).
5. La série \(\sum_{n \geq\, 1} \frac{(-1)^n}{n}\) est-elle absolument convergente ?

Exercice 8 : Séries alternées : premières applications

1. Montrez que \(\sum_{n \geq\, 1} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\) converge, mais pas absolument.
2. Montrez que \(\sum_{n \geq\, 2} \frac{(-1)^n}{\ln n}\) converge.
3. Montrez que \(\sum_{n \geq\, 1} (-1)^n \frac{n}{n^2 + 1}\) converge. On étudiera les variations de \(x \mapsto \frac{x}{x^2 + 1}\).
4. On admet que \(\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} = \ln 2\). À partir de quel rang \(n\) la somme partielle \(S_n\) fournit-elle une valeur approchée de \(\ln 2\) à \(10^{-2}\) près, d’après le théorème des séries alternées ? Est-ce une valeur par défaut ou par excès lorsque \(n\) est pair ?

Exercice 9 : Encadrement de la série harmonique et constante d’Euler

Pour \(n \geq\, 1\), on pose \(H_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}\) et \(u_n = H_n – \ln n\). La figure ci-dessous représente la fonction \(t \mapsto \frac{1}{t}\) et les rectangles de hauteur \(\frac{1}{k}\) posés sur \([k, k+1]\).

1. Justifiez que, pour tout entier \(k \geq\, 1\), \(\displaystyle\frac{1}{k+1} \leq\, \int_{k}^{k+1} \frac{dt}{t} \leq\, \frac{1}{k}\).
2. Déduisez-en que \(\ln(n+1) \leq\, H_n \leq\, 1 + \ln n\), puis que \(H_n \sim \ln n\).
3. Montrez que la suite \((u_n)\) est décroissante et minorée par \(0\).
4. Concluez que \((u_n)\) converge vers un réel \(\gamma \in [0, 1]\), appelé constante d’Euler. Écrivez le résultat sous la forme \(H_n = \ln n + \gamma + o(1)\).
5. Reformulez la question 3 en termes de série : quelle série télescopique converge ici ?

Exercice 10 : Séries de Bertrand particulières

1. Montrez que la fonction \(f : t \mapsto \frac{1}{t \ln t}\) est décroissante sur \(]1, +\infty[\).
2. Calculez \(\int_{2}^{x} \frac{dt}{t \ln t}\) pour \(x \geq\, 2\). Déduisez-en que la série \(\sum_{n \geq\, 2} \frac{1}{n \ln n}\) diverge.
3. Montrez plus précisément que \(\sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k \ln k} \sim \ln(\ln n)\).
4. Par la même méthode, montrez que \(\sum_{n \geq\, 2} \frac{1}{n (\ln n)^2}\) converge.
5. Pourquoi la règle « \(n^{\alpha} u_n \to 0\) avec \(\alpha > 1\) » ne permet-elle pas de conclure à la question 4 ?

Exercice 11 : Équivalent du reste d’une série de Riemann

Soit \(\alpha > 1\). On note \(R_n = \sum_{k=n+1}^{+\infty} \frac{1}{k^{\alpha}}\) pour \(n \geq\, 1\).

1. Montrez que \(\displaystyle\frac{1}{(\alpha – 1)(n+1)^{\alpha – 1}} \leq\, R_n \leq\, \frac{1}{(\alpha – 1) n^{\alpha – 1}}\).
2. Déduisez-en un équivalent simple de \(R_n\).
3. Dans le cas \(\alpha = 2\), déterminez un rang \(n\) à partir duquel \(S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2}\) approche la somme de la série à \(10^{-3}\) près.
4. Toujours pour \(\alpha = 2\), montrez que \(S_n + \frac{1}{n+1}\) et \(S_n + \frac{1}{n}\) encadrent la somme. Quelle précision obtient-on alors avec \(n = 100\) ?

Exercice 12 : Sommes partielles de séries divergentes

1. Par une comparaison série-intégrale, montrez que pour \(n \geq\, 1\),
   \[\frac{2}{3} n^{3/2} \leq\, \sum_{k=1}^{n} \sqrt{k} \leq\, \frac{2}{3}((n+1)^{3/2} – 1).\]
2. Déduisez-en un équivalent de \(\sum_{k=1}^{n} \sqrt{k}\).
3. Montrez de même que \(n \ln n – n + 1 \leq\, \ln(n!) \leq\, (n+1)\ln(n+1) – n – 2\ln 2 + 1\) pour \(n \geq\, 2\).
4. Déduisez-en que \(\ln(n!) \sim n \ln n\).

Exercice 13 : Somme approchée d’une série alternée

On considère la série \(\sum_{n \geq\, 1} \frac{(-1)^{n+1}}{n^2}\), de somme \(S\), de sommes partielles \(S_n\) et de restes \(R_n\).

1. Montrez que cette série converge absolument.
2. Appliquez le théorème des séries alternées : donnez le signe de \(R_n\) selon la parité de \(n\) et une majoration de \(|R_n|\).
3. Calculez \(S_3\) et \(S_4\) sous forme de fractions, puis encadrez \(S\).
4. Déterminez le plus petit rang \(n\) pour lequel le théorème garantit \(|S – S_n| \leq\, 10^{-2}\).

Exercice 14 : Développement asymptotique d’une série alternée perturbée

1. Pour \(n \geq\, 2\), on pose \(u_n = \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n} + (-1)^n}\). Justifiez que \(u_n\) est bien défini, puis montrez que
   \[u_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} – \frac{1}{n} + O(\frac{1}{n^{3/2}}).\]
2. Déduisez-en la nature de \(\sum_{n \geq\, 2} u_n\).
3. Montrez que \(u_n \sim \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\). Expliquez pourquoi ce résultat ne contredit pas le cours.
4. Pour \(n \geq\, 2\), on pose \(v_n = \ln(1 + \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}})\). Déterminez la nature de \(\sum v_n\).

Exercice 15 : Une série trigonométrique à terme oscillant

Pour \(n \geq\, 1\), on pose \(u_n = \sin(\pi\sqrt{n^2 + 1})\).

1. Montrez que \(\sqrt{n^2 + 1} = n + \dfrac{1}{2n} + O(\dfrac{1}{n^3})\).
2. Déduisez-en que \(u_n = (-1)^n \dfrac{\pi}{2n} + O(\dfrac{1}{n^3})\).
3. Montrez que la série \(\sum u_n\) converge.
4. Est-elle absolument convergente ?

Exercice 16 : Séries dépendant d’un paramètre

Soit \(a \in \mathbb{R}\). Déterminez, selon la valeur de \(a\), la nature des séries suivantes.

1. \(\displaystyle\sum_{n \geq\, 1} n^{a}(e^{1/n} – 1 – \frac{1}{n})\).
2. \(\displaystyle\sum_{n \geq\, 1} \frac{\sqrt{n+1} – \sqrt{n}}{n^{a}}\).
3. \(\displaystyle\sum_{n \geq\, 1} \frac{a^n}{n^2}\) (on distinguera \(|a| < 1\), \(|a| = 1\) et \(|a| > 1\)).

Exercice 17 : Comparaison logarithmique

Soient \((u_n)\) et \((v_n)\) deux suites strictement positives telles que, pour tout \(n \geq\, n_0\), \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n} \leq\, \dfrac{v_{n+1}}{v_n}\).

1. Montrez que la suite \((\frac{u_n}{v_n})_{n \geq\, n_0}\) est décroissante. Déduisez-en que \(u_n = O(v_n)\).
2. Concluez que si \(\sum v_n\) converge, alors \(\sum u_n\) converge.
3. Application : on pose \(u_n = \dfrac{n!}{n^n}\) pour \(n \geq\, 1\). Montrez que \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = (1 + \dfrac{1}{n})^{-n}\).
4. Montrez que \((1 + \frac{1}{n})^n \geq\, 2\) pour \(n \geq\, 1\), puis déterminez la nature de \(\sum u_n\).

Exercice 18 : Série exponentielle et irrationalité de e

Pour \(n \in \mathbb{N}\), on pose \(S_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}\).

1. À l’aide de l’inégalité de Taylor-Lagrange, montrez que \(0 \leq\, e – S_n \leq\, \dfrac{e}{(n+1)!}\), puis que \(S_n \to e\).
2. Montrez que pour \(k \geq\, n+1\), \(k! \geq\, (n+1)! \, (n+1)^{k-n-1}\). Déduisez-en que, pour \(n \geq\, 1\), \(0 < e – S_n \leq\, \dfrac{1}{n \cdot n!}\).
3. Calculez \(\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n^2}{n!}\) en écrivant \(n^2 = n(n-1) + n\).
4. On suppose que \(e = \frac{p}{q}\) avec \(p, q\) entiers et \(q \geq\, 2\). Montrez que \(q!\,(e – S_q)\) est un entier strictement compris entre \(0\) et \(1\), et concluez. Traitez aussi le cas \(q = 1\).

Exercice 19 : Série alternée logarithmique à paramètre

Soit \(\alpha > 0\). Pour \(n \geq\, 2\), on pose \(u_n = \ln(1 + \dfrac{(-1)^n}{n^{\alpha}})\).

1. Justifiez que \(u_n\) est bien défini pour tout \(n \geq\, 2\).
2. On pose \(w_n = u_n – \dfrac{(-1)^n}{n^{\alpha}}\). Montrez que \(w_n \sim -\dfrac{1}{2n^{2\alpha}}\).
3. Déterminez, selon \(\alpha\), la nature de \(\sum w_n\), puis celle de \(\sum u_n\).
4. Pour quelles valeurs de \(\alpha\) la série \(\sum u_n\) est-elle absolument convergente ?

Exercice 20 : Formule de Stirling faible : lien suite-série

Pour \(n \geq\, 1\), on pose \(a_n = \dfrac{n! \, e^n}{n^{n + 1/2}}\) et \(b_n = \ln a_n\).

1. Montrez que \(b_{n+1} – b_n = 1 – (n + \frac{1}{2})\ln(1 + \frac{1}{n})\).
2. À l’aide d’un développement limité, montrez que \(b_{n+1} – b_n = -\dfrac{1}{12 n^2} + O(\dfrac{1}{n^3})\).
3. Déduisez-en que la suite \((b_n)\) converge, puis qu’il existe \(C > 0\) tel que \(n! \sim C\, n^{n} e^{-n} \sqrt{n}\).
4. Montrez que \(b_{n+1} – b_n \leq\, 0\) pour \(n\) assez grand. Que peut-on en déduire sur le sens de variation de \((a_n)\) à partir d’un certain rang ?

Exercice 21 : Problème : série harmonique alternée

On admet le résultat de l’exercice 9 : \(H_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} = \ln n + \gamma + o(1)\). On note \(A_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k+1}}{k}\).

1. Montrez que la série \(\sum_{k \geq\, 1} \frac{(-1)^{k+1}}{k}\) converge.
2. Montrez que \(A_{2n} = H_{2n} – H_n\) pour tout \(n \geq\, 1\).
3. Déduisez-en que \(\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k} = \ln 2\).
4. Vérifiez que \(\frac{1}{n(2n+1)} = \frac{1}{n} – \frac{2}{2n+1}\), puis exprimez \(\sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n(2n+1)}\) à l’aide de \(A_{2N+1}\).
5. Déduisez-en la valeur de \(\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n(2n+1)}\).
6. Montrez de même que \(\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k}\) tend vers \(\ln 2\) et interprétez ce résultat à l’aide de \(A_{2n}\).

Exercice 22 : Problème : une suite récurrente et deux séries

Soit \(u_0 \in ]0, 1[\). On définit la suite \((u_n)\) par \(u_{n+1} = u_n – u_n^2\). La figure ci-dessous représente la courbe de \(f : x \mapsto x – x^2\), la première bissectrice et les premiers termes pour \(u_0 = 0{,}8\).

1. Montrez que pour tout \(n\), \(u_n \in ]0, 1[\), puis que \((u_n)\) est décroissante et converge vers \(0\).
2. Montrez que la série \(\sum u_n^2\) converge et calculez sa somme.
3. Montrez que \(\dfrac{1}{u_{n+1}} – \dfrac{1}{u_n} = \dfrac{1}{1 – u_n}\) pour tout \(n\).
4. Déduisez-en que \(n + \dfrac{1}{u_0} \leq\, \dfrac{1}{u_n} \leq\, \dfrac{n}{1 – u_0} + \dfrac{1}{u_0}\). Quelle est la nature de la série \(\sum u_n\) ?
5. En écrivant \(\frac{1}{1 – u_n} = 1 + \frac{u_n}{1 – u_n}\), montrez que \(\frac{1}{u_n} = n + O(\ln n)\), puis que \(u_n \sim \frac{1}{n}\).

Le corrigé des exercices

Chaque exercice est corrigé en détail, question par question, sur la page suivante.

Pour aller plus loin en maths sup

• Le cours : séries numériques, cours de maths sup
• À maîtriser avant : Relations de comparaison : domination, équivalents, Intégration sur un segment
• Chapitre précédent : Intégration sur un segment
• Chapitre suivant : Familles sommables
• Tester vos connaissances : QCM de maths sup par chapitre
• Le sommaire : tous les chapitres de maths sup et les chapitres de maths spé