Espaces de Hilbert : cours de maths en L3 en PDF.

Un produit scalaire sur un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(H\) est une application \((x,y)\mapsto \langle x, y \rangle\) de \(H\times H\) dans \(\mathbb{K}\), linéaire en \(x\), vérifiant \(\langle y, x \rangle=\overline{\langle x, y \rangle}\) et \(\langle x, x \rangle > 0\) pour \(x\neq 0\). Le couple \((H,\langle\cdot,\cdot\rangle)\) est un espace préhilbertien. On note \(\|x\|=\sqrt{\langle x, x \rangle}\).

Un espace de Hilbert est un espace préhilbertien complet pour la norme \(\|\cdot\|\).

Pour tous \(x,y\in H\) : \[\|x+y\|^2+\|x-y\|^2=2\|x\|^2+2\|y\|^2.\] Réciproquement, une norme qui vérifie cette identité provient d’un produit scalaire, donné dans le cas réel par la formule de polarisation \(\langle x, y \rangle=\frac{1}{4}(\|x+y\|^2-\|x-y\|^2)\).

L’espace \(\ell^2(\mathbb{N})\) des suites \((u_n)\) telles que \(\sum |u_n|^2 < \infty\), muni de \(\langle u, v \rangle=\sum_{n} u_n\overline{v_n}\), est un espace de Hilbert. De même, pour un espace mesuré \((X,\mathcal{A},\mu)\), l’espace \(L^2(\mu)\) muni de \(\langle f, g \rangle=\int_X f\,\overline{g}\,d\mu\) est un espace de Hilbert : c’est le théorème de Riesz-Fischer, vu dans le chapitre sur l’intégrale de Lebesgue.

Pour montrer qu’un espace préhilbertien \(H\) est un espace de Hilbert :

• soit on l’identifie à un espace connu (\(\ell^2\), \(L^2(\mu)\), un espace de dimension finie) ;
• soit on montre qu’il est un sous-espace fermé d’un espace de Hilbert ;
• soit on prend une suite de Cauchy, on construit une limite candidate (souvent coordonnée par coordonnée), puis on prouve la convergence en norme.

Soit \(H\) un espace de Hilbert et \(C\) une partie convexe, fermée et non vide de \(H\). Pour tout \(x\in H\), il existe un unique \(p\in C\) tel que \(\|x-p\|=d(x,C)=\inf_{y\in C}\|x-y\|\). On le note \(P_C(x)\). De plus, \(p\) est caractérisé par : \[p\in C \quad\text{et}\quad \forall y\in C,\ \mathrm{Re}\,\langle x-p, y-p \rangle\leq\, 0.\]

Posons \(d=d(x,C)\) et prenons \((y_n)\) dans \(C\) avec \(\|x-y_n\|\to d\). Par convexité, \(\frac{y_n+y_m}{2}\in C\), donc \(\|x-\frac{y_n+y_m}{2}\|\geq\, d\). Ainsi, l’identité du parallélogramme appliquée à \(x-y_n\) et \(x-y_m\) donne \[\|y_n-y_m\|^2=2\|x-y_n\|^2+2\|x-y_m\|^2-4\|x-\tfrac{y_n+y_m}{2}\|^2\leq\, 2\|x-y_n\|^2+2\|x-y_m\|^2-4d^2.\] Le majorant tend vers \(0\), donc \((y_n)\) est de Cauchy. Par complétude, elle converge vers un \(p\), qui appartient à \(C\) car \(C\) est fermé. Par continuité, \(\|x-p\|=d\). L’unicité découle du même calcul avec deux minimiseurs.

Pour la caractérisation, fixons \(y\in C\) et \(t\in\,]0,1]\). Le point \(p+t(y-p)\) est dans \(C\), donc \(\|x-p-t(y-p)\|^2\geq\, \|x-p\|^2\). En développant, on obtient \(-2t\,\mathrm{Re}\,\langle x-p, y-p \rangle+t^2\|y-p\|^2\geq\, 0\). On divise par \(t\) puis on fait tendre \(t\) vers \(0\). Réciproquement, si l’inégalité a lieu, alors \(\|x-y\|^2=\|x-p\|^2-2\,\mathrm{Re}\,\langle x-p, y-p \rangle+\|y-p\|^2\geq\, \|x-p\|^2\).

Dans \(L^2(\mu)\) réel, l’ensemble \(C\) des fonctions positives presque partout est un convexe fermé. La projection de \(f\) sur \(C\) est sa partie positive \(f^{+}=\max(f,0)\). En effet, pour \(g\in C\), on a \(\langle f-f^{+}, g-f^{+} \rangle=-\int f^{-}g\leq\, 0\), car \(f^{-}f^{+}=0\).

L’orthogonal d’une partie \(A\) de \(H\) est \(A^{\perp}=\{x\in H : \forall a\in A,\ \langle x, a \rangle=0\}\). C’est toujours un sous-espace vectoriel fermé de \(H\), comme intersection de noyaux de formes linéaires continues.

Soit \(F\) un sous-espace vectoriel fermé d’un espace de Hilbert \(H\). Alors \(H=F\oplus F^{\perp}\). Pour tout \(x\in H\), la projection \(P_F(x)\) est l’unique \(p\in F\) tel que \(x-p\in F^{\perp}\). L’application \(P_F\) est un projecteur linéaire continu, de norme \(1\) si \(F\neq\{0\}\), et \(\|x\|^2=\|P_F(x)\|^2+\|x-P_F(x)\|^2\).

Soit \(p=P_F(x)\). Pour \(y\in F\) et \(\lambda\in\mathbb{K}\), le vecteur \(p+\lambda y\) parcourt \(F\). La caractérisation donne \(\mathrm{Re}\,\big(\overline{\lambda}\langle x-p, y \rangle\big)\leq\, 0\) pour tout \(\lambda\). Par conséquent, \(\langle x-p, y \rangle=0\), donc \(x-p\in F^{\perp}\). Ainsi, \(x=p+(x-p)\) avec \(p\in F\) et \(x-p\in F^{\perp}\). Enfin, \(F\cap F^{\perp}=\{0\}\) car un vecteur orthogonal à lui-même est nul. Le théorème de Pythagore donne l’égalité des normes.

Pour tout sous-espace vectoriel \(F\) de \(H\), on a \((F^{\perp})^{\perp}=\overline{F}\). En particulier, \(F\) est dense dans \(H\) si et seulement si \(F^{\perp}=\{0\}\).

L’hypothèse « fermé » est indispensable. Dans \(\ell^2\), le sous-espace des suites à support fini a un orthogonal réduit à \(\{0\}\). Il n’admet donc pas de supplémentaire orthogonal.

Pour calculer la projection de \(x\) sur un sous-espace fermé \(F\) :

• si \(F\) est de dimension finie avec une base orthonormée \((e_1,\ldots,e_n)\), alors \(P_F(x)=\sum_{k=1}^{n}\langle x, e_k \rangle e_k\) ;
• si \(F\) a une base quelconque \((f_1,\ldots,f_n)\), on écrit \(p=\sum_k \lambda_k f_k\) et on résout le système \(\langle x-p, f_j \rangle=0\) pour \(j=1,\ldots,n\) ;
• si \(F=\ker\varphi\) avec \(\varphi=\langle\cdot, a \rangle\), alors \(P_F(x)=x-\frac{\langle x, a \rangle}{\|a\|^2}a\).

La distance vaut alors \(d(x,F)=\|x-P_F(x)\|\).

Dans \(L^2([0,1])\) réel, cherchons la meilleure approximation de \(f(x)=x^2\) par une fonction affine \(p(x)=a+bx\). Les conditions \(\langle f-p, 1 \rangle=0\) et \(\langle f-p, x \rangle=0\) s’écrivent \(a+\frac{b}{2}=\frac{1}{3}\) et \(\frac{a}{2}+\frac{b}{3}=\frac{1}{4}\). On trouve \(b=1\) et \(a=-\frac{1}{6}\), donc \(p(x)=x-\frac{1}{6}\).

Soit \(H\) un espace de Hilbert et \(\varphi\) une forme linéaire continue sur \(H\). Il existe un unique \(a\in H\) tel que \(\varphi(x)=\langle x, a \rangle\) pour tout \(x\in H\). De plus, \(\|\varphi\|=\|a\|\).

Si \(\varphi=0\), on prend \(a=0\). Sinon, \(K=\ker\varphi\) est un hyperplan fermé, car \(\varphi\) est continue. Comme \(K\neq H\), le théorème du supplémentaire orthogonal fournit \(z\in K^{\perp}\) avec \(\|z\|=1\). Pour \(x\in H\), le vecteur \(\varphi(x)z-\varphi(z)x\) est dans \(K\), donc orthogonal à \(z\). Par conséquent, \(\varphi(x)=\varphi(z)\langle x, z \rangle=\langle x, \overline{\varphi(z)}z \rangle\). On pose donc \(a=\overline{\varphi(z)}z\). L’unicité vient de ce que \(\langle x, a-a^{\prime} \rangle=0\) pour tout \(x\) impose \(a=a^{\prime}\). Enfin, Cauchy-Schwarz donne \(\|\varphi\|\leq\,\|a\|\), et \(\varphi(a)=\|a\|^2\) donne l’égalité.

Sur \(L^2([0,1])\) réel, la forme \(\varphi(f)=\int_0^1 x f(x)\,dx\) est continue d’après Cauchy-Schwarz. Son représentant est \(a(x)=x\), donc \(\|\varphi\|=(\int_0^1 x^2dx)^{1/2}=\frac{1}{\sqrt{3}}\).

Le théorème de Riesz permet de définir l’adjoint d’un opérateur borné \(T\) : pour \(y\) fixé, \(x\mapsto \langle Tx, y \rangle\) est une forme linéaire continue, donc il existe un unique \(T^{*}y\) tel que \(\langle Tx, y \rangle=\langle x, T^{*}y \rangle\). En revanche, une forme linéaire non continue, comme \(f\mapsto f(\frac{1}{2})\) sur les fonctions continues pour la norme de \(L^2\), n’a pas de représentant.

Une famille \((e_i)_{i\in I}\) de \(H\) est orthonormale si \(\langle e_i, e_j \rangle=\delta_{ij}\). Elle est totale si le sous-espace qu’elle engendre est dense dans \(H\). Une base hilbertienne est une famille orthonormale totale.

(Inégalité de Bessel.) Si \((e_n)_{n\in\mathbb{N}}\) est orthonormale, alors pour tout \(x\in H\) : \[\sum_{n=0}^{\infty}|\langle x, e_n \rangle|^2\leq\,\|x\|^2.\]

Posons \(s_N=\sum_{n=0}^{N}\langle x, e_n \rangle e_n\). C’est la projection de \(x\) sur \(\mathrm{Vect}(e_0,\ldots,e_N)\). Par Pythagore, \(\|x\|^2=\|x-s_N\|^2+\sum_{n=0}^{N}|\langle x, e_n \rangle|^2\geq\,\sum_{n=0}^{N}|\langle x, e_n \rangle|^2\). Il suffit de faire tendre \(N\) vers l’infini.

Soit \((e_n)_{n\in\mathbb{N}}\) une famille orthonormale d’un espace de Hilbert \(H\). Les assertions suivantes sont équivalentes :

• (i) \((e_n)\) est une base hilbertienne ;
• (ii) \(\{e_n,\ n\in\mathbb{N}\}^{\perp}=\{0\}\) ;
• (iii) pour tout \(x\in H\), \(x=\sum_{n=0}^{\infty}\langle x, e_n \rangle e_n\), la série convergeant dans \(H\) ;
• (iv) pour tout \(x\in H\), \(\|x\|^2=\sum_{n=0}^{\infty}|\langle x, e_n \rangle|^2\) (égalité de Parseval).

(i) équivaut à (ii) d’après le corollaire \((F^{\perp})^{\perp}=\overline{F}\). Pour (ii) implique (iii), on note que \(\|s_M-s_N\|^2=\sum_{n=N+1}^{M}|\langle x, e_n \rangle|^2\). Grâce à Bessel, ce reste tend vers \(0\), donc \((s_N)\) est de Cauchy et converge vers un \(s\). Par continuité du produit scalaire, \(\langle x-s, e_n \rangle=0\) pour tout \(n\), donc \(x=s\). Ensuite, (iii) implique (iv) par passage à la limite dans Pythagore. Enfin, si (iv) a lieu et si \(x\perp e_n\) pour tout \(n\), alors \(\|x\|^2=0\).

Pour montrer qu’une famille orthonormale \((e_n)\) est une base hilbertienne, on dispose de trois voies :

• montrer que son orthogonal est nul (souvent en se ramenant à une base déjà connue) ;
• montrer que l’espace engendré contient une partie dense, par exemple les polynômes grâce au théorème de Weierstrass ;
• vérifier l’égalité de Parseval sur une partie totale de \(H\).

Dans \(\ell^2(\mathbb{N})\), les suites \(\varepsilon_n=(\delta_{nk})_{k}\) forment une base hilbertienne. En effet, si \(u\perp\varepsilon_n\) pour tout \(n\), alors \(u_n=0\) pour tout \(n\). En revanche, la famille \((\varepsilon_{2n})\) est orthonormale mais pas totale : \(\varepsilon_1\) lui est orthogonal.

Le coefficient de Fourier d’indice \(n\) de \(f\) est \(c_n(f)=\langle f, e_n \rangle=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)e^{-int}dt\). La somme partielle de Fourier est \(S_Nf=\sum_{|n|\leq\, N}c_n(f)e_n\), et la somme de Fejér est la moyenne de Cesàro \(\sigma_Nf=\frac{1}{N+1}\sum_{k=0}^{N}S_kf\).

(Théorème de Fejér.) Si \(f\) est continue et \(2\pi\)-périodique, alors \(\sigma_Nf\) converge uniformément vers \(f\) sur \(\mathbb{R}\).

Le noyau de Fejér vérifie trois propriétés : \(K_N\geq\, 0\) ; \(\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}K_N=1\) ; pour \(0 < \delta\leq\,|t|\leq\,\pi\), \(K_N(t)\leq\,\frac{1}{(N+1)\sin^2(\delta/2)}\). Soit \(\varepsilon > 0\). Par continuité uniforme, il existe \(\delta\) tel que \(|t|\leq\,\delta\) implique \(|f(x-t)-f(x)|\leq\,\varepsilon\) pour tout \(x\). Alors \[|\sigma_Nf(x)-f(x)|\leq\,\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|f(x-t)-f(x)|K_N(t)\,dt\leq\,\varepsilon+\frac{2\|f\|_{\infty}}{(N+1)\sin^2(\delta/2)}.\] Le second terme tend vers \(0\), uniformément en \(x\).

La famille \((e_n)_{n\in\mathbb{Z}}\) est une base hilbertienne de \(L^2(\mathbb{T})\). Par conséquent, pour toute \(f\in L^2(\mathbb{T})\), \(S_Nf\to f\) dans \(L^2\) et \[\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|f(t)|^2dt=\sum_{n\in\mathbb{Z}}|c_n(f)|^2.\]

Les fonctions continues périodiques sont denses dans \(L^2(\mathbb{T})\), résultat vu en théorie de l’intégration. Or, d’après Fejér, toute fonction continue est limite uniforme, donc limite dans \(L^2\), de polynômes trigonométriques. Ainsi, les polynômes trigonométriques sont denses dans \(L^2(\mathbb{T})\), et la famille orthonormale \((e_n)\) est totale.

Soit \(f\) la fonction créneau, impaire, égale à \(1\) sur \(]0,\pi[\). Un calcul direct donne \(c_n(f)=\frac{2}{i\pi n}\) pour \(n\) impair et \(0\) sinon. Sous forme réelle, \(f=\frac{4}{\pi}\sum_{k\geq\, 0}\frac{\sin((2k+1)t)}{2k+1}\) dans \(L^2\). Parseval donne alors \(1=\sum_{n\ \text{impair}}\frac{4}{\pi^2n^2}\), soit \(\sum_{k\geq\, 0}\frac{1}{(2k+1)^2}=\frac{\pi^2}{8}\).

Si \(f\) est continue, \(2\pi\)-périodique et si \(\sum_{n\in\mathbb{Z}}|c_n(f)| < \infty\), alors \(S_Nf\) converge uniformément vers \(f\). C’est le cas si \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^1\), car \(c_n(f^{\prime})=in\,c_n(f)\).

Pour \(f\in L^1(\mathbb{R})\), la transformée de Fourier de \(f\) est la fonction \[\widehat{f}(\xi)=\int_{\mathbb{R}}f(x)e^{-ix\xi}\,dx,\qquad \xi\in\mathbb{R}.\]

Pour \(f,g\in L^1(\mathbb{R})\) :

• \(\widehat{f}\) est continue et bornée, avec \(\|\widehat{f}\|_{\infty}\leq\,\|f\|_1\) ;
• (Riemann-Lebesgue) \(\widehat{f}(\xi)\to 0\) quand \(|\xi|\to\infty\) ;
• si \(g(x)=f(x-a)\), alors \(\widehat{g}(\xi)=e^{-ia\xi}\widehat{f}(\xi)\) ; si \(g(x)=f(\lambda x)\) avec \(\lambda > 0\), alors \(\widehat{g}(\xi)=\frac{1}{\lambda}\widehat{f}(\frac{\xi}{\lambda})\) ;
• \(f*g\in L^1\) et \(\widehat{f*g}=\widehat{f}\,\widehat{g}\) ;
• si \(x\mapsto xf(x)\) est intégrable, \(\widehat{f}\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) et \((\widehat{f})^{\prime}(\xi)=\int_{\mathbb{R}}(-ix)f(x)e^{-ix\xi}dx\).

La continuité vient du théorème de continuité sous l’intégrale, avec la domination \(|f(x)e^{-ix\xi}|\leq\,|f(x)|\). Pour Riemann-Lebesgue, on calcule d’abord pour une indicatrice d’intervalle, puis on conclut par densité des fonctions en escalier dans \(L^1\) et par l’inégalité \(\|\widehat{f}-\widehat{h}\|_{\infty}\leq\,\|f-h\|_1\). La formule de convolution découle du théorème de Fubini, légitime car \(\iint|f(x-y)g(y)|\,dx\,dy=\|f\|_1\|g\|_1\). Enfin, la dérivation sous l’intégrale utilise la domination \(|xf(x)|\).

Pour \(f=\mathbf{1}_{[-1,1]}\), on obtient \(\widehat{f}(\xi)=\int_{-1}^{1}e^{-ix\xi}dx=\frac{2\sin\xi}{\xi}\) pour \(\xi\neq 0\), et \(\widehat{f}(0)=2\). Cette fonction est continue et tend vers \(0\), mais elle n’est pas intégrable sur \(\mathbb{R}\).

Pour la gaussienne \(g(x)=e^{-x^2/2}\), la dérivation sous l’intégrale puis une intégration par parties donnent \((\widehat{g})^{\prime}(\xi)=-\xi\,\widehat{g}(\xi)\). Comme \(\widehat{g}(0)=\sqrt{2\pi}\), on obtient \(\widehat{g}(\xi)=\sqrt{2\pi}\,e^{-\xi^2/2}\).

Si \(f\) et \(\widehat{f}\) sont toutes deux intégrables, la formule d’inversion \(f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{R}}\widehat{f}(\xi)e^{ix\xi}d\xi\) a lieu presque partout. L’extension de la transformée à \(L^2(\mathbb{R})\) (théorème de Plancherel) dépasse le cadre de ce chapitre.