Ce QCM vérifie la maîtrise de l’arithmétique dans \(\mathbb{Z}\) en L1 : algorithme d’Euclide, Bézout, Gauss, nombres premiers, congruences et petit théorème de Fermat. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Arithmétique des entiers du programme de première année de licence de mathématiques (L1), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.
🎓 Arithmétique dans Z - QCM de maths en L1
Score : 0 / 10
Répondues : 0 / 10
Question 1
Que vaut \(\mathrm{pgcd}(252, 198)\) ?
A\(18\)
B\(6\)
C\(36\)
D\(9\)
Question 2
Lequel de ces couples \((u, v)\) vérifie \(17u + 5v = 1\) ?
A\((-3, 10)\)
B\((2, -7)\)
C\((1, -3)\)
D\((-2, 7)\)
Question 3
Quel est l’énoncé du lemme de Gauss ?
ASi \(a \mid bc\), alors \(a \mid b\) ou \(a \mid c\)
BSi \(a \mid bc\) et \(\mathrm{pgcd}(b, c) = 1\), alors \(a \mid c\)
CSi \(a \mid c\) et \(b \mid c\), alors \(ab \mid c\)
DSi \(a \mid bc\) et \(\mathrm{pgcd}(a, b) = 1\), alors \(a \mid c\)
Question 4
Quelles sont toutes les solutions entières de \(3x + 5y = 1\) ?
A\((2 + 5k,\ -1 + 3k)\), \(k \in \mathbb{Z}\)
B\((2 + 5k,\ -1 - 3k)\), \(k \in \mathbb{Z}\)
C\((2 + 3k,\ -1 - 5k)\), \(k \in \mathbb{Z}\)
D\((2,\ -1)\) uniquement
Question 5
Quel est le reste de la division euclidienne de \(3^{100}\) par \(7\) ?
A\(2\)
B\(3\)
C\(4\)
D\(1\)
Question 6
Quel est l’énoncé du petit théorème de Fermat, pour \(p\) premier ?
ASi \(p \nmid a\), alors \(a^{p-1} \equiv 1 \pmod p\)
BPour tout entier \(a\), \(a^{p-1} \equiv 1 \pmod p\)
CSi \(p \nmid a\), alors \(a^{p} \equiv 1 \pmod p\)
DPour tout entier \(n \geqslant 2\), si \(n \nmid a\), alors \(a^{n-1} \equiv 1 \pmod n\)
Question 7
Que vaut \(\mathrm{ppcm}(84, 90)\) ?
A\(630\)
B\(7560\)
C\(1260\)
D\(2520\)
Question 8
Combien l’entier \(360\) possède-t-il de diviseurs positifs ?
A\(24\)
B\(30\)
C\(12\)
D\(6\)
Question 9
Laquelle de ces propriétés est vraie pour tous entiers \(a, b, c\) et tout nombre premier \(p\) ?
ASi \(a \mid c\) et \(b \mid c\), alors \(ab \mid c\)
BSi \(p \mid bc\), alors \(p \mid b\) ou \(p \mid c\)
CSi \(a \mid bc\), alors \(a \mid b\) ou \(a \mid c\)
DSi \(a \mid b + c\), alors \(a \mid b\) et \(a \mid c\)
Question 10
Dans la preuve d’Euclide de l’infinité des nombres premiers, que sait-on de \(N = p_1 p_2 \cdots p_n + 1\) ?
A\(N\) est divisible par \(p_n + 1\)
B\(N\) admet un diviseur premier différent de \(p_1, \dots, p_n\)
C\(N\) est un nombre premier
D\(N\) est divisible par \(p_1\)
🎉 QCM terminé !
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Ce que vérifie ce QCM de arithmétique dans Z en L1
Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :
le calcul d’un PGCD par l’algorithme d’Euclide ;
les coefficients de Bézout et les équations \(ax + by = c\) ;
le lemme de Gauss et le lemme d’Euclide pour un nombre premier ;
la décomposition en facteurs premiers, le PPCM et le nombre de diviseurs ;
les congruences et le petit théorème de Fermat.
L’erreur la plus fréquente
L’erreur classique : déduire de \(a \mid bc\) que \(a \mid b\) ou \(a \mid c\). C’est faux en général (\(6 \mid 4 \times 9\)) ; il faut soit \(a\) premier, soit \(a\) premier avec \(b\) (lemme de Gauss).
Comment réviser avant de refaire le test
Pour trouver des coefficients de Bézout, écrivez l’algorithme d’Euclide en colonnes, puis remontez les égalités en exprimant chaque reste comme combinaison des deux nombres de départ ; vérifiez toujours le couple obtenu en recalculant \(au + bv\). Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.
Le cours et les exercices du même chapitre
Un score faible signale donc simplement qu’il faut reprendre la leçon avant de recommencer :
Non : si \(au + bv = d\), alors \(a(u + k\frac{b}{d}) + b(v – k\frac{a}{d}) = d\) pour tout entier \(k\). Il y a donc une infinité de couples.
Comment calculer une grande puissance modulo \(n\) ?
On cherche une petite puissance congrue à \(1\) (le petit théorème de Fermat en fournit une si \(n\) est premier), puis on écrit l’exposant par division euclidienne par cette période.
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