Ce QCM de maths sup vérifie le cadre rigoureux de l’intégration sur un segment : continuité uniforme, propriétés de l’intégrale, sommes de Riemann, fonctions définies par une intégrale et formules de Taylor. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Intégration sur un segment du programme de maths sup (MPSI, première année de classe préparatoire), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.
🎓 Intégration sur un segment - QCM de maths sup
Score : 0 / 10
Répondues : 0 / 10
Question 1
Que dit le théorème de Heine ?
Atoute fonction continue sur \(\mathbb{R}\) est uniformément continue
Btoute fonction continue sur un segment y est uniformément continue
Ctoute fonction uniformément continue sur un segment y est lipschitzienne
Dtoute fonction continue sur un intervalle borné y est uniformément continue
Question 2
Quelle est la limite de \(\sum_{k=1}^{n} \frac{n}{n^2 + k^2}\) quand \(n \to +\infty\) ?
A\(\ln 2\)
B\(1\)
C\(\frac{\pi}{2}\)
D\(\frac{\pi}{4}\)
Question 3
Soit \(F(x) = \int_x^{x^2} e^{-t^2}\,\mathrm{d}t\). Que vaut \(F'(x)\) ?
A\(2x\,e^{-x^4} - 2x\,e^{-x^2}\)
B\(e^{-x^4} - e^{-x^2}\)
C\(2x\,e^{-x^4} + e^{-x^2}\)
D\(2x\,e^{-x^4} - e^{-x^2}\)
Question 4
Soit \(f : [0,1] \to \mathbb{R}\) positive, continue par morceaux, avec \(\int_0^1 f = 0\). Laquelle des affirmations est vraie ?
A\(f\) est nulle si elle est continue, mais pas forcément sinon
B\(f\) est nulle si et seulement si elle est monotone
C\(f\) est nulle, même sans hypothèse de continuité
D\(f\) peut être non nulle même si elle est continue
Question 5
Soit \(f\) continue par morceaux sur \([a, b]\) avec \(a \leqslant b\). Laquelle des inégalités est vraie ?
Pour \(x \in [0, 1]\), quelle majoration l’inégalité de Taylor-Lagrange à l’ordre 2 appliquée à \(\exp\) entre \(0\) et \(x\) fournit-elle ?
A\(\left|e^x - 1 - x - \frac{x^2}{2}\right| \leqslant \frac{e\,x^3}{24}\)
B\(\left|e^x - 1 - x - \frac{x^2}{2}\right| \leqslant \frac{e\,x^4}{24}\)
C\(\left|e^x - 1 - x - \frac{x^2}{2}\right| \leqslant \frac{x^3}{6}\)
D\(\left|e^x - 1 - x - \frac{x^2}{2}\right| \leqslant \frac{e\,x^3}{6}\)
Question 10
Que vaut \(\int_{-\pi}^{\pi} x^2 \sin x\,\mathrm{d}x\) ?
A\(\pi^2 - 4\)
B\(0\)
C\(\frac{2\pi^3}{3}\)
D\(2\pi^2 - 8\)
🎉 QCM terminé !
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Ce que vérifie ce QCM de intégration sur un segment en maths sup
Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :
le théorème de Heine et la continuité uniforme ;
l’inégalité triangulaire intégrale et la positivité ;
le cas d’une fonction continue positive d’intégrale nulle ;
les sommes de Riemann et la dérivation de \(x \mapsto \int_a^x f\) ;
la formule de Taylor avec reste intégral et l’inégalité de Taylor-Lagrange.
L’erreur la plus fréquente
L’implication « \(f \geq\, 0\) et \(\int_a^b f = 0\) entraîne \(f = 0\) » exige la continuité et \(a < b\) : une fonction en escalier nulle sauf en un point a une intégrale nulle.
Comment réviser avant de refaire le test
Devant une somme \(\sum_{k=1}^{n}\), factorisez par \(\frac{1}{n}\) et cherchez à écrire le terme général comme \(f(\frac{k}{n})\) : c’est le réflexe somme de Riemann. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.
Elle permet de contrôler \(|f(x) – f(y)|\) avec un même \(\delta\) pour tous \(x, y\) : c’est l’ingrédient de l’approximation par des fonctions en escalier et de la convergence des sommes de Riemann.
Taylor-Young ou Taylor avec reste intégral ?
Taylor-Young est locale (un \(o\) au voisinage d’un point) ; le reste intégral et Taylor-Lagrange sont globaux et donnent des inégalités sur tout un segment.
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