Nombres complexes : QCM de maths sup corrigé

Sommaire

Ce QCM teste l’usage des nombres complexes comme outil de calcul : exponentielle complexe, technique de l’angle moitié, racines \(n\)-ièmes et géométrie plane. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Nombres complexes et exponentielle complexe du programme de maths sup (MPSI, première année de classe préparatoire), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.

🎓 Nombres complexes - QCM de maths sup

Score : 0 / 10

Répondues : 0 / 10

Question 1

Que vaut \((1 + i)^8\) ?

A \(256\)

B \(16\)

C \(-16\)

D \(16i\)

Question 2

Pour \(\theta \in \mathbb{R}\), quelle factorisation de \(1 + e^{i\theta}\) est correcte ?

A \(2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) e^{i\theta/2}\)

B \(2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) e^{i\theta/2}\)

C \(2\cos(\theta)\, e^{i\theta/2}\)

D \(2i\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) e^{i\theta/2}\)

Question 3

Quelles sont les racines carrées de \(3 + 4i\) ?

A \(2 - i\) et \(-2 + i\)

B \(1 + 2i\) et \(-1 - 2i\)

C \(\sqrt3 + 2i\) et \(-\sqrt3 - 2i\)

D \(2 + i\) et \(-2 - i\)

Question 4

Pour \(n \geqslant 2\), que vaut la somme des racines \(n\)-ièmes de l’unité ?

A \(-1\)

B \(0\)

C \(1\)

D \(n\)

Question 5

Quelles sont les solutions complexes de l’équation \(e^z = -1\) ?

A \(z = i\pi + 2ik\pi,\ k \in \mathbb{Z}\)

B \(z = \pi + 2k\pi,\ k \in \mathbb{Z}\)

C \(z = -1 + 2ik\pi,\ k \in \mathbb{Z}\)

D \(z = i\pi + ik\pi,\ k \in \mathbb{Z}\)

Question 6

Quelle est la linéarisation de \(\cos^3 t\) ?

A \(\frac{\cos(3t) - 3\cos t}{4}\)

B \(\frac{\cos(3t) + 3\cos t}{4}\)

C \(\frac{3\cos t - \cos(3t)}{4}\)

D \(\frac{\cos(3t) + 3\cos t}{8}\)

Question 7

Les points \(A\), \(B\), \(C\) distincts ont pour affixes \(a\), \(b\), \(c\), et \(\frac{c - a}{b - a}\) est imaginaire pur. Que peut-on en conclure ?

A Le triangle \(ABC\) est rectangle en \(B\)

B Le triangle \(ABC\) est isocèle en \(A\)

C Les points \(A\), \(B\), \(C\) sont alignés

D Le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\)

Question 8

Pour \(z, w \in \mathbb{C}\) avec \(w \neq 0\), dans quel cas a-t-on \(|z + w| = |z| + |w|\) ?

A si et seulement si \(z = \lambda w\) avec \(\lambda \in \mathbb{R}\)

B si et seulement si \(z = w\)

C si et seulement si \(z\overline{w} \in \mathbb{R}\)

D si et seulement si \(z = \lambda w\) avec \(\lambda \in \mathbb{R}_+\)

Question 9

Quelle est la nature géométrique de l’application \(z \mapsto (1 + i)z\) ?

A la rotation de centre \(0\) et d’angle \(\frac{\pi}{4}\)

B la similitude de centre \(0\), de rapport \(2\) et d’angle \(\frac{\pi}{4}\)

C la similitude de centre \(0\), de rapport \(\sqrt{2}\) et d’angle \(\frac{\pi}{4}\)

D la similitude de centre \(0\), de rapport \(\sqrt{2}\) et d’angle \(\frac{\pi}{2}\)

Question 10

Lequel de ces nombres est une solution de l’équation \(z^3 = 8i\) ?

A \(\sqrt{3} - i\)

B \(2e^{i\pi/3}\)

C \(-2i\)

D \(2i\)

🎉 QCM terminé !

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Ce que vérifie ce QCM de nombres complexes en maths sup

Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :

la forme trigonométrique et le calcul de puissances ;
la technique de l’angle moitié pour \(1 \pm e^{i\theta}\) ;
les racines carrées d’un complexe sous forme algébrique et les équations du second degré ;
les racines \(n\)-ièmes de l’unité et la résolution de \(e^z = a\) ;
la linéarisation et l’interprétation géométrique de \(\frac{c-a}{b-a}\).

L’erreur la plus fréquente

L’erreur classique : chercher les racines carrées de \(a + ib\) en écrivant \(\sqrt{a + ib}\). Cette notation n’a aucun sens pour un complexe non réel positif : on résout \(z^2 = a + ib\) avec \(z = x + iy\), en utilisant aussi l’égalité des modules \(x^2 + y^2 = |a + ib|\).

Comment réviser avant de refaire le test

Dès qu’apparaît \(1 + e^{i\theta}\) ou \(e^{ia} + e^{ib}\), factorisez par l’exponentielle de l’angle moyen : le module et l’argument se lisent alors directement. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.

Les autres QCM de maths sup

Dans la continuité du programme, voici les chapitres voisins : Sommes, produits et inégalités, Trigonométrie, Fonctions usuelles, Calcul de primitives. Par ailleurs, le sommaire des QCM de maths sup rassemble les 32 chapitres de l’année. Enfin, la page des QCM de maths du CP au post-bac présente tous les niveaux, de l’école primaire à la licence.

Questions fréquentes

Faut-il connaître les racines \(n\)-ièmes par cœur ?

Il faut savoir que ce sont les \(n\) nombres \(e^{2ik\pi/n}\), \(0 \leq\, k \leq\, n-1\), formant un polygone régulier inscrit dans le cercle unité, et que leur somme est nulle pour \(n \geq\, 2\).

Comment montrer que trois points sont alignés avec les complexes ?

Les points d’affixes \(a\), \(b\), \(c\) avec \(a \neq b\) sont alignés si et seulement si \(\frac{c-a}{b-a}\) est réel. Si ce quotient est imaginaire pur non nul, l’angle en \(a\) est droit.