Tribus et mesures : exercices de maths en L3 corrigés en PDF.

Exercice 1 : Ensembles dénombrables et argument diagonal

1. Montrer que l’application \((m,n) \mapsto 2^m 3^n\) est injective de \(\mathbb{N}^2\) dans \(\mathbb{N}\). En déduire par récurrence que \(\mathbb{N}^p\) est dénombrable pour tout \(p \geq\, 1\).
2. Montrer que l’application \(A \mapsto \sum_{k \in A} 2^k\) est une bijection de l’ensemble des parties finies de \(\mathbb{N}\) sur \(\mathbb{N}\).
3. Montrer que l’ensemble des intervalles \(]a,b[\) avec \(a, b \in \mathbb{Q}\) et \(a < b\) est dénombrable.
4. Soit \(s : \mathbb{N} \to \mathcal{P}(\mathbb{N})\) une application. On pose \(D = \{n \in \mathbb{N} : n \notin s(n)\}\). Montrer que \(D\) n’a pas d’antécédent par \(s\). Que peut-on en conclure sur \(\mathcal{P}(\mathbb{N})\) ?
5. Sachant que \(\mathbb{R}\) n’est pas dénombrable, montrer que l’ensemble \(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\) des irrationnels n’est pas dénombrable.

Exercice 2 : Tribu engendrée sur un ensemble fini

Soit \(E = \{1, 2, 3, 4\}\), \(A = \{1\}\) et \(B = \{1, 2\}\), comme sur la figure ci-dessous.

1. Déterminer la tribu \(\sigma(\{A\})\).
2. Déterminer une partition de \(E\) en trois parties dont chacune s’écrit à l’aide de \(A\) et \(B\). En déduire la liste complète des éléments de \(\sigma(\{A, B\})\).
3. La partie \(\{1, 3\}\) appartient-elle à \(\sigma(\{A, B\})\) ?
4. Soit \(E\) fini et \(\{E_1, \ldots, E_p\}\) une partition de \(E\) en parties non vides. Combien d’éléments possède la tribu engendrée par cette partition ?

Exercice 3 : Une algèbre qui n’est pas une tribu

On note \(\mathcal{F}\) la famille des parties \(A \subset \mathbb{N}\) telles que \(A\) est finie ou \(\mathbb{N} \setminus A\) est finie.

1. Montrer que \(\mathcal{F}\) est une algèbre.
2. Montrer que \(\mathcal{F}\) n’est pas une tribu.
3. Déterminer la tribu \(\sigma(\mathcal{F})\).
4. Pour \(A \in \mathcal{F}\), on pose \(\mu(A) = 0\) si \(A\) est finie et \(\mu(A) = 1\) sinon. Montrer que \(\mu\) est additive sur \(\mathcal{F}\), c’est-à-dire que \(\mu(A \cup B) = \mu(A) + \mu(B)\) si \(A, B \in \mathcal{F}\) sont disjointes. Montrer ensuite qu’aucune mesure sur \(\sigma(\mathcal{F})\) ne prolonge \(\mu\).

Exercice 4 : Tribu des parties dénombrables ou codénombrables

On note \(\mathcal{T}\) la famille des parties \(A \subset \mathbb{R}\) telles que \(A\) est dénombrable ou \(\mathbb{R} \setminus A\) est dénombrable.

1. Montrer que \(\mathcal{T}\) est une tribu sur \(\mathbb{R}\).
2. Montrer que \(\mathcal{T}\) est la tribu engendrée par les singletons.
3. Montrer que \([0,1] \notin \mathcal{T}\). En déduire que \(\mathcal{T}\) est strictement incluse dans \(\mathcal{B}(\mathbb{R})\).
4. Pour \(A \in \mathcal{T}\), on pose \(\mu(A) = 0\) si \(A\) est dénombrable et \(\mu(A) = 1\) sinon. Montrer que \(\mu\) est bien définie et que c’est une mesure de probabilité sur \((\mathbb{R}, \mathcal{T})\).

Exercice 5 : Réunions de tribus

1. Soit \(E = \{1, 2, 3\}\), \(\mathcal{A}_1 = \sigma(\{\{1\}\})\) et \(\mathcal{A}_2 = \sigma(\{\{2\}\})\). Montrer que \(\mathcal{A}_1 \cup \mathcal{A}_2\) n’est pas une tribu. Déterminer \(\sigma(\mathcal{A}_1 \cup \mathcal{A}_2)\).
2. Sur \(\mathbb{N}\), on pose \(\mathcal{A}_n = \sigma(\{\{0\}, \{1\}, \ldots, \{n\}\})\). Montrer qu’une partie \(B \subset \mathbb{N}\) appartient à \(\mathcal{A}_n\) si et seulement si \(B \cap \{n+1, n+2, \ldots\}\) est vide ou égal à \(\{n+1, n+2, \ldots\}\).
3. Montrer que la suite \((\mathcal{A}_n)\) est croissante et que \(\mathcal{U} = \bigcup_n \mathcal{A}_n\) est une algèbre.
4. Montrer que \(\mathcal{U}\) n’est pas une tribu. Conclure sur la réunion croissante de tribus.

Exercice 6 : Tribu image réciproque et tribu transportée

Soit \(f : E \to F\) une application.

1. Soit \(\mathcal{B}\) une tribu sur \(F\). Montrer que \(f^{-1}(\mathcal{B}) = \{f^{-1}(B), B \in \mathcal{B}\}\) est une tribu sur \(E\).
2. Soit \(\mathcal{A}\) une tribu sur \(E\). Montrer que \(\mathcal{T} = \{B \subset F : f^{-1}(B) \in \mathcal{A}\}\) est une tribu sur \(F\).
3. Montrer par un exemple que la famille \(\{f(A), A \in \mathcal{A}\}\) n’est pas toujours une tribu sur \(F\).
4. Soit \(\mathcal{C} \subset \mathcal{P}(F)\). Montrer que \(\sigma\big(f^{-1}(\mathcal{C})\big) = f^{-1}\big(\sigma(\mathcal{C})\big)\).

Exercice 7 : Générateurs de la tribu borélienne

1. Montrer que \(\mathcal{B}(\mathbb{R})\) est engendrée par la famille des demi-droites \([a, +\infty[\), \(a \in \mathbb{R}\).
2. Montrer que \(\mathcal{B}(\mathbb{R})\) est engendrée par la famille des parties compactes de \(\mathbb{R}\).
3. En utilisant l’exercice 4, montrer que la tribu engendrée par les singletons de \(\mathbb{R}\) est strictement incluse dans \(\mathcal{B}(\mathbb{R})\).

Exercice 8 : Premières propriétés d’une mesure

Soit \((E, \mathcal{A}, \mu)\) un espace mesuré et \(A, B, C \in \mathcal{A}\) de mesures finies.

1. Démontrer la formule d’inclusion-exclusion
   \[\mu(A \cup B \cup C) = \mu(A) + \mu(B) + \mu(C) – \mu(A \cap B) – \mu(A \cap C) – \mu(B \cap C) + \mu(A \cap B \cap C).\]
2. On suppose que \(\mu\) est une probabilité, que \(\mu(A) = \mu(B) = \mu(C) = \frac{1}{2}\), que les trois intersections deux à deux sont de mesure \(\frac{1}{4}\) et que \(\mu(A \cap B \cap C) = \frac{1}{8}\). Calculer \(\mu(A \cup B \cup C)\) et \(\mu(A^c \cap B^c \cap C^c)\).
3. Soit \((A_n)\) une suite de \(\mathcal{A}\). Montrer que si \(\mu(A_n) = 0\) pour tout \(n\), alors \(\mu\big(\bigcup_n A_n\big) = 0\). Si \(\mu\) est une probabilité et si \(\mu(A_n) = 1\) pour tout \(n\), montrer que \(\mu\big(\bigcap_n A_n\big) = 1\).
4. Soit \(\nu : \mathcal{A} \to [0, +\infty]\) telle que \(\nu(\emptyset) = 0\), additive pour les réunions finies disjointes, et continue sur les suites croissantes. Montrer que \(\nu\) est une mesure.

Exercice 9 : Une mesure discrète sur N

Sur \((\mathbb{N}, \mathcal{P}(\mathbb{N}))\), on considère \(\mu = \sum_{n=1}^{+\infty} 2^{-n} \delta_n\).

1. Montrer que \(\mu\) est une mesure de probabilité. Déterminer les parties \(A\) telles que \(\mu(A) = 0\).
2. Calculer la mesure de l’ensemble \(P\) des entiers pairs, puis celle de l’ensemble \(I\) des entiers impairs.
3. Pour \(N \geq\, 1\), calculer \(\mu(\{n \in \mathbb{N} : n \geq\, N\})\). Calculer aussi la mesure de l’ensemble des multiples de \(3\).
4. Vérifier la continuité décroissante sur la suite \(A_N = \{n \geq\, N\}\). Que se passe-t-il pour la mesure de comptage ?
5. Soit \(\nu = \delta_0 + c\), où \(c\) est la mesure de comptage sur \(\mathbb{N}\). Calculer \(\nu(\{0, 1, 2\})\) et \(\nu(P)\).

Exercice 10 : Mesures sur un ensemble dénombrable et atomes

1. Soit \(\mu\) une mesure sur \((\mathbb{N}, \mathcal{P}(\mathbb{N}))\). Montrer que \(\mu = \sum_{n \in \mathbb{N}} \mu(\{n\}) \delta_n\).
2. Montrer qu’il n’existe aucune probabilité sur \(\mathcal{P}(\mathbb{N})\) qui donne la même masse à tous les singletons.
3. Montrer que la mesure de comptage sur \(\mathbb{N}\) est \(\sigma\)-finie mais pas finie.
4. Soit \(\mu\) une mesure finie sur un espace mesurable \((E, \mathcal{A})\) dont les singletons sont mesurables. Un point \(x\) est un atome si \(\mu(\{x\}) > 0\). Montrer que, pour \(k \geq\, 1\), l’ensemble \(S_k = \{x : \mu(\{x\}) > \frac{1}{k}\}\) a moins de \(k \mu(E)\) éléments. En déduire que l’ensemble des atomes est dénombrable.
5. Sur \((\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))\), on pose \(\mu = \sum_{n=1}^{+\infty} 2^{-n} \delta_{1/n}\). Calculer \(\mu(]0, \frac{1}{2}])\), \(\mu(\{0\})\) et \(\mu(]0, \varepsilon])\) pour \(\varepsilon > 0\).

Exercice 11 : Continuité monotone et fonction de répartition

Soit \(\mu\) une probabilité sur \((\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))\) et \(F(x) = \mu(]-\infty, x])\).

1. Montrer que \(F\) est croissante, qu’elle tend vers \(0\) en \(-\infty\) et vers \(1\) en \(+\infty\).
2. Montrer que \(F\) est continue à droite, que sa limite à gauche en \(x\) vaut \(F(x^-) = \mu(]-\infty, x[)\), et que \(\mu(\{x\}) = F(x) – F(x^-)\).
3. En déduire que \(F\) est continue en \(x\) si et seulement si \(\mu(\{x\}) = 0\).
4. On pose désormais \(\mu(B) = \frac{1}{2} \delta_0(B) + \frac{1}{2} \lambda(B \cap [0,1])\) pour \(B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})\). Montrer que \(\mu\) est une probabilité.
5. Calculer \(F\) et tracer son graphe.
6. Calculer \(\mu(\{0\})\), \(\mu(]0, \frac{1}{2}])\), \(\mu([0, \frac{1}{2}])\) et \(\mu(\mathbb{Q})\).

Exercice 12 : Lemme de Borel-Cantelli

Soit \((E, \mathcal{A}, \mu)\) un espace mesuré et \((A_n)\) une suite de \(\mathcal{A}\). On pose \(\limsup A_n = \bigcap_{N \geq\, 0} \bigcup_{n \geq\, N} A_n\).

1. Montrer que \(x \in \limsup A_n\) si et seulement si \(x\) appartient à une infinité de \(A_n\).
2. On suppose que \(\sum \mu(A_n) < +\infty\). Montrer que \(\mu(\limsup A_n) = 0\). Traduire ce résultat par une phrase contenant « presque partout ».
3. Pour \(q \geq\, 1\), on pose \(A_q = \bigcup_{p=0}^{q} \big]\frac{p}{q} – \frac{1}{q^3}, \frac{p}{q} + \frac{1}{q^3}\big[\). Montrer que \(\lambda(A_q) \leq\, \frac{4}{q^2}\). En déduire que, pour presque tout \(x \in [0,1]\), il n’existe qu’un nombre fini d’entiers \(q \geq\, 1\) tels que \(\big|x – \frac{p}{q}\big| < \frac{1}{q^3}\) pour un certain \(p \in \{0, \ldots, q\}\).
4. Montrer par un exemple que l’on peut avoir \(\sum \lambda(A_n) = +\infty\) et \(\lambda(\limsup A_n) = 0\).

Exercice 13 : Ensembles négligeables pour la mesure de Lebesgue

1. Montrer que l’ensemble des nombres dyadiques \(\{k 2^{-n}, k \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N}\}\) est négligeable.
2. Montrer qu’une partie négligeable de \(\mathbb{R}\) est d’intérieur vide. En déduire que le complémentaire d’un ensemble négligeable est dense.
3. Montrer que \(\lambda([0,1] \setminus \mathbb{Q}) = 1\). Retrouver ainsi que \([0,1] \setminus \mathbb{Q}\) n’est pas dénombrable.
4. Montrer que \(\mathbb{Z}\) est négligeable et que \(\lambda(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Z}) = +\infty\).
5. Soit \(\varepsilon \in ]0,1[\). Construire un ouvert \(U\) dense dans \([0,1]\) tel que \(\lambda(U) \leq\, \varepsilon\).

Exercice 14 : L’ensemble triadique de Cantor

On pose \(K_0 = [0,1]\). On obtient \(K_{n+1}\) en retirant de chaque segment de \(K_n\) son tiers central ouvert. Ainsi, \(K_1 = [0, \frac{1}{3}] \cup [\frac{2}{3}, 1]\). On note \(K = \bigcap_n K_n\). La figure ci-dessous montre les premières étapes.

1. Montrer que \(K_n\) est la réunion de \(2^n\) segments disjoints de longueur \(3^{-n}\). Calculer \(\lambda(K_n)\).
2. Montrer que \(K\) est un compact, qu’il est borélien et que \(\lambda(K) = 0\).
3. Calculer la somme des longueurs des intervalles retirés au cours de la construction.
4. Montrer que les segments de \(K_n\) sont les \([a, a + 3^{-n}]\) avec \(a = \sum_{k=1}^{n} \varepsilon_k 3^{-k}\) et \(\varepsilon_k \in \{0, 2\}\). En déduire que, pour toute suite \((\varepsilon_k)_{k \geq\, 1}\) à valeurs dans \(\{0, 2\}\), le réel \(\sum_{k \geq\, 1} \varepsilon_k 3^{-k}\) appartient à \(K\).
5. Montrer que l’application \((\varepsilon_k) \mapsto \sum_{k \geq\, 1} \varepsilon_k 3^{-k}\) est injective. En déduire que \(K\) est négligeable mais non dénombrable.

Exercice 15 : Mesure extérieure de Lebesgue d’un segment

On rappelle que \(\lambda^*(A)\) est la borne inférieure des sommes \(\sum_n (b_n – a_n)\) sur les suites d’intervalles ouverts \(]a_n, b_n[\) qui recouvrent \(A\). Soit \(a \leq\, b\). On veut prouver que \(\lambda^*([a,b]) = b – a\). La figure ci-dessous montre un recouvrement fini d’un segment par des intervalles ouverts.

1. Montrer que \(\lambda^*([a,b]) \leq\, b – a\).
2. Montrer par récurrence sur \(p \geq\, 1\) : si \([a,b] \subset \bigcup_{k=1}^{p} ]a_k, b_k[\), alors \(\sum_{k=1}^{p} (b_k – a_k) > b – a\).
3. À l’aide du théorème de Borel-Lebesgue, en déduire que \(\lambda^*([a,b]) = b – a\).
4. En déduire \(\lambda^*(]a,b[) = b – a\), \(\lambda^*(\mathbb{R}) = +\infty\) et \(\lambda^*([0,1] \setminus \mathbb{Q}) = 1\).

Exercice 16 : Mesures extérieures et parties mesurables

1. Soit \(E\) un ensemble ayant au moins deux éléments. On pose \(\mu^*(\emptyset) = 0\) et \(\mu^*(A) = 1\) si \(A \neq \emptyset\). Montrer que \(\mu^*\) est une mesure extérieure.
2. Déterminer les parties \(\mu^*\)-mesurables.
3. Sur \(\mathbb{R}\), on pose \(\nu^*(A) = 0\) si \(A\) est dénombrable et \(\nu^*(A) = 1\) sinon. Montrer que \(\nu^*\) est une mesure extérieure.
4. Montrer que les parties \(\nu^*\)-mesurables sont exactement les parties dénombrables ou de complémentaire dénombrable. Quelle mesure le théorème de Carathéodory fournit-il ?

Exercice 17 : Invariance de la mesure de Lebesgue

On utilise le théorème d’unicité des mesures du cours.

1. Soit \(x \in \mathbb{R}\). Montrer que \(x + A\) est borélien pour tout \(A \in \mathcal{B}(\mathbb{R})\), puis que \(\nu(A) = \lambda(x + A)\) définit une mesure égale à \(\lambda\).
2. Soit \(c \neq 0\). Montrer de même que \(\lambda(cA) = |c| \, \lambda(A)\) pour tout borélien \(A\).
3. Soit \(\mu\) une mesure sur \(\mathcal{B}(\mathbb{R})\) invariante par translation, telle que \(\mu(]0,1]) = \alpha < +\infty\). Montrer que \(\mu(]0, \frac{1}{q}]) = \frac{\alpha}{q}\) pour tout \(q \geq\, 1\), puis que \(\mu(]0,t]) = \alpha t\) pour tout \(t > 0\). En déduire que \(\mu = \alpha \lambda\).

Exercice 18 : Fonctions mesurables usuelles

1. Soit \((E, \mathcal{A})\) un espace mesurable et \(A \subset E\). Montrer que \(\mathbf{1}_A\) est mesurable si et seulement si \(A \in \mathcal{A}\).
2. Montrer que toute fonction croissante \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) est borélienne.
3. Justifier que les fonctions \(\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}\), \(x \mapsto \lfloor x \rfloor\) et \(h : x \mapsto x^2 \mathbf{1}_{[0,1]}(x) + e^x \mathbf{1}_{]1, +\infty[}(x)\) sont boréliennes.
4. On munit \(E = \{1, 2, 3, 4\}\) de la tribu \(\mathcal{A} = \sigma(\{\{1\}, \{1, 2\}\})\) de l’exercice 2. Caractériser les fonctions \(f : E \to \mathbb{R}\) mesurables. La fonction \(f(k) = k\) est-elle mesurable ?

Exercice 19 : Suites de fonctions mesurables

Soit \((E, \mathcal{A})\) un espace mesurable et \((f_n)\) une suite de fonctions mesurables de \(E\) dans \(\mathbb{R}\). On admet qu’une fonction \(g : E \to \overline{\mathbb{R}}\) est mesurable dès que \(\{g \leq\, a\} \in \mathcal{A}\) pour tout \(a \in \mathbb{R}\).

1. Montrer que \(\sup_n f_n\), \(\inf_n f_n\) et \(\limsup f_n\) sont mesurables.
2. Montrer que l’ensemble \(C\) des \(x \in E\) tels que la suite \((f_n(x))\) converge dans \(\mathbb{R}\) appartient à \(\mathcal{A}\).
3. On pose \(f(x) = \lim f_n(x)\) si \(x \in C\) et \(f(x) = 0\) sinon. Montrer que \(f\) est mesurable.
4. Soit \(g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) dérivable. Montrer que \(g^{\prime}\) est borélienne.

Exercice 20 : Égalité presque partout

1. Soit \(f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) continues et égales \(\lambda\)-presque partout. Montrer que \(f = g\).
2. Pour \(x \in [0,1]\), on pose \(f_n(x) = x^n\). Montrer que \((f_n)\) converge \(\lambda\)-presque partout vers \(0\), mais pas partout.
3. Montrer que \(\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}\) est égale presque partout à une fonction continue, mais que \(\mathbf{1}_{[0, +\infty[}\) ne l’est pas.
4. On munit \(\mathbb{R}\) de la mesure de Dirac \(\delta_0\). À quelle condition deux fonctions boréliennes \(f\) et \(g\) sont-elles égales \(\delta_0\)-presque partout ?

Exercice 21 : Approximation par des fonctions étagées

On munit \([0,1]\) de sa tribu borélienne et on pose \(f(x) = x^2\). Pour \(n \geq\, 1\), on note \(\varphi_n = \min\big(n, 2^{-n} \lfloor 2^n f \rfloor\big)\) l’approximation du cours.

1. Écrire \(\varphi_1\) et \(\varphi_2\) sous forme canonique, en précisant les ensembles sur lesquels elles sont constantes.
2. Montrer que \(0 \leq\, f – \varphi_n < 2^{-n}\) sur \([0,1]\) pour tout \(n \geq\, 1\).
3. Pour une fonction étagée positive \(\varphi = \sum \alpha_i \mathbf{1}_{A_i}\) écrite sous forme canonique, on pose \(I(\varphi) = \sum \alpha_i \lambda(A_i)\). Calculer \(I(\varphi_2)\) et comparer à \(\frac{1}{3}\).
4. Montrer que \(g = \mathbf{1}_{[0,1] \setminus \mathbb{Q}}\) est une fonction étagée et calculer \(I(g)\). Pourquoi \(g\) n’est-elle pas une fonction en escalier ?

Exercice 22 : Problème : un ensemble non mesurable

Sur \([0,1]\), on note \(x \sim y\) lorsque \(x – y \in \mathbb{Q}\). On admet l’axiome du choix.

1. Montrer que \(\sim\) est une relation d’équivalence sur \([0,1]\).
2. On choisit une partie \(V \subset [0,1]\) qui contient exactement un élément de chaque classe d’équivalence. Soit \((r_n)_{n \in \mathbb{N}}\) une énumération de \(\mathbb{Q} \cap [-1, 1]\) et \(V_n = r_n + V\). Montrer que les \(V_n\) sont deux à deux disjoints.
3. Montrer que \([0,1] \subset \bigcup_n V_n \subset [-1, 2]\).
4. On suppose que \(V\) est borélien. En utilisant l’invariance par translation de \(\lambda\), obtenir une contradiction.
5. En déduire que \(\mathcal{B}(\mathbb{R}) \neq \mathcal{P}(\mathbb{R})\), puis qu’aucune mesure \(\mu\) sur \(\mathcal{P}(\mathbb{R})\) invariante par translation ne vérifie \(0 < \mu([0,1]) < +\infty\).

Exercice 23 : Problème : lemme de classe monotone et unicité des mesures

Une famille \(\mathcal{M} \subset \mathcal{P}(E)\) est une classe monotone si \(E \in \mathcal{M}\), si \(B \setminus A \in \mathcal{M}\) dès que \(A, B \in \mathcal{M}\) et \(A \subset B\), et si \(\mathcal{M}\) est stable par réunion croissante dénombrable.

1. Montrer qu’une tribu est une classe monotone et qu’une intersection de classes monotones est une classe monotone. On note \(m(\mathcal{C})\) la plus petite classe monotone contenant \(\mathcal{C} \subset \mathcal{P}(E)\).
2. Montrer qu’une classe monotone stable par intersection finie est une tribu.
3. On suppose \(\mathcal{C}\) stable par intersection finie. Pour \(A \in \mathcal{C}\), on pose \(\mathcal{M}_1 = \{B \in m(\mathcal{C}) : A \cap B \in m(\mathcal{C})\}\). Montrer que \(\mathcal{M}_1 = m(\mathcal{C})\).
4. Pour \(B \in m(\mathcal{C})\), on pose \(\mathcal{M}_2 = \{A \in m(\mathcal{C}) : A \cap B \in m(\mathcal{C})\}\). Montrer que \(\mathcal{M}_2 = m(\mathcal{C})\). En déduire que \(m(\mathcal{C}) = \sigma(\mathcal{C})\).
5. Soit \(\mu\) et \(\nu\) deux mesures finies sur \(\sigma(\mathcal{C})\), égales sur \(\mathcal{C}\) et telles que \(\mu(E) = \nu(E)\). Montrer que \(\mu = \nu\).
6. Sur \(E = \{1, 2, 3, 4\}\), on prend \(\mathcal{C} = \{\{1, 2\}, \{1, 3\}\}\), \(\mu = \frac{1}{2}(\delta_1 + \delta_4)\) et \(\nu = \frac{1}{2}(\delta_2 + \delta_3)\). Montrer que \(\mu\) et \(\nu\) coïncident sur \(\mathcal{C}\) et sur \(E\), mais pas sur \(\sigma(\mathcal{C})\). Quelle hypothèse manque ?

Le corrigé des exercices

Chaque exercice est corrigé en détail, question par question, sur la page suivante.

Pour aller plus loin en L3

• Le cours : tribus et mesures, cours de maths en L3
• À maîtriser avant : Espaces métriques : ouverts, fermés, continuité
• Chapitre précédent : Complétude, espaces de Banach et point fixe
• Chapitre suivant : Intégrale de Lebesgue et théorèmes de convergence
• Tester vos connaissances : QCM de maths en L3 par chapitre
• Le sommaire : tous les chapitres de maths de L3 et la licence de maths de L1 à L3