Complétude et point fixe : QCM de maths en L3 corrigé

Sommaire

Ce QCM vérifie la maîtrise de la complétude en L3 : suites de Cauchy, espaces de Banach, séries absolument convergentes et théorème du point fixe de Banach-Picard. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Complétude, espaces de Banach et point fixe du programme de troisième année de licence de mathématiques (L3), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.

🎓 Complétude et point fixe - QCM de maths en L3

Score : 0 / 10

Répondues : 0 / 10

Question 1

Une suite \((x_n)\) d’un espace métrique est de Cauchy si :

A \(\forall\varepsilon > 0,\ \exists N,\ \forall p, q\geqslant N,\ d(x_p,x_q)\leqslant\varepsilon\)

B \(\forall\varepsilon > 0,\ \exists N,\ \forall n\geqslant N,\ d(x_n,x_{n+1})\leqslant\varepsilon\)

C pour tout \(p\) fixé, \(d(x_{n+p},x_n)\to 0\) quand \(n\to+\infty\)

D \(\exists N,\ \forall\varepsilon > 0,\ \forall p, q\geqslant N,\ d(x_p,x_q)\leqslant\varepsilon\)

Question 2

Lequel de ces espaces normés n’est pas complet ?

A \(C([0,1])\) muni de \(\|f\|_\infty = \sup|f|\)

B \(\mathbb{R}^n\) muni d’une norme quelconque

C \(C([0,1])\) muni de \(\|f\|_1 = \int_0^1|f|\)

D \(\ell^1\) muni de \(\|\cdot\|_1\)

Question 3

Soit \(A\) une partie d’un espace métrique complet \(E\). \(A\) est complète si et seulement si :

A \(A\) est fermée dans \(E\)

B \(A\) est bornée

C \(A\) est compacte

D \(A\) est ouverte

Question 4

\(f\) est \(\frac12\)-contractante sur un complet, \(x_{n+1} = f(x_n)\) et \(d(x_0,x_1) = 1\). Quelle majoration de \(d(x_{10},\ell)\), où \(\ell\) est le point fixe, donne l’estimation \(\frac{k^n}{1-k}d(x_0,x_1)\) ?

A \(2^{-11}\)

B \(2^{-10}\)

C \(2^{-8}\)

D \(2^{-9}\)

Question 5

\(f(x) = x + \frac1x\) envoie \([1,+\infty[\) dans lui-même et vérifie \(|f(x)-f(y)| < |x-y|\) pour \(x\neq y\), mais n’a pas de point fixe. Pourquoi cela ne contredit-il pas le théorème de Banach-Picard ?

A \(f\) ne laisse pas \([1,+\infty[\) stable

B \(f\) n’est pas contractante : il n’existe aucune constante \(k < 1\) uniforme

C \(f\) n’est pas continue sur \([1,+\infty[\)

D \([1,+\infty[\) n’est pas complet

Question 6

Un espace vectoriel normé \(E\) est un espace de Banach si et seulement si :

A toute série convergente de \(E\) a des sommes partielles bornées

B toute série de \(E\) dont le terme général tend vers \(0\) converge

C toute série convergente de \(E\) est absolument convergente

D toute série absolument convergente de \(E\) converge dans \(E\)

Question 7

Quel argument est au cœur de la complétude de \(\big(C([a,b]),\|\cdot\|_\infty\big)\) ?

A Toute fonction continue sur \([a,b]\) y est uniformément continue

B Une limite simple de fonctions continues est continue

C Toute suite de \(C([a,b])\) admet une valeur d’adhérence car \([a,b]\) est compact

D Une limite uniforme de fonctions continues est continue

Question 8

Dans une algèbre de Banach d’unité \(e\), si \(\|u\| < 1\), vers quoi converge la série \(\sum_{n\geqslant 0}u^n\) ?

A \(u\,(e-u)^{-1}\)

B \(e-u\)

C \((e-u)^{-1}\)

D \((e+u)^{-1}\)

Question 9

Soit \(F\) un sous-espace vectoriel de dimension finie d’un espace normé \(E\) quelconque. Alors :

A \(F\) est dense dans \(E\)

B \(F\) est fermé dans \(E\) seulement si \(E\) est complet

C \(F\) est fermé dans \(E\)

D \(F\) est ouvert dans \(E\)

Question 10

Soit \(A\) une partie dense d’un espace métrique \(E\) et \(f : A\to F\). Quelles hypothèses garantissent que \(f\) se prolonge de façon unique en une application continue sur \(E\) ?

A \(f\) continue et \(F\) complet

B \(f\) uniformément continue et \(F\) complet

C \(f\) continue et bornée, et \(F\) complet

D \(f\) uniformément continue et \(E\) complet

🎉 QCM terminé !

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Ce que vérifie ce QCM de complétude et point fixe en L3

Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :

la définition des suites de Cauchy et des espaces complets ;
les fermés d’un complet et la complétude de la dimension finie ;
la complétude de \(C([a,b])\) pour \(\|\cdot\|_\infty\) et un espace normé non complet ;
la caractérisation des Banach par les séries absolument convergentes ;
le point fixe de Banach-Picard et l’estimation d’erreur ;
le prolongement des applications uniformément continues.

L’erreur la plus fréquente

L’erreur classique : appliquer le point fixe à une application qui vérifie seulement \(d(f(x),f(y)) < d(x,y)\). Sans constante \(k < 1\) uniforme, le théorème tombe : \(x\mapsto x + \frac1x\) sur \([1,+\infty[\) n’a aucun point fixe.

Comment réviser avant de refaire le test

Pour appliquer Banach-Picard, vérifiez toujours les trois hypothèses dans l’ordre : espace complet (souvent un fermé d’un complet), stabilité \(f(F)\subset F\), et constante de contraction \(k < 1\) obtenue par l’inégalité des accroissements finis. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.

Le cours et les exercices du même chapitre

Un score faible signale donc simplement qu’il faut reprendre la leçon avant de recommencer :

Le cours : Complétude, espaces de Banach et point fixe, avec les définitions, les théorèmes et leurs démonstrations.
Les exercices du chapitre, de l’application directe au problème de synthèse.
Le corrigé détaillé des exercices, rédigé comme on l’attend en devoir.

Les autres QCM de maths en L3

Dans la continuité du programme, voici les chapitres voisins : Espaces vectoriels normés, Compacité et connexité, Tribus et mesures, Intégrale de Lebesgue. Par ailleurs, le sommaire des QCM de maths en L3 rassemble les 20 chapitres de l’année. Enfin, la page des QCM de maths du CP au post-bac présente tous les niveaux, de l’école primaire à la licence.

Questions fréquentes

Pourquoi l’estimation \(d(x_n,\ell)\leq\,\frac{k^n}{1-k}d(x_0,x_1)\) est-elle utile ?

Elle se calcule avant de connaître \(\ell\) : elle donne le nombre d’itérations nécessaire pour une précision fixée. La convergence est géométrique de raison \(k\).

Comment montrer qu’un espace normé n’est pas complet ?

On exhibe une suite de Cauchy qui n’a pas de limite dans l’espace, souvent parce que sa limite naturelle sort de l’espace : des fonctions continues convergeant en norme \(\|\cdot\|_1\) vers une fonction en escalier, ou des polynômes convergeant uniformément vers \(e^x\).