Arithmétique et Z/nZ : QCM de maths en L2 corrigé

Sommaire

Ce QCM vérifie la maîtrise de l’arithmétique modulaire et de l’anneau \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) en L2 : congruences, classes inversibles, indicatrice d’Euler, petit théorème de Fermat, théorème chinois, carrés de \(\mathbb{F}_p\) et chiffrement RSA. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Arithmétique et anneau Z/nZ du programme de deuxième année de licence de mathématiques (L2), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.

🎓 Arithmétique et Z/nZ - QCM de maths en L2

Score : 0 / 10

Répondues : 0 / 10

Question 1

À quelle condition la classe \(\bar a\) est-elle inversible dans \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) ?

A \(a\) est un nombre premier

B \(\mathrm{pgcd}(a, n) = 1\)

C \(n\) est un nombre premier et \(a \neq 0\)

D \(a\) ne divise pas \(n\)

Question 2

Quel est l’inverse de \(\bar 7\) dans \(\mathbb{Z}/26\mathbb{Z}\) ?

A \(\overline{11}\)

B \(\overline{15}\)

C \(\overline{19}\)

D \(\overline{4}\)

Question 3

Que vaut l’indicatrice d’Euler \(\varphi(36)\) ?

A \(12\)

B \(35\)

C \(6\)

D \(24\)

Question 4

Quel est le reste de la division euclidienne de \(2^{100}\) par \(7\) ?

A \(4\)

B \(3\)

C \(1\)

D \(2\)

Question 5

Quelles sont les solutions du système \(x \equiv 2 \pmod 3\) et \(x \equiv 3 \pmod 5\) ?

A \(x \equiv 11 \pmod{15}\)

B \(x \equiv 5 \pmod{15}\)

C \(x \equiv 13 \pmod{15}\)

D \(x \equiv 8 \pmod{15}\)

Question 6

Pourquoi \(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\) n’est-il pas un corps ?

A Parce que la multiplication n’y est pas commutative.

B Parce que \(\bar 5\) n’est pas inversible, \(5\) ne divisant pas \(6\).

C Parce que \(\bar 2 \cdot \bar 3 = \bar 0\) alors que \(\bar 2 \neq \bar 0\) et \(\bar 3 \neq \bar 0\).

D Parce qu’un corps fini doit avoir un nombre impair d’éléments.

Question 7

Quel est l’énoncé du petit théorème de Fermat pour un nombre premier \(p\) ?

A Si \(p\) ne divise pas \(a\), alors \(a^{p+1} \equiv a \pmod p\).

B Si \(p\) ne divise pas \(a\), alors \(a^{p} \equiv 1 \pmod p\).

C Pour tout entier \(a\), \(a^{p-1} \equiv 1 \pmod p\).

D Si \(p\) ne divise pas \(a\), alors \(a^{p-1} \equiv 1 \pmod p\).

Question 8

Combien d’éléments de \(\mathbb{F}_{11}\), en comptant \(\bar 0\), sont des carrés ?

A \(10\)

B \(11\)

C \(6\)

D \(5\)

Question 9

Dans un système RSA avec \(p = 5\), \(q = 11\) et l’exposant public \(e = 3\), quel est l’exposant secret \(d\) (compris entre \(1\) et \(\varphi(n)\)) ?

A \(27\)

B \(13\)

C \(19\)

D \(37\)

Question 10

Soit \(n \geqslant 2\), et \(a \equiv b\), \(c \equiv d \pmod n\) avec \(a, b, c, d \in \mathbb{N}\). Laquelle de ces conclusions est fausse en général ?

A \(a^{c} \equiv b^{d} \pmod n\)

B \(ac \equiv bd \pmod n\)

C \(a^{5} \equiv b^{5} \pmod n\)

D \(a + c \equiv b + d \pmod n\)

🎉 QCM terminé !

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Ce que vérifie ce QCM de arithmétique et Z/nZ en L2

Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :

la construction de \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) comme ensemble quotient et la compatibilité des opérations ;
les éléments inversibles de \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) et le calcul d’un inverse par Bézout ;
l’indicatrice d’Euler, le théorème d’Euler et le petit théorème de Fermat ;
le théorème chinois et la résolution de systèmes de congruences ;
les carrés de \(\mathbb{F}_p\) et le principe du chiffrement RSA.

L’erreur la plus fréquente

L’erreur classique : réduire les exposants modulo \(n\). Si \(a \equiv b \pmod n\), on a bien \(a^k \equiv b^k\), mais \(c \equiv d \pmod n\) n’entraîne pas \(a^c \equiv a^d\) ; les exposants se réduisent modulo l’ordre de \(a\), qui divise \(\varphi(n)\) lorsque \(a\) est premier avec \(n\).

Comment réviser avant de refaire le test

Pour une puissance modulo \(n\), cherchez d’abord une petite puissance de \(a\) congrue à \(1\) (ou appliquez Fermat-Euler), puis écrivez la division euclidienne de l’exposant ; pour un inverse, déroulez l’algorithme d’Euclide étendu plutôt que de tâtonner. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.

Le cours et les exercices du même chapitre

Un score faible signale donc simplement qu’il faut reprendre la leçon avant de recommencer :

Le cours : Arithmétique et anneau Z/nZ, avec les définitions, les théorèmes et leurs démonstrations.
Les exercices du chapitre, de l’application directe au problème de synthèse.
Le corrigé détaillé des exercices, rédigé comme on l’attend en devoir.

Les autres QCM de maths en L2

Dans la continuité du programme, voici les chapitres voisins : Diagonalisation, Trigonalisation et Cayley-Hamilton, Groupes, Topologie de R^n. Par ailleurs, le sommaire des QCM de maths en L2 rassemble les 22 chapitres de l’année. Enfin, la page des QCM de maths du CP au post-bac présente tous les niveaux, de l’école primaire à la licence.

Questions fréquentes

Pourquoi \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) n’est-il pas un corps quand \(n\) est composé ?

Si \(n = ab\) avec \(1 < a, b < n\), alors \(\,\overline a \cdot \,\overline b = \,\overline 0\) avec \(\,\overline a, \,\overline b \neq \,\overline 0\) : l’anneau a des diviseurs de zéro, donc \(\,\overline a\) ne peut pas être inversible.

Pourquoi RSA est-il sûr alors que la clé publique contient \(n\) ?

Pour calculer la clé secrète \(d\), il faut \(\varphi(n) = (p-1)(q-1)\), donc la factorisation de \(n\) ; pour des nombres premiers de plusieurs centaines de chiffres, aucun algorithme connu ne l’obtient en temps raisonnable.