Ce QCM de maths spé porte sur les anneaux et idéaux : idéaux de \(\mathbb{Z}\) et de \(\mathbb{K}[X]\), anneau \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\), théorème chinois, indicatrice d’Euler et algèbres. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Anneaux, idéaux, Z/nZ et algèbres du programme de maths spé (MP, deuxième année de classe préparatoire), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.
🎓 Anneaux, idéaux et Z/nZ - QCM de maths spé
Score : 0 / 10
Répondues : 0 / 10
Question 1
À quelle condition l’anneau \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) (avec \(n \geqslant 2\)) est-il un corps ?
A\(n\) est sans facteur carré
B\(n\) est une puissance d’un nombre premier
C\(n\) est premier
D\(n\) est impair
Question 2
Quel est l’inverse de \(\bar{7}\) dans \(\mathbb{Z}/26\mathbb{Z}\) ?
A\(\overline{11}\)
B\(\overline{19}\)
C\(\overline{15}\)
D\(\bar{4}\)
Question 3
Que vaut l’indicatrice d’Euler \(\varphi(360)\) ?
A\(120\)
B\(96\)
C\(72\)
D\(144\)
Question 4
Quel est le reste de la division euclidienne de \(3^{100}\) par \(7\) ?
A\(4\)
B\(5\)
C\(1\)
D\(2\)
Question 5
Quel est l’ensemble des entiers \(x\) tels que \(x \equiv 2 \ [3]\) et \(x \equiv 3 \ [5]\) ?
Ales \(x \equiv 8 \ [15]\)
Bles \(x \equiv 8 \ [30]\)
Cles \(x \equiv 13 \ [15]\)
Dles \(x \equiv 5 \ [15]\)
Question 6
Pour \(a, b \in \mathbb{Z}\), l’idéal \(a\mathbb{Z} + b\mathbb{Z}\) est égal à :
A\((a \vee b)\mathbb{Z}\)
B\((a + b)\mathbb{Z}\)
C\((a \wedge b)\mathbb{Z}\)
D\(ab\,\mathbb{Z}\)
Question 7
Lequel des anneaux suivants est isomorphe à \(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}\) ?
Soit \(I = \{P \in \mathbb{R}[X] : P(1) = 0\}\). Laquelle des affirmations est vraie ?
A\(I\) est un sous-anneau de \(\mathbb{R}[X]\)
B\(I\) est une sous-algèbre de \(\mathbb{R}[X]\)
C\(I\) est l’idéal \(X\,\mathbb{R}[X]\)
D\(I\) est l’idéal \((X - 1)\,\mathbb{R}[X]\)
Question 9
Sous quelle hypothèse le théorème d’Euler affirme-t-il que \(a^{\varphi(n)} \equiv 1 \ [n]\) ?
A\(a\) ne divise pas \(n\)
B\(n\) est premier et \(a\) quelconque
C\(0 < a < n\)
D\(a \wedge n = 1\)
Question 10
Quel est le PGCD unitaire des polynômes \(X^2 - 1\) et \(X^2 - 3X + 2\) dans \(\mathbb{R}[X]\) ?
A\(X + 1\)
B\(X - 1\)
C\((X - 1)(X + 1)(X - 2)\)
D\(1\)
🎉 QCM terminé !
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Ce que vérifie ce QCM de anneaux, idéaux et Z/nZ en maths spé
Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :
les idéaux de \(\mathbb{Z}\) et le PGCD vu comme générateur de \(a\mathbb{Z} + b\mathbb{Z}\) ;
les inversibles de \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) et le calcul d’un inverse ;
le théorème chinois et la résolution de systèmes de congruences ;
l’indicatrice d’Euler \(\varphi\) et le théorème d’Euler ;
les idéaux de \(\mathbb{K}[X]\), idéal ou sous-algèbre : savoir les distinguer.
L’erreur la plus fréquente
L’erreur classique : appliquer le théorème d’Euler \(a^{\varphi(n)} \equiv 1 \ [n]\) sans vérifier que \(a \wedge n = 1\). Par exemple \(4^{\varphi(6)} = 16 \equiv 4 \ [6]\).
Comment réviser avant de refaire le test
Pour inverser \(\,\overline{a}\) dans \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\), écrivez une relation de Bézout \(au + nv = 1\) par l’algorithme d’Euclide étendu, puis vérifiez le produit \(au\) modulo \(n\). Pour une grande puissance, réduisez l’exposant modulo \(\varphi(n)\). Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.
Pourquoi \(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\) est-il isomorphe à \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\) mais pas \(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\) à \((\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^2\) ?
Le théorème chinois exige des modules premiers entre eux : \(2 \wedge 3 = 1\), mais \(2 \wedge 2 = 2\). D’ailleurs \((\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^2\) n’a aucun élément d’ordre additif \(4\).
Un sous-anneau peut-il être un idéal ?
Un idéal qui contient \(1\) est l’anneau tout entier. Un sous-anneau propre (qui contient \(1\)) n’est donc jamais un idéal, et un idéal propre n’est jamais un sous-anneau.
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