Fonctions polynômes du second degré : cours de maths en 2de.

Les fonctions polynômes du second degré dans un cours de maths en 2de.

Cette leçon en seconde traite de la forme canonique, de l’étude d’une fonction trinôme et de sa représentation graphique.
Connaissances du collège nécessaires à ce chapitre

Développer une expression littérale;
Reconnaître un axe de symétrie;
Additionner des fractions;
Multiplier des fractions.

1. Forme canonique

Définition : Fonction polynôme de degré 2

Soit a, b, c trois nombres réels avec $a\neq0$ .
On appelle fonction polynôme de degré 2 toute fonction P définie sur $\mathbb{R}$ pouvant être exprimée sous la forme : $P(x)\,=\,ax^2\,+\,bx\,+\,c$ .
On parle aussi de fonction trinôme.

Propriété

Soit P une fonction polynôme du second degré exprimée sous la forme $P(x)\,=\,ax^2\,+\,bx\,+\,c$ .
Il existe deux nombres réels α et β permettant d’écrire P sous le forme :
$P(x)\,=\,a(x\,-\,\alpha\,)^2\,+\beta$ .
Cette forme s’appelle forme canonique.

2. Étude d’une fonction trinôme

Propriété : sens de variations.

Soit a, α, β trois nombres réels et f une fonction polynôme de degré 2 définie sur $\mathbb{R}$ par sa forme canonique $f(x)\,=\,a(x\,-\,\alpha\,)^2\,+\beta$ .
Le sens de variation d’une fonction dépend du signe de a.

Extremum d’une fonction.

Soit a, $\alpha$ , $\beta$ trois nombres réels.
f une fonction polynôme de degré 2 définie sur $\mathbb{R}$ par sa forme canonique
$f\,(x)\,=\,a\,(x\,-\alpha\,)^2\,+\,\beta$ .
Sur R, la fonction f admet $\beta$ comme extremum. Il est atteint pour x = α.
C’est un maximum si $\alpha$ est négatif.
C’est un minimum si $\alpha$ est positif.

Signe d’une fonction.

Soit a, $\alpha$ , $\beta$ trois nombres réels et f une fonction polynôme de degré 2 définie sur $\mathbb{R}$ par sa
forme canonique $f\,(x)\,=\,a\,(x\,-\alpha\,)^2\,+\,\beta$ .
Le signe d’une fonction trinôme dépend du signe de a et du signe de $\beta$ .
Si a < 0 et $\beta$ $\leq\,$ 0, alors la fonction est toujours négative.
Si a > 0 et $\beta$ $\geq\,$ 0 alors la fonction est toujours positive.
Dans les autres cas,
la fonction change de signe sur l’intervalle $]\,-\infty;\alpha[$ ;
la fonction change à nouveau de signe sur l’intervalle $]\alpha\,;+\infty[$ .

Méthode : étudier une fonction trinôme du second degré.

Exemple:

On considère la fonction f définie sur $\mathbb{R}$ par $f\,(x)\,=\,-2(x\,-\,0,\,25)^2\,-\,8$ .
Déterminer :
1) son sens de variation ;
2) son extremum;
3) le signe de la fonction.

Correction :

Dans le cas de la fonction f :
• α = 0, 25 • $\beta$ = −8 • a = −2
1) a est négatif donc la fonction f est croissante sur $]-\infty;\,0,\,25[$ et décroissante sinon.
2) Elle admet un maximum en x = $\alpha$ = 0, 25. Il vaut f (0, 25) = −8.

3) La fonction f est négative sur $\mathbb{R}$ .

3. Représentation graphique de fonctions

Définition :

La courbe représentative d’une fonction trinôme est une parabole.

Propriété :

Soit a, α, β trois nombres réels et f une fonction trinôme définie sur $\mathbb{R}$ par sa forme canonique
$f\,(x)\,=\,a\,(x\,-\alpha\,)^2\,+\,\beta$ .La courbe représentative de cette fonction est une parabole qui admet un axe de symétrie : la droite d’équation x = $\alpha$ .

Exemple :

Tracer les courbes représentatives des fonctions suivantes :
• $f\,(x)\,=\,-0,\,5(x\,+\,2)^2\,+\,3$
• $g(x)\,=\,2(x\,-3)^2\,-\,2$
Donner leurs sens de variations et leur éventuel extremum.

Correction

La fonction f :
• est croissante sur ]− $\infty$ ;−2[ ;
• est décroissante sur ]−2;+ $\infty$ [ ;
• elle admet un maximum en −2 qui vaut 3.

La fonction g :
• est décroissante sur ]− $\infty$ ; 3[ ;
• est croissante sur ]3;+ $\infty$ [ ;
• elle admet un minimum en 3 qui vaut −2.

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