Espaces vectoriels normés : exercices de maths en L3 corrigés

Sommaire

Ces exercices normés L3 entraînent les gestes de base du chapitre. Vous montrerez qu’une application est une norme, puis vous comparerez des normes et prouverez leur non-équivalence à l’aide de suites bien choisies. Plusieurs énoncés demandent de calculer une norme subordonnée, parfois atteinte, parfois seulement approchée.

La série aborde aussi les formes linéaires non continues en dimension infinie, les applications bilinéaires, les normes matricielles et la série de Neumann. Le dernier exercice est un problème de synthèse sur la frontière entre dimension finie et dimension infinie.

Cherchez chaque exercice sans aide pendant un vrai moment. Faites un dessin quand c’est possible, puis comparez votre rédaction au corrigé détaillé.

Avant de commencer, relisez le cours de maths en L3 sur espaces vectoriels normés.

Exercice 1 : Une norme sur R² et sa boule unité

Pour \((x, y) \in \mathbb{R}^2\), on pose \(N(x, y) = \max(|x|, |x – y|)\).

Montrer que \(N\) est une norme sur \(\mathbb{R}^2\).
Décrire et dessiner la boule unité fermée de \(N\). Préciser ses sommets.
Déterminer les meilleures constantes \(\alpha, \beta > 0\) telles que \(\alpha N_\infty \leq\, N \leq\, \beta N_\infty\), où \(N_\infty(x,y) = \max(|x|, |y|)\).

Exercice 2 : Comparaison des normes usuelles de K^n

Soit \(n \geq\, 2\). Sur \(\mathbb{K}^n\), on considère les normes \(N_1\), \(N_2\) et \(N_\infty\).

Montrer que \(N_\infty \leq\, N_2 \leq\, N_1\).
Montrer que \(N_1 \leq\, \sqrt{n} \, N_2\) et que \(N_2 \leq\, \sqrt{n} \, N_\infty\).
Montrer que toutes les constantes obtenues sont optimales.

Exercice 3 : Suites sommables et suites bornées

On rappelle que \(\ell^1\) et \(\ell^\infty\) désignent les espaces de suites réelles sommables et bornées, indexées par \(\mathbb{N}\).

Montrer que \(\ell^1 \subset \ell^\infty\), que l’inclusion est stricte et que \(\|u\|_\infty \leq\, \|u\|_1\) pour tout \(u \in \ell^1\).
Pour \(k \geq\, 1\), soit \(v^{(k)}\) la suite dont les \(k\) premiers termes valent \(1/k\) et les autres \(0\). Calculer \(\|v^{(k)}\|_1\) et \(\|v^{(k)}\|_\infty\).
En déduire que les normes \(\|\cdot\|_1\) et \(\|\cdot\|_\infty\) ne sont pas équivalentes sur \(\ell^1\). La suite \((v^{(k)})\) converge-t-elle dans \((\ell^1, \|\cdot\|_1)\) ? Dans \((\ell^1, \|\cdot\|_\infty)\) ?

Exercice 4 : Normes intégrales sur C([0,1])

Sur \(E = C([0,1], \mathbb{R})\), on considère \(\|f\|_1 = \int_0^1 |f|\), \(\|f\|_2 = \big( \int_0^1 f^2 \big)^{1/2}\) et \(\|f\|_\infty = \sup_{[0,1]} |f|\). Pour \(n \geq\, 1\), on pose \(f_n(x) = \max(0, 1 – nx)\). La figure ci-dessous représente quelques-unes de ces fonctions.

Montrer que \(\|f\|_1 \leq\, \|f\|_2 \leq\, \|f\|_\infty\) pour tout \(f \in E\).
Calculer \(\|f_n\|_1\), \(\|f_n\|_2\) et \(\|f_n\|_\infty\).
En déduire que deux quelconques de ces trois normes ne sont pas équivalentes.

Exercice 5 : Une norme de type C^1

Soit \(E = C^1([0,1], \mathbb{R})\). Pour \(f \in E\), on pose \(N(f) = |f(0)| + \|f^{\prime}\|_\infty\).

Montrer que \(N\) est une norme sur \(E\).
Montrer que \(\|f\|_\infty \leq\, N(f)\) pour tout \(f \in E\).
À l’aide des fonctions \(x \mapsto x^n\), montrer que \(N\) et \(\|\cdot\|_\infty\) ne sont pas équivalentes sur \(E\).
On note \(D : f \mapsto f^{\prime}\), de \(E\) dans \(C([0,1])\) muni de \(\|\cdot\|_\infty\). Est-elle continue lorsque \(E\) est muni de \(N\) ? Lorsque \(E\) est muni de \(\|\cdot\|_\infty\) ?

Exercice 6 : Deux normes non équivalentes sur R[X]

Sur \(\mathbb{R}[X]\), on pose \(N_1(P) = \sup_{x \in [0,1]} |P(x)|\) et \(N_2(P) = \sup_{x \in [2,3]} |P(x)|\). La figure ci-dessous montre les graphes de \(x^3\) et \((3 – x)^3\) sur \([0,3]\).

Montrer que \(N_1\) et \(N_2\) sont des normes sur \(\mathbb{R}[X]\).
Montrer qu’il n’existe aucune constante \(C\) telle que \(N_2 \leq\, C N_1\).
Montrer qu’il n’existe aucune constante \(C\) telle que \(N_1 \leq\, C N_2\).
Que peut-on dire des restrictions de \(N_1\) et \(N_2\) à \(\mathbb{R}_n[X]\) ?

Exercice 7 : Continuité de formes linéaires sur C([0,1])

On munit \(E = C([0,1], \mathbb{R})\) de la norme \(\|\cdot\|_\infty\).

Montrer que \(\psi : f \mapsto \int_0^1 t f(t) \, dt\) est une forme linéaire continue et calculer \(\|\psi\|_{\mathrm{op}}\).
Même question pour \(\chi : f \mapsto f(0) + f(1)\).
Même question pour \(\theta : f \mapsto f(0) – f(1)\).

Exercice 8 : Une norme subordonnée non atteinte

Sur \(E = C([0,1], \mathbb{R})\) muni de \(\|\cdot\|_\infty\), on considère \(\varphi(f) = \int_0^1 f(t) \, dt – f(1/2)\).

Montrer que \(\varphi\) est continue et que \(\|\varphi\|_{\mathrm{op}} \leq\, 2\).
Pour \(k \geq\, 3\), on note \(f_k\) la fonction affine par morceaux égale à \(1\) hors de \(\big[\frac12 – \frac1k, \frac12 + \frac1k\big]\), égale à \(-1\) en \(\frac12\) et affine sur \(\big[\frac12 – \frac1k, \frac12\big]\) et sur \(\big[\frac12, \frac12 + \frac1k\big]\). Calculer \(\varphi(f_k)\). En déduire \(\|\varphi\|_{\mathrm{op}}\).
Montrer qu’il n’existe aucune \(f \in E\) telle que \(\|f\|_\infty = 1\) et \(|\varphi(f)| = 2\).

Exercice 9 : Évaluation en un point et choix de la norme

Soit \(E = C([0,1], \mathbb{R})\) et \(\delta_0 : f \mapsto f(0)\). On note \(H = \ker \delta_0\).

Montrer que \(\delta_0\) est continue sur \((E, \|\cdot\|_\infty)\) et calculer sa norme.
À l’aide de \(g_n(x) = (1 – x)^n\), montrer que \(\delta_0\) n’est pas continue sur \((E, \|\cdot\|_1)\).
Montrer que \(H\) est fermé dans \((E, \|\cdot\|_\infty)\).
Montrer que \(H\) est dense dans \((E, \|\cdot\|_1)\).

Exercice 10 : Dérivation des polynômes

Soit \(D : \mathbb{R}[X] \to \mathbb{R}[X]\), \(P \mapsto P^{\prime}\). Pour \(P = \sum_{k} a_k X^k\), on pose \(N_\infty(P) = \max_k |a_k|\) et \(N(P) = \sum_k k! \, |a_k|\).

Montrer que \(D\) n’est pas continue de \((\mathbb{R}[X], N_\infty)\) dans lui-même.
Montrer que \(D\) n’est pas continue lorsque \(\mathbb{R}[X]\) est muni, au départ et à l’arrivée, de \(\|P\| = \sup_{[0,1]} |P|\).
Montrer que \(N\) est une norme sur \(\mathbb{R}[X]\), que \(D\) est continue de \((\mathbb{R}[X], N)\) dans lui-même et calculer \(\|D\|_{\mathrm{op}}\).

Exercice 11 : Opérateur de Volterra

Sur \(E = C([0,1], \mathbb{R})\), on définit \(V f(x) = \int_0^x f(t) \, dt\).

Montrer que \(V\) est un endomorphisme de \(E\).
On munit \(E\) de \(\|\cdot\|_\infty\). Montrer que \(V\) est continue et calculer \(\|V\|_{\mathrm{op}}\).
On munit \(E\) de \(\|\cdot\|_1\). Montrer que \(\|V f\|_1 \leq\, \int_0^1 (1 – t) |f(t)| \, dt\), puis que \(V\) est continue.
Avec \(h_n(t) = 2n \max(0, 1 – nt)\), calculer \(\|h_n\|_1\) et \(\|V h_n\|_1\). En déduire la norme de \(V\) pour \(\|\cdot\|_1\) et montrer qu’elle n’est pas atteinte.

Exercice 12 : Opérateurs de multiplication sur l^1

Soit \(a = (a_n) \in \ell^\infty\) une suite réelle bornée. Pour \(u \in \ell^1\), on pose \(M_a(u) = (a_n u_n)_{n \in \mathbb{N}}\).

Montrer que \(M_a\) est un endomorphisme continu de \(\ell^1\) et que \(\|M_a\|_{\mathrm{op}} = \|a\|_\infty\).
Montrer que la borne supérieure qui définit \(\|M_a\|_{\mathrm{op}}\) est atteinte si et seulement si \(\sup_n |a_n|\) est atteint.
Donner un exemple de suite \(a\) pour laquelle la norme de \(M_a\) n’est pas atteinte.
Montrer que si \(a_n = n\), la formule \(M_a(u)\) ne définit pas une application de \(\ell^1\) dans \(\ell^1\).

Exercice 13 : Calculs de normes matricielles

On considère \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 4 & 0 \end{pmatrix}\).

Calculer \(\|A\|_1\), \(\|A\|_\infty\), \(\|B\|_1\) et \(\|B\|_\infty\).
Calculer \(N_2(Ax)\) et \(N_2(Bx)\) pour \(x = (x_1, x_2)\). En déduire \(\|A\|_2\) et \(\|B\|_2\).
Calculer les rayons spectraux \(\rho(A)\) et \(\rho(B)\), puis les normes de Frobenius. Comparer.

Exercice 14 : Formules des normes subordonnées N1 et N∞

Soit \(A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\).

Montrer que la norme subordonnée à \(N_\infty\) vaut \(\|A\|_\infty = \max_i \sum_j |a_{ij}|\).
Montrer que la norme subordonnée à \(N_1\) vaut \(\|A\|_1 = \max_j \sum_i |a_{ij}|\).
Montrer que \(\|A\|_1 = \|A^{T}\|_\infty\).
Montrer que la norme de Frobenius est sous-multiplicative, mais n’est subordonnée à aucune norme si \(n \geq\, 2\).

Exercice 15 : Rayon spectral et série de Neumann

Soit \(\|\cdot\|\) une norme sur \(\mathbb{C}^n\) et \(\|\cdot\|_{\mathrm{op}}\) la norme subordonnée sur \(\mathcal{M}_n(\mathbb{C})\).

Montrer que \(\rho(A) \leq\, \|A\|_{\mathrm{op}}\) pour toute \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})\).
Avec \(N = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\), montrer que l’inégalité peut être stricte et que \(\rho\) n’est pas une norme.
On suppose \(\|A\|_{\mathrm{op}} < 1\). Montrer que \(\sum A^k\) converge, que \(I_n – A\) est inversible d’inverse \(\sum_{k=0}^{+\infty} A^k\) et que \(\|(I_n – A)^{-1}\|_{\mathrm{op}} \leq\, \dfrac{1}{1 – \|A\|_{\mathrm{op}}}\).
Vérifier ce résultat pour \(A = \begin{pmatrix} 0 & 1/2 \\ 1/3 & 0 \end{pmatrix}\) avec la norme \(\|\cdot\|_\infty\).

Exercice 16 : Équivalence des normes sur R_n[X]

Soit \(n \geq\, 1\). Pour \(P \in \mathbb{R}_n[X]\), on pose \(N(P) = \sum_{k=0}^n |P(k)|\).

Montrer que \(N\) est une norme sur \(\mathbb{R}_n[X]\). Est-ce encore une norme sur \(\mathbb{R}_{n+1}[X]\) ?
Montrer qu’il existe \(C_n > 0\) tel que \(\sup_{[0,1]} |P^{\prime}| \leq\, C_n N(P)\) pour tout \(P \in \mathbb{R}_n[X]\).
Pour \(n = 1\), déterminer la meilleure constante \(C_1\).
Soit \((P_m)\) une suite de \(\mathbb{R}_n[X]\) telle que \(P_m(k) \to 0\) pour \(k = 0, \ldots, n\). Montrer que les coefficients de \(P_m\) tendent vers \(0\) et que \(P_m\) converge uniformément vers \(0\) sur \([0,1]\).

Exercice 17 : Applications bilinéaires continues

Soit \(E = C([0,1], \mathbb{R})\) et \(B(f, g) = \int_0^1 f(t) g(t) \, dt\).

Montrer que \(B\) est bilinéaire continue sur \((E, \|\cdot\|_\infty)^2\) et que la meilleure constante \(C\) dans \(|B(f,g)| \leq\, C \|f\|_\infty \|g\|_\infty\) vaut \(1\).
Avec \(f_n(x) = n \max(0, 1 – nx)\), montrer que \(B\) n’est pas continue sur \((E, \|\cdot\|_1)^2\).
Montrer que \(B\) est continue sur \((E, \|\cdot\|_2)^2\), où \(\|f\|_2 = \big(\int_0^1 f^2\big)^{1/2}\).
Montrer que le produit \(\Pi : (f,g) \mapsto fg\) est bilinéaire continu de \((E, \|\cdot\|_\infty)^2\) dans \((E, \|\cdot\|_\infty)\).

Exercice 18 : Produit matriciel et ouverture de GL_n

On munit \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) d’une norme subordonnée \(\|\cdot\|\).

Montrer que \((A, B) \mapsto AB\) est bilinéaire continue.
Montrer que \(\|A^2 – B^2\| \leq\, (\|A\| + \|B\|) \, \|A – B\|\).
Montrer que \(\det\) est continue sur \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) et en déduire que \(GL_n(\mathbb{R})\) est un ouvert.
Montrer que \(GL_n(\mathbb{R})\) est dense dans \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\).

Exercice 19 : Opérateur à noyau

Sur \(E = C([0,1], \mathbb{R})\) muni de \(\|\cdot\|_\infty\), on pose \(T f(x) = \int_0^1 (x – t) f(t) \, dt\).

Montrer que \(T\) est un endomorphisme de \(E\) dont l’image est contenue dans \(\mathbb{R}_1[X]\).
Calculer \(g(x) = \int_0^1 |x – t| \, dt\) pour \(x \in [0,1]\) et en déduire \(\|T\|_{\mathrm{op}} \leq\, \sup_{[0,1]} g\).
Calculer \(T f\) pour \(f = -1\). En déduire \(\|T\|_{\mathrm{op}}\).
On munit maintenant l’espace de départ de \(\|\cdot\|_1\) et celui d’arrivée de \(\|\cdot\|_\infty\). Montrer que \(T\) reste continue, de norme au plus \(1\).

Exercice 20 : Dual de l^1

On travaille avec des suites réelles. On note \(e_n\) la suite dont le terme d’indice \(n\) vaut \(1\) et les autres \(0\).

Soit \(a \in \ell^\infty\). Montrer que \(\varphi_a(u) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n u_n\) définit une forme linéaire continue sur \(\ell^1\) et que \(\|\varphi_a\|_{\mathrm{op}} = \|a\|_\infty\).
Soit \(u \in \ell^1\) et \(S_N = \sum_{n=0}^N u_n e_n\). Montrer que \(S_N \to u\) dans \(\ell^1\).
Soit \(\varphi\) une forme linéaire continue sur \(\ell^1\). On pose \(a_n = \varphi(e_n)\). Montrer que \(a \in \ell^\infty\) et que \(\varphi = \varphi_a\).
En déduire que \(a \mapsto \varphi_a\) est une bijection linéaire isométrique de \(\ell^\infty\) sur le dual topologique de \(\ell^1\).
Montrer que la question 2 tombe en défaut dans \(\ell^\infty\) pour la suite constante égale à \(1\).

Exercice 21 : Problème : dimension finie contre dimension infinie

Ce problème rassemble les phénomènes qui distinguent la dimension infinie.

Partie A. Une boule non compacte. On munit \(E = C([0,1], \mathbb{R})\) de \(\|\cdot\|_\infty\). Pour \(n \in \mathbb{N}\), on note \(f_n\) la fonction « bosse » nulle hors de \(\big[\frac{1}{n+2}, \frac{1}{n+1}\big]\), affine sur chaque moitié de cet intervalle et valant \(1\) en son milieu.

Montrer que \(\|f_n\|_\infty = 1\) et que \(\|f_n – f_m\|_\infty = 1\) pour \(n \neq m\).
En déduire que la boule unité fermée de \(E\) n’est pas compacte. Comparer avec le cas de la dimension finie.

Partie B. Un hyperplan dense. On munit \(\mathbb{R}[X]\) de \(\|P\| = \sup_{[0,1]} |P|\) et l’on pose \(\varphi(P) = P(2)\).

Montrer que \(\varphi\) n’est pas continue.
Soit \(P_n = (X/2)^n\). Calculer \(\|P_n\|\) et \(\varphi(P_n)\). En déduire que \(\ker \varphi\) est dense dans \(\mathbb{R}[X]\).

Partie C. Le cas général. Soit \(\varphi\) une forme linéaire sur un espace normé \(E\).

Montrer que si \(\varphi\) est continue, alors \(\ker \varphi\) est fermé.
On suppose \(\varphi\) non continue. Montrer qu’il existe une suite \((y_n)\) qui tend vers \(0\) avec \(\varphi(y_n) = 1\) pour tout \(n\). En déduire que \(\ker \varphi\) est dense dans \(E\).
Conclure : \(\varphi\) est continue si et seulement si \(\ker \varphi\) est fermé. Que dire des hyperplans d’un espace de dimension finie ?

Le corrigé des exercices

Chaque exercice est corrigé en détail, question par question, sur la page suivante.

Pour aller plus loin en L3

Le cours : espaces vectoriels normés, cours de maths en L3
À maîtriser avant : Espaces métriques : ouverts, fermés, continuité
Chapitre précédent : Espaces métriques : ouverts, fermés, continuité
Chapitre suivant : Compacité et connexité
Le même thème en maths spé : espaces vectoriels normés, exercices de maths spé
Tester vos connaissances : QCM de maths en L3 par chapitre
Le sommaire : tous les chapitres de maths de L3 et la licence de maths de L1 à L3

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