Ce QCM de maths sup porte sur les familles sommables : somme dans \([0, +\infty]\), invariance par permutation, sommation par paquets, théorème de Fubini et produit de Cauchy de deux séries. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Familles sommables du programme de maths sup (MPSI, première année de classe préparatoire), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.
🎓 Familles sommables - QCM de maths sup
Score : 0 / 10
Répondues : 0 / 10
Question 1
Une famille \((a_i)_{i \in I}\) de nombres complexes est dite sommable lorsque :
Al’ensemble \(I\) est dénombrable
Bil existe une énumération de \(I\) pour laquelle la série associée converge
C\(a_i \to 0\) selon une énumération de \(I\)
Dla famille \((|a_i|)_{i \in I}\) a une somme finie
Question 2
Que vaut \(\sum_{(p,q) \in (\mathbb{N}^*)^2} \frac{1}{2^p\,3^q}\) ?
A\(\frac{1}{6}\)
B\(1\)
C\(\frac{1}{2}\)
D\(\frac{3}{2}\)
Question 3
En regroupant par paquets selon \(n = p + q\), que vaut \(\sum_{(p,q) \in \mathbb{N}^2} \frac{1}{2^{p+q}}\) ?
A\(8\)
B\(4\)
C\(2\)
D\(3\)
Question 4
On pose \(a_{p,q} = 1\) si \(q = p\), \(a_{p,q} = -1\) si \(q = p + 1\), \(a_{p,q} = 0\) sinon (\(p, q \in \mathbb{N}\)). On trouve \(\sum_p \sum_q a_{p,q} = 0\) et \(\sum_q \sum_p a_{p,q} = 1\). Quelle est la bonne explication ?
Ale théorème de Fubini est faux pour les familles réelles
Bl’un des calculs est faux : les deux sommes valent \(0\)
Cla famille n’est pas sommable, donc Fubini ne s’applique pas
Dla famille est sommable, mais non positive, d’où l’écart
Question 5
Quel est le terme général \(c_n\) du produit de Cauchy des séries \(\sum a_n\) et \(\sum b_n\) ?
A\(c_n = \sum_{k=0}^{n} a_k\,b_{n-k}\)
B\(c_n = \sum_{k=0}^{n} a_k\,b_k\)
C\(c_n = \sum_{k=0}^{n} a_k\,b_{n+k}\)
D\(c_n = a_n\,b_n\)
Question 6
Pour \(a, b \in \mathbb{C}\), quel est le terme général du produit de Cauchy de \(\sum \frac{a^n}{n!}\) et \(\sum \frac{b^n}{n!}\) ?
A\(\frac{(a+b)^n}{n!}\)
B\(\frac{(a+b)^n}{(n!)^2}\)
C\(\frac{a^n b^n}{n!}\)
D\(\frac{(ab)^n}{(n!)^2}\)
Question 7
Pour \(|x| < 1\), que vaut \(\sum_{n=0}^{+\infty} (n+1)\,x^n\) ?
A\(\frac{x}{(1-x)^2}\)
B\(\frac{1}{1-x}\)
C\(\frac{1}{1-x^2}\)
D\(\frac{1}{(1-x)^2}\)
Question 8
La série \(\sum_{n \geqslant 1} \frac{(-1)^{n+1}}{n}\) converge vers \(\ln 2\). Laquelle des affirmations est vraie ?
Atout réordonnement des termes donne encore la somme \(\ln 2\)
Bla famille n’est pas sommable, et réordonner ses termes peut changer la somme
Cla famille est sommable et sa somme vaut \(\ln 2\)
Daucun réordonnement des termes ne peut faire diverger la série
Question 9
Pour une famille \((a_i)_{i \in I}\) d’éléments de \([0, +\infty]\), comment est définie la somme \(\sum_{i \in I} a_i\) ?
Acomme la borne inférieure des sommes \(\sum_{i \in J} a_i\), pour \(J\) partie finie de \(I\)
Bcomme la limite des sommes partielles pour l’ordre naturel de \(I\)
Ccomme la borne supérieure des sommes \(\sum_{i \in J} a_i\), pour \(J\) partie finie de \(I\)
Dcomme la somme d’une série extraite convergente
Question 10
Pour quels réels \(\alpha\) la famille \(\left(\frac{1}{(p+q)^\alpha}\right)_{(p,q) \in (\mathbb{N}^*)^2}\) est-elle sommable ?
A\(\alpha > 1\)
B\(\alpha > \frac{3}{2}\)
C\(\alpha \geqslant 2\)
D\(\alpha > 2\)
🎉 QCM terminé !
0 / 10
Ce que vérifie ce QCM de familles sommables en maths sup
Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :
la somme d’une famille positive comme borne supérieure des sommes finies ;
la définition d’une famille sommable de complexes par \(\sum |a_i| < +\infty\) ;
la sommation par paquets et le théorème de Fubini, positifs puis sommables ;
le produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes ;
la preuve de \(\exp(a + b) = \exp(a)\exp(b)\).
L’erreur la plus fréquente
Pour une famille de signe quelconque, intervertir deux sommes sans avoir vérifié la sommabilité peut donner deux résultats différents : il faut d’abord calculer la somme des modules, où tout est permis.
Comment réviser avant de refaire le test
Commencez toujours par le calcul positif : sommez les \(|a_{p,q}|\) dans l’ordre le plus commode. Si le résultat est fini, toutes les manipulations sur la famille d’origine sont licites. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.
Quelle différence entre série convergente et famille sommable ?
Une série dépend de l’ordre des termes ; une famille sommable a une somme indépendante de tout ordre. Pour des termes indexés par \(\mathbb{N}\), sommable équivaut à absolument convergente.
Le produit de Cauchy de deux séries convergentes converge-t-il toujours ?
Non. Le programme garantit la convergence (absolue) quand les deux séries sont absolument convergentes ; le produit de Cauchy de \(\sum \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}\) par elle-même diverge grossièrement.
Voter... post
Télécharger et imprimer ce document en PDF gratuitement :
Vous avez la possibilité de télécharger puis d'imprimer gratuitement ce document «familles sommables : QCM de maths sup» au format PDF.
