Théorème des résidus : exercices de maths en L3 corrigés en PDF.

Exercice 1 : Série de Laurent d’une fraction rationnelle

On considère \(f(z) = \frac{1}{(z-1)(z-2)}\), holomorphe sur \(\mathbb{C} \setminus \{1, 2\}\).

1. Décomposer \(f\) en éléments simples.
2. Développer \(f\) en série de Laurent centrée en \(0\) sur chacune des couronnes \(|z| < 1\), \(1 < |z| < 2\) et \(|z| > 2\).
3. En déduire, sans nouveau calcul, \(\int_{|z| = 3/2} f(z) \, dz\) et \(\int_{|z| = 3} f(z) \, dz\).
4. Vérifier ces deux résultats avec le théorème des résidus.

Exercice 2 : Séries de Laurent en zéro de fonctions usuelles

Pour chacune des fonctions suivantes, donner le développement de Laurent sur le disque épointé indiqué, la nature de la singularité en \(0\) et le résidu en \(0\).

1. \(f_1(z) = z^3 e^{1/z}\) sur \(\mathbb{C}^*\).
2. \(f_2(z) = \frac{\sin z}{z^4}\) sur \(\mathbb{C}^*\).
3. \(f_3(z) = z \cos(\frac{1}{z})\) sur \(\mathbb{C}^*\).
4. \(f_4(z) = \frac{1}{z^2(1-z)}\) sur \(0 < |z| < 1\).

Exercice 3 : Classer des singularités isolées

Déterminer les singularités isolées des fonctions suivantes et préciser leur nature (effaçable, pôle avec son ordre, essentielle).

1. \(f(z) = \frac{1 – \cos z}{z^2}\).
2. \(g(z) = \frac{z}{e^z – 1}\).
3. \(h(z) = \frac{z^2 – 1}{z^3 – z^2 – z + 1}\).
4. \(k(z) = \sin(\frac{1}{z})\).
5. \(\ell(z) = \frac{1}{\sin^2 z}\).

Exercice 4 : Calcul de résidus en des pôles

Calculer les résidus suivants, en justifiant la nature du point.

1. Les résidus de \(\frac{z+2}{z^2 – z}\) en \(0\) et en \(1\).
2. Le résidu de \(\frac{1}{z^4 + 1}\) en \(a = e^{i\pi/4}\).
3. Le résidu de \(\frac{e^z}{(z-1)^3}\) en \(1\).
4. Le résidu de \(\cot z = \frac{\cos z}{\sin z}\) en \(k\pi\), \(k \in \mathbb{Z}\).
5. Le résidu de \(\frac{z^2}{(z^2+1)^2}\) en \(i\).

Exercice 5 : Indice d’un lacet, premiers calculs

1. Soit \(\gamma(t) = 2 + 3e^{it}\), \(t \in [0, 2\pi]\). Déterminer \(\operatorname{Ind}_\gamma(0)\) et \(\operatorname{Ind}_\gamma(6)\).
2. Soit \(\sigma(t) = e^{-3it}\), \(t \in [0, 2\pi]\). Calculer \(\operatorname{Ind}_\sigma(0)\) directement par l’intégrale.
3. Soit \(\gamma_1(t) = 1 + e^{it}\), \(t \in [0, 2\pi]\). Calculer \(\int_{\gamma_1} \frac{dz}{z^2 – 1}\) à l’aide des indices de \(1\) et \(-1\).
4. Même question pour \(\gamma_2(t) = 2e^{2it}\), \(t \in [0, 2\pi]\).

Exercice 6 : Intégrales trigonométriques

1. Calculer \(I = \int_0^{2\pi} \frac{d\theta}{2 + \cos\theta}\) par le théorème des résidus.
2. Calculer \(J = \int_0^{2\pi} \frac{\cos(2\theta)}{5 – 4\cos\theta} \, d\theta\). On pourra considérer \(\int_0^{2\pi} \frac{e^{2i\theta}}{5 – 4\cos\theta} \, d\theta\).

Exercice 7 : Principe de l’argument sur un exemple

Soit \(f(z) = \frac{(z-1)^3 (z+3)}{z^2 (z – 3i)}\).

1. Donner les zéros et les pôles de \(f\) avec leurs ordres.
2. Calculer \(\frac{1}{2i\pi} \int_{|z| = 2} \frac{f^{\prime}(z)}{f(z)} \, dz\).
3. Même question sur les cercles \(|z| = 4\) et \(|z| = \frac{1}{2}\).

Exercice 8 : Critère de Riemann et singularités effaçables

Soit \(f\) holomorphe sur \(D(0, 1) \setminus \{0\}\), de développement de Laurent \(\sum_{n \in \mathbb{Z}} a_n z^n\).

1. On suppose qu’il existe \(C > 0\) tel que \(|f(z)| \leq\, C |z|^{-1/2}\). Montrer que \(0\) est une singularité effaçable.
2. On suppose seulement \(|f(z)| \leq\, C |z|^{-3/2}\). Montrer que \(0\) est au plus un pôle simple.
3. On suppose que \(f\) a un pôle en \(0\). Montrer que \(e^{f}\) a une singularité essentielle en \(0\). On pourra étudier la dérivée logarithmique de \(e^f\).

Exercice 9 : Singularités essentielles et Casorati-Weierstrass

1. Soit \(w \in \mathbb{C}^*\) et \(\rho > 0\). Montrer qu’il existe \(z\) tel que \(0 < |z| < \rho\) et \(e^{1/z} = w\).
2. La fonction \(e^{1/z}\) prend-elle la valeur \(0\) ? Ce résultat contredit-il le théorème de Casorati-Weierstrass ?
3. Soit \(f\) holomorphe sur \(D(0, 1) \setminus \{0\}\) avec une singularité essentielle en \(0\). Montrer que pour tout \(w \in \mathbb{C}\), il existe une suite \((z_n)\) tendant vers \(0\) telle que \(f(z_n) \to w\).
4. Soit \(g\) holomorphe sur \(D(0, 1) \setminus \{0\}\) telle que \(\operatorname{Re} g(z) > 0\) pour tout \(z\). Montrer que \(0\) n’est pas une singularité essentielle de \(g\).

Exercice 10 : Fonctions méromorphes et dérivée logarithmique

1. Montrer que \(\tan\) est méromorphe sur \(\mathbb{C}\), déterminer ses pôles, leur ordre et les résidus.
2. Même question pour \(z \mapsto \frac{1}{e^z – 1}\).
3. Soit \(f\) méromorphe au voisinage de \(a\). On suppose que \(a\) est un zéro d’ordre \(k\) ou un pôle d’ordre \(m\) de \(f\). Montrer que \(f^{\prime}/f\) a un pôle simple en \(a\), de résidu \(k\) dans le premier cas et \(-m\) dans le second.
4. Vérifier ce résultat sur \(f = \sin\) aux points \(k\pi\), puis sur \(f = \tan\) aux points \(\frac{\pi}{2}\) et \(0\).

Exercice 11 : Série de Laurent autour d’un pôle double

Soit \(f(z) = \frac{1}{z(z-1)^2}\). On pose \(u = z – 1\).

1. Développer \(f\) en série de Laurent en puissances de \(u\) sur \(0 < |u| < 1\). En déduire la nature de \(1\) et \(\operatorname{Res}(f, 1)\).
2. Développer \(f\) en puissances de \(u\) sur \(|u| > 1\).
3. Calculer \(\operatorname{Res}(f, 0)\), puis vérifier la cohérence avec le coefficient de \(u^{-1}\) de la question 2.
4. Calculer \(\int_{|z-1| = 1/2} f(z) \, dz\) et \(\int_{|z-1| = 2} f(z) \, dz\).

Exercice 12 : Somme de tous les résidus d’une fraction rationnelle

Soit \(F = P/Q\) une fraction rationnelle irréductible.

1. On suppose \(\deg Q \geq\, \deg P + 2\). Montrer que \(\int_{|z|=R} F(z) \, dz \to 0\) quand \(R \to +\infty\). En déduire que la somme de tous les résidus de \(F\) est nulle.
2. On suppose \(\deg Q = \deg P + 1\), les coefficients dominants de \(P\) et \(Q\) valant \(p\) et \(q\). Montrer que la somme de tous les résidus de \(F\) vaut \(p/q\).
3. Calculer \(\int_{|z| = 2} \frac{dz}{z^5 (z-3)}\) en utilisant le résidu en \(3\).
4. Calculer \(\int_{|z| = 3} \frac{z^5}{z^6 – 1} \, dz\) de deux façons.

Exercice 13 : Intégrales de fractions rationnelles sur la droite réelle

1. Calculer \(\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{dx}{1 + x^4}\) en justifiant chaque étape.
2. Calculer \(\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{dx}{(1 + x^2)^2}\).
3. Calculer \(\int_0^{+\infty} \frac{x^2}{1 + x^4} \, dx\).

Exercice 14 : Transformée de Fourier par les résidus

Pour \(\xi \in \mathbb{R}\), on pose \(\widehat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{-ix\xi}}{1 + x^2} \, dx\).

1. Justifier l’existence de \(\widehat{f}(\xi)\) et montrer que \(\widehat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\cos(x\xi)}{1+x^2} \, dx\). En déduire que \(\widehat{f}\) est paire.
2. Soit \(\lambda > 0\). Montrer que \(\int_{C_R} \frac{e^{i\lambda z}}{1 + z^2} \, dz \to 0\), où \(C_R\) est le demi-cercle supérieur de rayon \(R\).
3. En déduire que \(\widehat{f}(\xi) = \pi e^{-|\xi|}\) pour tout \(\xi \in \mathbb{R}\).
4. Calculer \(\int_0^{+\infty} \frac{\cos x}{1 + x^2} \, dx\).

Exercice 15 : Intégrale de Dirichlet par un contour indenté

On veut calculer \(I = \int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \, dx\). On pose \(f(z) = \frac{e^{iz}}{z}\).

1. Montrer que \(\int_0^{A} \frac{\sin x}{x} \, dx\) a une limite finie quand \(A \to +\infty\), à l’aide d’une intégration par parties.
2. Pour \(0 < \varepsilon < R\), on considère le lacet formé du segment \([\varepsilon, R]\), du demi-cercle supérieur \(C_R\) de rayon \(R\), du segment \([-R, -\varepsilon]\) et du demi-cercle supérieur \(\gamma_\varepsilon\) de rayon \(\varepsilon\) parcouru de \(-\varepsilon\) vers \(\varepsilon\). Que vaut l’intégrale de \(f\) sur ce lacet ?
3. Montrer que \(\int_{\varepsilon}^{R} \frac{e^{ix}}{x} dx + \int_{-R}^{-\varepsilon} \frac{e^{ix}}{x} dx = 2i \int_\varepsilon^R \frac{\sin x}{x} dx\).
4. Déterminer les limites de \(\int_{C_R} f\) quand \(R \to +\infty\) et de \(\int_{\gamma_\varepsilon} f\) quand \(\varepsilon \to 0\).
5. En déduire \(I\), puis \(\int_0^{+\infty} \frac{\sin^2 x}{x^2} \, dx\).

Exercice 16 : Intégrale sur un secteur angulaire

Soit \(n \geq\, 2\) un entier. On veut calculer \(I_n = \int_0^{+\infty} \frac{dx}{1 + x^n}\). On note \(\omega = e^{2i\pi/n}\) et \(a = e^{i\pi/n}\). Pour \(R > 1\), on considère le bord du secteur \(\{ r e^{it} : 0 \leq\, r \leq\, R, \ 0 \leq\, t \leq\, \frac{2\pi}{n} \}\), parcouru dans le sens direct, comme sur la figure ci-dessous.

1. Justifier la convergence de \(I_n\).
2. Montrer que \(a\) est le seul pôle de \(\frac{1}{1+z^n}\) à l’intérieur du secteur, et que son résidu vaut \(-\frac{a}{n}\).
3. Montrer que l’intégrale sur l’arc de cercle tend vers \(0\) quand \(R \to +\infty\).
4. Exprimer l’intégrale sur le segment \([R\omega, 0]\) à l’aide de \(\int_0^R \frac{dr}{1+r^n}\).
5. En déduire que \(I_n = \frac{\pi}{n \sin(\pi/n)}\). Vérifier le cas \(n = 2\).

Exercice 17 : Zéros d’un polynôme dans une couronne

Soit \(P(z) = z^7 – 5z^3 + 1\).

1. Montrer que \(P\) a exactement trois zéros dans le disque \(D(0, 1)\).
2. Montrer que tous les zéros de \(P\) sont dans \(D(0, 2)\).
3. Montrer que \(P\) n’a pas de zéro sur le cercle unité. En déduire le nombre de zéros dans la couronne \(1 < |z| < 2\).
4. Montrer que \(P\) a au moins un zéro réel dans \(]0, 1[\).

Exercice 18 : Rouché et l’équation e^z = 3z

1. Montrer que l’équation \(e^z = 3z\) a exactement une solution dans le disque \(D(0, 1)\).
2. Montrer que cette solution est réelle et appartient à \(]0, 1[\).
3. Soit \(n \geq\, 1\). Montrer que l’équation \(e^z = 3z^n\) a exactement \(n\) solutions dans \(D(0, 1)\), comptées avec multiplicité.
4. Montrer que ces \(n\) solutions sont simples.

Exercice 19 : Théorème de d’Alembert-Gauss par Rouché

Soit \(P(z) = z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \cdots + a_1 z + a_0\), avec \(n \geq\, 1\), et \(S = \sum_{k=0}^{n-1} |a_k|\).

1. On pose \(R = 1 + S\). Montrer que \(|P(z) – z^n| < |z^n|\) pour \(|z| = R\).
2. En déduire que \(P\) a exactement \(n\) zéros dans \(D(0, R)\), comptés avec multiplicité, puis que \(P\) est scindé sur \(\mathbb{C}\).
3. Montrer plus précisément que tout zéro \(z\) de \(P\) vérifie \(|z| \leq\, \max(1, S)\).
4. Application : localiser les zéros de \(z^3 – \frac{1}{2}z + \frac{1}{4}\).

Exercice 20 : Indice d’un limaçon et principe de l’argument

On considère le lacet \(\gamma(t) = 1 + e^{it} + e^{2it}\), \(t \in [0, 2\pi]\), représenté ci-dessous. Il possède une petite boucle intérieure.

1. Montrer que \(\gamma(t) = (1 + 2\cos t) e^{it}\). Vérifier que \(0 \in \gamma^*\).
2. Soit \(a \notin \gamma^*\) et \(P_a(w) = w^2 + w + 1 – a\). Montrer que \(P_a\) ne s’annule pas sur le cercle unité.
3. Montrer que \(\operatorname{Ind}_\gamma(a) = \frac{1}{2i\pi} \int_{|w| = 1} \frac{P_a^{\prime}(w)}{P_a(w)} \, dw\), puis que \(\operatorname{Ind}_\gamma(a)\) est le nombre de racines de \(P_a\) dans \(D(0, 1)\).
4. En déduire \(\operatorname{Ind}_\gamma(\frac{1}{2})\), \(\operatorname{Ind}_\gamma(2)\) et \(\operatorname{Ind}_\gamma(-1)\). Comparer avec la figure.

Exercice 21 : Somme de la série des inverses des carrés

On pose \(f(z) = \frac{\pi \cot(\pi z)}{z^2}\), et on note \(C_N\) le bord du carré de sommets \((N + \frac{1}{2})(\pm 1 \pm i)\), parcouru dans le sens direct, pour \(N \in \mathbb{N}^*\).

1. Déterminer les pôles de \(f\) et calculer \(\operatorname{Res}(f, n)\) pour \(n \in \mathbb{Z}^*\).
2. Montrer que \(\pi \cot(\pi z) = \frac{1}{z} – \frac{\pi^2}{3} z + O(z^3)\) au voisinage de \(0\). En déduire \(\operatorname{Res}(f, 0)\).
3. Pour \(z = x + iy\), établir \(|\sin(\pi z)|^2 = \sin^2(\pi x) + \operatorname{sh}^2(\pi y)\) et \(|\cos(\pi z)|^2 = \cos^2(\pi x) + \operatorname{sh}^2(\pi y)\). En déduire que \(|\cot(\pi z)| \leq\, 2\) sur \(C_N\).
4. Montrer que \(\int_{C_N} f(z) \, dz \to 0\) quand \(N \to +\infty\), puis que \(\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}\).

Exercice 22 : Problème, intégrale sur un rectangle et formule des compléments

Soit \(a \in \, ]0, 1[\). On veut calculer \(I = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{ax}}{1 + e^x} \, dx\). On pose \(f(z) = \frac{e^{az}}{1 + e^z}\) et, pour \(R > 0\), on note \(\Gamma_R\) le bord du rectangle de sommets \(-R\), \(R\), \(R + 2i\pi\), \(-R + 2i\pi\), parcouru dans le sens direct.

1. Justifier la convergence de \(I\).
2. Déterminer les pôles de \(f\). Montrer que \(i\pi\) est le seul pôle à l’intérieur du rectangle et que \(\operatorname{Res}(f, i\pi) = -e^{i\pi a}\).
3. Montrer que \(f(x + 2i\pi) = e^{2i\pi a} f(x)\) pour \(x \in \mathbb{R}\). Exprimer l’intégrale de \(f\) sur le côté supérieur à l’aide de \(\int_{-R}^R f(x) \, dx\).
4. Montrer que les intégrales sur les deux côtés verticaux tendent vers \(0\) quand \(R \to +\infty\).
5. En déduire que \(I = \frac{\pi}{\sin(\pi a)}\).
6. Montrer que \(\int_0^{+\infty} \frac{t^{a-1}}{1 + t} \, dt = \frac{\pi}{\sin(\pi a)}\). Vérifier directement le cas \(a = \frac{1}{2}\).

Le corrigé des exercices

Chaque exercice est corrigé en détail, question par question, sur la page suivante.

Pour aller plus loin en L3

• Le cours : théorème des résidus, cours de maths en L3
• À maîtriser avant : Fonctions holomorphes et formule de Cauchy
• Chapitre précédent : Fonctions holomorphes et formule de Cauchy
• Chapitre suivant : Espaces de Hilbert et analyse de Fourier
• Tester vos connaissances : QCM de maths en L3 par chapitre
• Le sommaire : tous les chapitres de maths de L3 et la licence de maths de L1 à L3