Complétude et point fixe : exercices de maths en L3 corrigés en PDF.

Exercice 1 : Une suite de Cauchy de rationnels

On pose, pour \(n \in \mathbb{N}\), \(u_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}\). On admet que \((u_n)\) converge dans \(\mathbb{R}\) vers \(e\).

1. Montrer que toute suite de Cauchy d’un espace métrique est bornée.
2. Montrer que \(k! \geq\, 2^{k-1}\) pour \(k \geq\, 1\), puis que \(0 \leq\, u_q – u_p \leq\, \frac{1}{2^{p-1}}\) pour \(q \geq\, p \geq\, 1\). En déduire que \((u_n)\) est de Cauchy dans \(\mathbb{Q}\).
3. Montrer que \(0 < e – u_n < \frac{1}{n \cdot n!}\) pour tout \(n \geq\, 1\).
4. En déduire que \(e\) est irrationnel, puis que \(\mathbb{Q}\) muni de \(|x – y|\) n’est pas complet.

Exercice 2 : Suites qui ne sont pas de Cauchy

Dans cet exercice, \((E,d)\) est un espace métrique.

1. Soit \(u_n = \sqrt{n}\). Montrer que \(u_{n+1} – u_n \to 0\) mais que \((u_n)\) n’est pas de Cauchy dans \(\mathbb{R}\).
2. Soit \(H_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}\). Montrer que \(H_{2n} – H_n \geq\, \frac{1}{2}\). Conclure.
3. Montrer que si la série \(\sum d(x_n, x_{n+1})\) converge, alors \((x_n)\) est de Cauchy dans \(E\).
4. Montrer que la réciproque est fausse, à l’aide de \(x_n = \frac{(-1)^n}{n}\) dans \(\mathbb{R}\) (\(n \geq\, 1\)).

Exercice 3 : Distance arctangente et distance discrète

Sur \(\mathbb{R}\), on pose \(\delta(x, y) = |\arctan x – \arctan y|\). La figure ci-dessous représente la fonction arctangente et les valeurs \(\arctan n\), qui s’accumulent sous \(\pi/2\).

1. Montrer que \(\delta\) est une distance sur \(\mathbb{R}\).
2. Montrer qu’une suite \((x_n)\) converge vers \(x\) pour \(\delta\) si et seulement si elle converge vers \(x\) pour la distance usuelle.
3. Montrer que la suite \((n)_{n \in \mathbb{N}}\) est de Cauchy pour \(\delta\) mais ne converge pas. Que peut-on en conclure sur \((\mathbb{R}, \delta)\) ?
4. Sur un ensemble \(X\), on note \(d_0(x,y) = 1\) si \(x \neq y\) et \(d_0(x,x) = 0\). Déterminer les suites de Cauchy de \((X, d_0)\) et montrer que cet espace est complet.

Exercice 4 : Polynômes et norme des coefficients

Pour \(P = \sum_{k \geq\, 0} a_k X^k \in \mathbb{R}[X]\), on pose \(\|P\| = \max_{k} |a_k|\).

1. Vérifier que \(\|\cdot\|\) est une norme sur \(\mathbb{R}[X]\) et que, pour tout \(k\), \(|a_k(P)| \leq\, \|P\|\), où \(a_k(P)\) désigne le coefficient de \(X^k\).
2. On pose \(P_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{X^k}{2^k}\). Calculer \(\|P_q – P_p\|\) pour \(q > p\) et en déduire que \((P_n)\) est de Cauchy.
3. Montrer que \((P_n)\) ne converge pas dans \((\mathbb{R}[X], \|\cdot\|)\). Conclure.

Exercice 5 : Sous-espaces de dimension finie

On travaille dans \(E = C([0,1])\) muni de \(\|\cdot\|_\infty\).

1. Rappeler pourquoi tout sous-espace de dimension finie d’un espace normé est fermé.
2. Soit \((P_n)\) une suite de fonctions polynomiales de degré au plus \(2\) qui converge uniformément sur \([0,1]\) vers une fonction \(f\). Montrer que \(f\) est polynomiale de degré au plus \(2\).
3. On pose \(Q_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{x^k}{k!}\). Montrer que \(\|Q_n – \exp\|_\infty \leq\, \sum_{k > n} \frac{1}{k!}\) et en déduire que \(Q_n \to \exp\) dans \(E\).
4. En déduire que le sous-espace des fonctions polynomiales n’est pas fermé dans \(E\), et qu’il n’est pas complet pour \(\|\cdot\|_\infty\).

Exercice 6 : Suites bornées et suites de limite nulle

On note \(\ell^\infty\) l’espace des suites réelles bornées \(x = (x_k)_{k \in \mathbb{N}}\), muni de \(\|x\|_\infty = \sup_k |x_k|\). On note \(c_0\) le sous-espace des suites de limite nulle et \(c_{00}\) celui des suites nulles à partir d’un certain rang.

1. Montrer que \(\ell^\infty\) est un espace de Banach.
2. Montrer que \(c_0\) est fermé dans \(\ell^\infty\). En déduire que \(c_0\) est un espace de Banach.
3. Soit \(x = (\frac{1}{k+1})_k\) et \(x^{(N)}\) la suite égale à \(x_k\) pour \(k \leq\, N\) et nulle ensuite. Calculer \(\|x – x^{(N)}\|_\infty\).
4. En déduire que \(c_{00}\) n’est pas complet pour \(\|\cdot\|_\infty\).

Exercice 7 : Norme de la moyenne sur les fonctions continues

On munit \(C([0,1])\) de la norme \(\|f\|_1 = \int_0^1 |f(t)|\,dt\). Pour \(n \geq\, 2\), on définit \(f_n\) continue, nulle sur \([0, \frac{1}{2}]\), affine sur \([\frac{1}{2}, \frac{1}{2} + \frac{1}{n}]\) et égale à \(1\) sur \([\frac{1}{2} + \frac{1}{n}, 1]\). La figure ci-dessous montre \(f_2\), \(f_4\) et \(f_{10}\).

1. Calculer \(\int_0^1 f_n\), puis montrer que \(f_q \geq\, f_p\) pour \(q \geq\, p \geq\, 2\).
2. En déduire \(\|f_q – f_p\|_1\) pour \(q \geq\, p\), et montrer que \((f_n)\) est de Cauchy pour \(\|\cdot\|_1\).
3. Montrer que \((f_n)\) ne converge vers aucune fonction continue pour \(\|\cdot\|_1\). Conclure.
4. Calculer \(\|f_{2p} – f_p\|_\infty\). La suite est-elle de Cauchy pour \(\|\cdot\|_\infty\) ?

Exercice 8 : Fonctions de classe C1 et choix de la norme

On note \(E = C^1([0,1])\) l’espace des fonctions réelles de classe \(C^1\) sur \([0,1]\).

1. Soit \(g_n(x) = \sqrt{(x – \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{n^2}}\). Montrer que \(0 \leq\, g_n(x) – |x – \frac{1}{2}| \leq\, \frac{1}{n}\). En déduire que \((E, \|\cdot\|_\infty)\) n’est pas complet.
2. On pose \(N(f) = |f(0)| + \|f^{\prime}\|_\infty\). Montrer que \(N\) est une norme sur \(E\) et que \(\|f\|_\infty \leq\, N(f)\).
3. Montrer que \((E, N)\) est un espace de Banach.

Exercice 9 : Une série de fonctions dans C([0,2π])

On travaille dans l’espace de Banach \(C([0, 2\pi])\) muni de \(\|\cdot\|_\infty\). Pour \(k \geq\, 1\), on pose \(u_k(x) = \frac{\cos(kx)}{k^2}\).

1. Calculer \(\|u_k\|_\infty\). Montrer que la série \(\sum u_k\) converge dans \(C([0, 2\pi])\). On note \(S\) sa somme.
2. Montrer que \(\sum_{k > N} \frac{1}{k^2} \leq\, \frac{1}{N}\) pour \(N \geq\, 1\), et en déduire \(\|S – S_N\|_\infty \leq\, \frac{1}{N}\), où \(S_N = \sum_{k=1}^{N} u_k\).
3. Combien de termes suffisent pour approcher \(S\) à \(10^{-2}\) près, uniformément ?
4. Calculer \(\int_0^{2\pi} S(x)\,dx\) en justifiant l’échange de la somme et de l’intégrale.

Exercice 10 : Série de Neumann matricielle

On munit \(\mathbb{R}^2\) de \(\|\cdot\|_\infty\) et \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) de la norme subordonnée, qui vaut \(\|A\| = \max_i \sum_j |a_{ij}|\).

1. Soit \(A \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) avec \(\|A\| < 1\). Montrer que \(\sum A^k\) converge, que \(I_2 – A\) est inversible d’inverse \(\sum_{k \geq\, 0} A^k\), et que \(\|(I_2 – A)^{-1}\| \leq\, \frac{1}{1 – \|A\|}\).
2. Application : \(A = \begin{pmatrix} 0 1/2 \\ 1/2 0 \end{pmatrix}\). Calculer \(A^2\), puis \(\sum_{k \geq\, 0} A^k\). Vérifier le résultat et comparer \(\|(I_2 – A)^{-1}\|\) à la majoration.
3. Soit \(M\) inversible et \(H\) avec \(\|H\| < \frac{1}{\|M^{-1}\|}\). Montrer que \(M + H\) est inversible. En déduire que \(GL_2(\mathbb{R})\) est ouvert.

Exercice 11 : Caractérisation des espaces de Banach par les séries

Soit \((E, \|\cdot\|)\) un espace vectoriel normé.

1. On suppose \(E\) complet. Montrer que toute série absolument convergente de \(E\) converge, et que \(\|\sum x_n\| \leq\, \sum \|x_n\|\).
2. On suppose que toute série absolument convergente de \(E\) converge. Soit \((y_n)\) une suite de Cauchy. Construire une extraction \(\varphi\) telle que \(\|y_{\varphi(k+1)} – y_{\varphi(k)}\| \leq\, 2^{-k}\) pour tout \(k\).
3. En déduire que \((y_{\varphi(k)})\) converge, puis que \((y_n)\) converge. Conclure.
4. Application : dans \((C([0,1]), \|\cdot\|_1)\), exhiber une série absolument convergente qui ne converge pas. On pourra utiliser les fonctions \(f_n\) de l’exercice 7 avec \(n = 2^k\).

Exercice 12 : Résolution de x = cos x

On note \(I = [0, 1]\) et \(f = \cos\).

1. Montrer que \(f(I) \subset I\) et que \(f\) est contractante sur \(I\) de constante \(k = \sin 1\).
2. En déduire que l’équation \(\cos x = x\) a une unique solution \(\ell\) dans \(I\), puis dans \(\mathbb{R}\).
3. On part de \(x_0 = 0\). Déterminer, par la majoration a priori, un nombre d’itérations qui garantit \(|x_n – \ell| \leq\, 10^{-6}\). On donne \(\sin 1 \approx 0{,}841\,47\).
4. On a calculé \(x_{29} \approx 0{,}739\,089\,3\) et \(x_{30} \approx 0{,}739\,082\,3\). Donner une majoration a posteriori de \(|x_{30} – \ell|\).

Exercice 13 : Méthode de Héron pour la racine de 2

On pose \(g(x) = \frac{1}{2}(x + \frac{2}{x})\) sur \(I = [1, 2]\).

1. Montrer que \(g(I) \subset I\) et que \(g\) est \(\frac{1}{2}\)-contractante sur \(I\).
2. En déduire que la suite \(x_0 = 1\), \(x_{n+1} = g(x_n)\) converge vers \(\sqrt{2}\). Calculer \(x_1, x_2, x_3\) sous forme de fractions.
3. Donner la majoration a posteriori de \(|x_3 – \sqrt{2}|\).
4. Montrer que \(x_{n+1} – \sqrt{2} = \frac{(x_n – \sqrt{2})^2}{2 x_n}\). Que dire de la vitesse réelle de convergence ?

Exercice 14 : Un système non linéaire dans le plan

On cherche les couples \((x, y) \in \mathbb{R}^2\) tels que

\[\begin{cases} x = \frac{1}{2}\cos y \\ y = \frac{1}{3}\sin x + \frac{1}{4} \end{cases}\]

1. Écrire le système sous la forme \(X = F(X)\) et montrer que \(F\) est \(\frac{1}{2}\)-contractante sur \((\mathbb{R}^2, \|\cdot\|_\infty)\).
2. En déduire que le système a une unique solution \(X^{*}\).
3. On part de \(X_0 = (0, 0)\). Calculer \(X_1\) et \(X_2\), puis majorer \(\|X_n – X^{*}\|_\infty\) a priori.
4. On donne \(X_6 \approx (0{,}460\,951 ;\ 0{,}398\,282)\) et \(X_7 \approx (0{,}460\,864 ;\ 0{,}398\,267)\). Majorer \(\|X_7 – X^{*}\|_\infty\).

Exercice 15 : Les hypothèses du théorème du point fixe

1. Montrer que \(f(x) = \frac{x}{2}\) est contractante de \(]0, 1]\) dans \(]0,1]\) et n’a pas de point fixe. Quelle hypothèse manque ?
2. Soit \(f(x) = x + \frac{1}{x}\) sur \(I = [1, +\infty[\). Montrer que \(f(I) \subset I\), que \(|f(x) – f(y)| < |x – y|\) pour \(x \neq y\) dans \(I\), et que \(f\) n’a pas de point fixe.
3. Montrer que, dans la question 2, il n’existe aucune constante \(k < 1\) telle que \(f\) soit \(k\)-lipschitzienne sur \(I\).
4. Soit \(K\) un espace métrique compact non vide et \(f : K \to K\) telle que \(d(f(x), f(y)) < d(x,y)\) pour \(x \neq y\). En étudiant \(x \mapsto d(x, f(x))\), montrer que \(f\) a un unique point fixe.

Exercice 16 : Une itérée contractante

Soit \((E, d)\) un espace métrique complet non vide et \(f : E \to E\).

1. Montrer que \(\cos\) n’est pas contractante sur \(\mathbb{R}\).
2. On suppose qu’une itérée \(f^p\) (\(p \geq\, 1\)) est contractante. Montrer que \(f\) a un unique point fixe \(\ell\).
3. Toujours sous cette hypothèse, montrer que pour tout \(x_0 \in E\), la suite \(x_{n+1} = f(x_n)\) converge vers \(\ell\).
4. Montrer que \(\cos \circ \cos\) est \((\sin 1)\)-lipschitzienne sur \(\mathbb{R}\). En déduire que pour tout réel \(x_0\), la suite \(x_{n+1} = \cos x_n\) converge vers l’unique solution de \(\cos x = x\).

Exercice 17 : Équation intégrale de Fredholm

Soit \(K : [0,1]^2 \to \mathbb{R}\) continue, \(M = \max |K|\), \(g \in C([0,1])\) et \(\lambda \in \mathbb{R}\) avec \(|\lambda| M < 1\). On cherche \(f \in C([0,1])\) telle que

\[\forall x \in [0,1], \quad f(x) = g(x) + \lambda \int_0^1 K(x,t) f(t)\,dt.\]

1. Pour \(f \in C([0,1])\), on note \(T(f)\) le second membre. Montrer que \(T(f)\) est continue.
2. Montrer que \(T\) est \(|\lambda| M\)-contractante pour \(\|\cdot\|_\infty\). En déduire que l’équation a une unique solution.
3. Cas particulier : \(g(x) = x\), \(\lambda = \frac{1}{2}\), \(K(x,t) = xt\). Déterminer la solution en posant \(c = \int_0^1 t f(t)\,dt\).
4. Toujours dans ce cas, calculer les itérées \(f_n = T^n(0)\) et \(\|f_n – f\|_\infty\).

Exercice 18 : Opérateur de Picard et exponentielle

Soit \(a > 0\) et \(E = C([0,a])\). Pour \(f \in E\), on pose \(\Phi(f)(x) = 1 + \int_0^x f(t)\,dt\).

1. Montrer que \(\Phi(E) \subset E\) et que \(\|\Phi(f) – \Phi(g)\|_\infty \leq\, a \|f – g\|_\infty\). Que peut-on conclure si \(a < 1\) ?
2. Montrer par récurrence que \(|\Phi^n(f)(x) – \Phi^n(g)(x)| \leq\, \frac{x^n}{n!}\|f – g\|_\infty\) pour \(x \in [0,a]\). En déduire que \(\Phi\) a un unique point fixe pour tout \(a > 0\).
3. Montrer que ce point fixe est \(x \mapsto e^x\). Calculer \(f_n = \Phi^n(1)\), où \(1\) est la fonction constante.
4. On pose \(\|f\|_w = \sup_{x \in [0,a]} e^{-2x}|f(x)|\). Montrer que \(\|\cdot\|_w\) est une norme équivalente à \(\|\cdot\|_\infty\) et que \(\Phi\) est \(\frac{1}{2}\)-contractante pour \(\|\cdot\|_w\).

Exercice 19 : Prolongement d’une fonction uniformément continue

La figure ci-dessous compare \(x \mapsto \sin(1/x)\) et \(x \mapsto x\sin(1/x)\) au voisinage de \(0\).

1. Soit \(f : ]0,1] \to \mathbb{R}\) uniformément continue. Montrer que pour toute suite \((x_n)\) de \(]0,1]\) de limite \(0\), la suite \((f(x_n))\) converge, et que sa limite ne dépend pas de la suite choisie.
2. En déduire que \(f\) se prolonge en une fonction continue sur \([0,1]\).
3. Montrer que \(x \mapsto \sin(1/x)\) n’est pas uniformément continue sur \(]0,1]\).
4. Montrer que \(h(x) = x\sin(1/x)\) est uniformément continue sur \(]0,1]\) et préciser son prolongement.

Exercice 20 : Prolongement des applications linéaires continues

Soit \(E\) un espace normé, \(D\) un sous-espace dense de \(E\), \(F\) un espace de Banach et \(u : D \to F\) linéaire telle que \(\|u(x)\| \leq\, C\|x\|\) pour tout \(x \in D\).

1. Montrer que \(u\) est uniformément continue sur \(D\), puis qu’elle admet un unique prolongement continu \(\tilde{u} : E \to F\).
2. Montrer que \(\tilde{u}\) est linéaire et que \(\|\tilde{u}(x)\| \leq\, C\|x\|\) pour tout \(x \in E\).
3. Application. On note \(B\) l’espace des fonctions bornées sur \([0,1]\) muni de \(\|\cdot\|_\infty\), \(\mathcal{E}\) le sous-espace des fonctions en escalier et \(\overline{\mathcal{E}}\) son adhérence. Montrer que l’intégrale \(I : \mathcal{E} \to \mathbb{R}\) se prolonge en une forme linéaire \(\tilde{I}\) sur \(\overline{\mathcal{E}}\) avec \(|\tilde{I}(f)| \leq\, \|f\|_\infty\).
4. Montrer que toute fonction continue sur \([0,1]\) appartient à \(\overline{\mathcal{E}}\).

Exercice 21 : Problème : perturbation lipschitzienne de l’identité

Soit \(E\) un espace de Banach, \(k \in [0,1[\) et \(g : E \to E\) une application \(k\)-lipschitzienne. On pose \(f = \mathrm{id}_E + g\). Ce résultat est le cœur de la démonstration du théorème d’inversion locale.

1. Soit \(y \in E\). Montrer que \(f(x) = y\) équivaut à \(x = \varphi_y(x)\), où \(\varphi_y(x) = y – g(x)\). En déduire que \(f\) est bijective.
2. Montrer que \(\|f(x) – f(x^{\prime})\| \geq\, (1 – k)\|x – x^{\prime}\|\). En déduire que \(f^{-1}\) est \(\frac{1}{1-k}\)-lipschitzienne.
3. Montrer que \(f\) est aussi \((1+k)\)-lipschitzienne. Conclure que \(f\) est un homéomorphisme de \(E\).
4. Application dans \(\mathbb{R}\) : \(f(x) = x + \frac{1}{2}\sin x\). Montrer que \(f\) est une bijection de \(\mathbb{R}\) et que \(|f^{-1}(y) – f^{-1}(y^{\prime})| \leq\, 2|y – y^{\prime}|\).
5. On résout \(f(x) = 1\) par \(x_0 = 1\), \(x_{n+1} = 1 – \frac{1}{2}\sin x_n\). On donne \(x_6 \approx 0{,}684\,978\) et \(x_7 \approx 0{,}683\,672\). Majorer l’erreur \(|x_7 – x^{*}|\).
6. Application linéaire : si \(A \in \mathcal{L}_c(E)\) vérifie \(\|A\| < 1\), retrouver que \(\mathrm{id}_E + A\) est bijective et que \(\|(\mathrm{id}_E + A)^{-1}\| \leq\, \frac{1}{1 – \|A\|}\).

Le corrigé des exercices

Chaque exercice est corrigé en détail, question par question, sur la page suivante.

Pour aller plus loin en L3

• Le cours : complétude et point fixe, cours de maths en L3
• À maîtriser avant : Espaces normés et applications linéaires continues
• Chapitre précédent : Compacité et connexité
• Chapitre suivant : Tribus, mesures et fonctions mesurables
• Tester vos connaissances : QCM de maths en L3 par chapitre
• Le sommaire : tous les chapitres de maths de L3 et la licence de maths de L1 à L3