Ce QCM vérifie la maîtrise des tribus et des mesures en L3 : tribu engendrée, tribu borélienne, mesure de Lebesgue, ensembles négligeables et fonctions mesurables. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Tribus, mesures et fonctions mesurables du programme de troisième année de licence de mathématiques (L3), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.
🎓 Tribus et mesures - QCM de maths en L3
Score : 0 / 10
Répondues : 0 / 10
Question 1
Une tribu sur \(\Omega\) est une famille de parties de \(\Omega\) contenant \(\Omega\) et stable par :
Aréunion dénombrable et intersection dénombrable
Bpassage au complémentaire et réunion finie
Cpassage au complémentaire et réunion dénombrable
Dréunion quelconque et intersection finie
Question 2
Sur \(\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}\), combien d’éléments possède la tribu engendrée par \(\{1,2\}\) et \(\{3\}\) ?
A\(6\)
B\(64\)
C\(8\)
D\(4\)
Question 3
Que vaut \(\lambda(\mathbb{Q}\cap[0,1])\), où \(\lambda\) est la mesure de Lebesgue ?
A\(\frac12\)
B\(0\)
CElle n’est pas définie car \(\mathbb{Q}\cap[0,1]\) n’est pas borélien
D\(1\)
Question 4
Pour la mesure de Lebesgue et \(A_n = [n,+\infty[\), que valent \(\lim\lambda(A_n)\) et \(\lambda\left(\bigcap_n A_n\right)\) ?
A\(1\) et \(0\)
B\(+\infty\) et \(+\infty\)
C\(0\) et \(0\)
D\(+\infty\) et \(0\)
Question 5
L’ensemble triadique de Cantor \(K\subset[0,1]\) est :
Adénombrable et de mesure de Lebesgue nulle
Bnon dénombrable, donc de mesure de Lebesgue strictement positive
Cnon dénombrable et de mesure de Lebesgue nulle
Ddénombrable et de mesure de Lebesgue \(\frac12\)
Question 6
Sur \(\mathbb{R}\), on pose \(\mu = \delta_0 + 2\,\delta_1 + \lambda\). Que vaut \(\mu(]0,1])\) ?
A\(3\)
B\(4\)
C\(2\)
D\(1\)
Question 7
Soit \(f : (\Omega,\mathcal{A})\to\mathbb{R}\). Quelle condition suffit à rendre \(f\) mesurable (pour la tribu borélienne) ?
A\(f^{-1}(]a,+\infty[)\in\mathcal{A}\) pour tout réel \(a\)
B\(f^{-1}(\{a\})\in\mathcal{A}\) pour tout réel \(a\)
C\(f(A)\) est borélien pour tout \(A\in\mathcal{A}\)
D\(|f|\) est mesurable
Question 8
Que fournit le théorème de Carathéodory à partir d’une mesure extérieure \(\mu^*\) sur \(\Omega\) ?
AUne mesure \(\sigma\)-additive définie sur toutes les parties de \(\Omega\)
BUne mesure définie exactement sur la tribu borélienne
CUne mesure finie prolongeant \(\mu^*\)
DUne tribu (les parties \(\mu^*\)-mesurables) sur laquelle \(\mu^*\) est une mesure
Question 9
On approche \(f\geqslant 0\) par \(\varphi_n = \min\left(n,\ 2^{-n}\lfloor 2^n f\rfloor\right)\). Pour \(f(x) = x\), que vaut \(\varphi_2(0{,}7)\) ?
A\(\frac12\)
B\(\frac34\)
C\(\frac14\)
D\(0{,}7\)
Question 10
Une réunion dénombrable d’ensembles négligeables est :
Anégligeable seulement si les ensembles sont deux à deux disjoints
Bnégligeable
Cde mesure éventuellement strictement positive
Dnon mesurable en général
🎉 QCM terminé !
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Ce que vérifie ce QCM de tribus et mesures en L3
Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :
la définition d’une tribu et le calcul d’une tribu engendrée ;
les mesures de comptage, de Dirac et de Lebesgue ;
la continuité monotone d’une mesure et son hypothèse de finitude ;
les ensembles négligeables : dénombrables, ensemble de Cantor ;
la mesurabilité d’une fonction et l’approximation par des fonctions étagées.
L’erreur la plus fréquente
L’erreur classique : écrire \(\mu(\bigcap A_n) = \lim\mu(A_n)\) pour toute suite décroissante. Il faut \(\mu(A_{n_0}) < +\infty\) pour un certain rang : avec \(A_n = [n,+\infty[\), on a \(\lambda(A_n) = +\infty\) pour tout \(n\) mais \(\bigcap A_n = \varnothing\).
Comment réviser avant de refaire le test
Pour montrer qu’une fonction est mesurable, ne travaillez pas sur tous les boréliens : il suffit de tester une famille qui engendre la tribu borélienne, par exemple les demi-droites \(]a,+\infty[\). Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.
Pourquoi ne pas mesurer toutes les parties de \(\mathbb{R}\) ?
Parce qu’il n’existe aucune mesure définie sur \(\mathcal{P}(\mathbb{R})\), invariante par translation et valant \(1\) sur \([0,1]\) (ensemble de Vitali). La tribu de Lebesgue est un compromis : assez grande pour l’analyse, assez petite pour la \(\sigma\)-additivité.
Négligeable et dénombrable, est-ce la même chose ?
Non. Toute partie dénombrable de \(\mathbb{R}\) est Lebesgue-négligeable, mais l’ensemble triadique de Cantor est négligeable et non dénombrable : il a la puissance du continu.
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