Intégrales à paramètre : exercices de maths spé corrigés en PDF.

Exercice 1 : Continuité sur un segment d’intégration

Pour \(x \in \mathbb{R}\), on pose \(F(x) = \displaystyle\int_0^1 \frac{e^{-xt}}{1+t}\,dt\).

1. Justifier que \(F\) est définie et continue sur \(\mathbb{R}\).
2. Montrer que \(F\) est de classe \(C^1\) sur \(\mathbb{R}\) et qu’elle est strictement décroissante.
3. Calculer \(F(0)\) et établir, pour \(x \neq 0\), la relation \(F(x) – F^{\prime}(x) = \dfrac{1 – e^{-x}}{x}\).
4. Déterminer la limite de \(F\) en \(+\infty\).

Exercice 2 : Nécessité de l’hypothèse de domination

Pour \(x \geq\, 0\), on pose \(F(x) = \displaystyle\int_0^{+\infty} x\,e^{-xt}\,dt\).

1. Calculer \(F(x)\) pour tout \(x \geq\, 0\). La fonction \(F\) est-elle continue en \(0\) ?
2. Pour \(t > 0\) fixé, calculer \(\displaystyle\sup_{x > 0} x\,e^{-xt}\).
3. En déduire qu’il n’existe aucune fonction \(\varphi\) intégrable sur \(]0,+\infty[\) telle que \(x\,e^{-xt} \leq\, \varphi(t)\) pour tous \(x > 0\) et \(t > 0\).
4. Soit \(0 < a < b\). Exhiber une domination de \(x\,e^{-xt}\) valable pour \(x \in [a,b]\) et \(t \geq\, 0\). Que retrouve-t-on sur \(]0,+\infty[\) ?

Exercice 3 : Continuité sur un intervalle non borné

Pour \(x \in \mathbb{R}\), on pose \(F(x) = \displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{\cos(xt)}{1+t^2}\,dt\).

1. Montrer que \(F\) est définie, continue, paire et bornée sur \(\mathbb{R}\). Calculer \(F(0)\).
2. Pour \(x \in \mathbb{R}\) et \(t \geq\, 0\), calculer \(\dfrac{\partial}{\partial x}(\dfrac{\cos(xt)}{1+t^2})\). La fonction \(t \mapsto \dfrac{t}{1+t^2}\) est-elle intégrable sur \([0,+\infty[\) ?
3. On admet que \(F(x) = \dfrac{\pi}{2}\,e^{-|x|}\). Montrer qu’il n’existe aucun intervalle ouvert \(J\) contenant \(0\) sur lequel on puisse appliquer le théorème de dérivation sous le signe intégrale.

Exercice 4 : Domination sur des intervalles adaptés

On pose, lorsque cela a un sens, \(F(x) = \displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{dt}{1+t^x}\). La figure ci-dessous représente l’intégrande pour plusieurs valeurs de \(x\).

1. Montrer que \(F(x)\) est défini si et seulement si \(x > 1\).
2. Soit \(a > 1\). Montrer que \(F\) est continue sur \([a,+\infty[\). En déduire que \(F\) est continue sur \(]1,+\infty[\).
3. Déterminer \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} F(x)\).
4. Montrer que \(F(x) \geq\, \dfrac{1}{2(x-1)}\) pour \(x > 1\), et en déduire la limite de \(F\) en \(1^+\).

Exercice 5 : Dérivation et fonction arctangente

Pour \(x \in \mathbb{R}\), on pose \(F(x) = \displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-t}\,\frac{\sin(xt)}{t}\,dt\).

1. Montrer que \(F\) est bien définie sur \(\mathbb{R}\).
2. Montrer que \(F\) est de classe \(C^1\) sur \(\mathbb{R}\) et exprimer \(F^{\prime}(x)\) par une intégrale.
3. Calculer \(\displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-t}\cos(xt)\,dt\) et en déduire une expression simple de \(F(x)\).

Exercice 6 : Intégrale de Frullani par dérivation

Pour \(x > 0\), on pose \(F(x) = \displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{e^{-t} – e^{-xt}}{t}\,dt\).

1. Montrer que \(F\) est définie sur \(]0,+\infty[\).
2. Montrer que \(F\) est de classe \(C^1\) sur \(]0,+\infty[\) et calculer \(F^{\prime}(x)\).
3. En déduire \(F(x)\) pour tout \(x > 0\), puis la valeur de \(\displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{e^{-2t} – e^{-3t}}{t}\,dt\).

Exercice 7 : Une intégrale logarithmique

Pour \(x > -1\), on pose \(F(x) = \displaystyle\int_0^1 \frac{t^x – 1}{\ln t}\,dt\).

1. Montrer que, pour \(t \in ]0,1[\), \(|\dfrac{t^x – 1}{\ln t}| \leq\, |x|\max(1, t^x)\). En déduire que \(F\) est définie sur \(]-1,+\infty[\).
2. Montrer que \(F\) est de classe \(C^1\) sur \(]-1,+\infty[\) et calculer \(F^{\prime}(x)\).
3. En déduire \(F(x)\), puis la valeur de \(\displaystyle\int_0^1 \frac{t – 1}{\ln t}\,dt\).

Exercice 8 : Une intégrale trigonométrique

Pour \(x \geq\, 0\), on pose \(F(x) = \displaystyle\int_0^{\pi/2} \ln(\cos^2 t + x^2 \sin^2 t)dt\).

1. Montrer que \(F\) est définie et de classe \(C^1\) sur \(]0,+\infty[\).
2. Pour \(x > 0\) et \(x \neq 1\), calculer \(F^{\prime}(x)\) à l’aide du changement de variable \(u = \tan t\). Vérifier que la formule obtenue vaut encore en \(x = 1\).
3. En déduire \(F(x)\) pour \(x > 0\).
4. Montrer que \(F\) est définie et continue sur \([0,1]\). En déduire la valeur de \(\displaystyle\int_0^{\pi/2} \ln(\cos t)\,dt\).

Exercice 9 : Arctangente sous le signe intégrale

Pour \(x \in \mathbb{R}\), on pose \(F(x) = \displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{\arctan(xt)}{t(1+t^2)}\,dt\).

1. Montrer que \(F\) est définie sur \(\mathbb{R}\) et impaire.
2. Montrer que \(F\) est de classe \(C^1\) sur \(\mathbb{R}\) et exprimer \(F^{\prime}(x)\) par une intégrale.
3. Pour \(x \geq\, 0\), calculer \(F^{\prime}(x)\) puis \(F(x)\).
4. En déduire la valeur de \(\displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{\arctan t}{t(1+t^2)}\,dt\).

Exercice 10 : Intégrale de Gauss par une intégrale à paramètre

Pour \(x \in \mathbb{R}\), on pose \(F(x) = \displaystyle\int_0^1 \frac{e^{-x^2(1+t^2)}}{1+t^2}\,dt\) et \(G(x) = (\displaystyle\int_0^x e^{-u^2}\,du)^2\).

1. Montrer que \(F\) et \(G\) sont de classe \(C^1\) sur \(\mathbb{R}\) et que \(F^{\prime} + G^{\prime} = 0\).
2. En déduire que \(F(x) + G(x) = \dfrac{\pi}{4}\) pour tout réel \(x\).
3. Déterminer la limite de \(F\) en \(+\infty\), puis la valeur de \(\displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-u^2}\,du\).

Exercice 11 : Transformée de Fourier d’une gaussienne

Pour \(x \in \mathbb{R}\), on pose \(F(x) = \displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-t^2}\cos(xt)\,dt\). On utilise le résultat \(\displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-t^2}\,dt = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\).

1. Montrer que \(F\) est de classe \(C^1\) sur \(\mathbb{R}\).
2. À l’aide d’une intégration par parties, établir que \(F^{\prime}(x) = -\dfrac{x}{2}F(x)\).
3. En déduire \(F(x)\) pour tout réel \(x\), puis la valeur de \(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-t^2}e^{-ixt}\,dt\).

Exercice 12 : Une équation différentielle du second ordre

Pour \(x \geq\, 0\), on pose \(F(x) = \displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{e^{-xt}}{1+t^2}\,dt\).

1. Montrer que \(F\) est continue sur \([0,+\infty[\) et donner \(F(0)\).
2. Montrer que \(F\) est de classe \(C^2\) sur \(]0,+\infty[\) et que \(F^{\prime\prime}(x) + F(x) = \dfrac{1}{x}\) pour \(x > 0\).
3. Montrer que \(0 \leq\, F(x) \leq\, \dfrac{1}{x}\) pour \(x > 0\) et en déduire la limite de \(F\) en \(+\infty\).
4. Étudier le sens de variation et la convexité de \(F\) sur \(]0,+\infty[\).

Exercice 13 : Transformée de Laplace

Soit \(f : [0,+\infty[ \to \mathbb{R}\) continue et bornée, et \(M = \sup |f|\). Pour \(x > 0\), on pose \(\mathcal{L}f(x) = \displaystyle\int_0^{+\infty} f(t)\,e^{-xt}\,dt\).

1. Montrer que \(\mathcal{L}f\) est définie sur \(]0,+\infty[\) et que \(|\mathcal{L}f(x)| \leq\, \dfrac{M}{x}\).
2. Montrer que \(\mathcal{L}f\) est de classe \(C^\infty\) sur \(]0,+\infty[\) et donner \((\mathcal{L}f)^{(k)}(x)\).
3. Montrer que \(x\,\mathcal{L}f(x) \to f(0)\) quand \(x \to +\infty\).
4. Calculer \(\mathcal{L}f\) pour \(f = \cos\), \(f = \sin\) et \(f(t) = e^{-t}\), puis vérifier le résultat de la question 3 sur ces exemples.

Exercice 14 : Fonction Gamma, définition et relation fonctionnelle

Pour \(x \in \mathbb{R}\), on étudie \(\Gamma(x) = \displaystyle\int_0^{+\infty} t^{x-1}e^{-t}\,dt\).

1. Montrer que cette intégrale converge si et seulement si \(x > 0\).
2. Montrer que \(\Gamma\) est continue sur \(]0,+\infty[\).
3. Établir la relation \(\Gamma(x+1) = x\,\Gamma(x)\) pour \(x > 0\), puis calculer \(\Gamma(n+1)\) pour \(n \in \mathbb{N}\).
4. En admettant \(\displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-u^2}\,du = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\), calculer \(\Gamma(\frac{1}{2})\), puis montrer que \(\Gamma(n + \frac{1}{2}) = \dfrac{(2n)!}{4^n\,n!}\sqrt{\pi}\) pour \(n \in \mathbb{N}\).

Exercice 15 : Régularité et variations de la fonction Gamma

On reprend la fonction \(\Gamma\) de l’exercice précédent.

1. Montrer que \(\Gamma\) est de classe \(C^\infty\) sur \(]0,+\infty[\) et exprimer \(\Gamma^{(k)}(x)\) par une intégrale.
2. En déduire que \(\Gamma\) est strictement convexe.
3. À l’aide de l’inégalité de Cauchy-Schwarz, montrer que \(\Gamma^{\prime}(x)^2 \leq\, \Gamma(x)\Gamma^{\prime\prime}(x)\), puis que \(\ln \Gamma\) est convexe.
4. Montrer que \(\Gamma(x) \sim \dfrac{1}{x}\) quand \(x \to 0^+\).
5. Montrer que \(\Gamma^{\prime}\) s’annule en un unique point \(x_0\), situé dans \(]1,2[\). En déduire le tableau de variations de \(\Gamma\) et sa limite en \(+\infty\).

Exercice 16 : Transformée de Fourier et dérivation

Soit \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{C}\) continue et intégrable. On pose \(\widehat{f}(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\,e^{-ixt}\,dt\).

1. Montrer que \(\widehat{f}\) est définie, continue et bornée sur \(\mathbb{R}\).
2. On suppose de plus que \(t \mapsto t^k f(t)\) est intégrable sur \(\mathbb{R}\) pour tout \(k \in \{0, \ldots, p\}\). Montrer que \(\widehat{f}\) est de classe \(C^p\) et exprimer \(\widehat{f}^{\,(p)}\).
3. Calculer \(\widehat{f}\) pour \(f(t) = e^{-|t|}\).
4. En déduire, sans nouveau calcul d’intégrale, la valeur de \(\displaystyle\int_0^{+\infty} t\,e^{-t}\sin(xt)\,dt\) pour \(x \in \mathbb{R}\).

Exercice 17 : Équivalents aux bornes

Pour \(x > 0\), on pose \(F(x) = \displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{e^{-t}}{x+t}\,dt\).

1. Montrer que \(F\) est définie, continue et décroissante sur \(]0,+\infty[\).
2. Montrer que \(F(x) \sim \dfrac{1}{x}\) quand \(x \to +\infty\).
3. Montrer que \(0 \leq\, \displaystyle\int_0^1 \frac{1 – e^{-t}}{x+t}\,dt \leq\, 1\) et que \(0 \leq\, \displaystyle\int_1^{+\infty} \frac{e^{-t}}{x+t}\,dt \leq\, 1\).
4. En déduire que \(F(x) \sim -\ln x\) quand \(x \to 0^+\).

Exercice 18 : Équivalent par changement d’échelle

Pour \(x > \dfrac{1}{2}\), on pose \(I(x) = \displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{dt}{(1+t^2)^x}\). La figure ci-dessous montre que l’intégrande se concentre près de \(0\) quand \(x\) grandit.

1. Justifier que \(I\) est définie et décroissante sur \(]\frac{1}{2},+\infty[\).
2. À l’aide d’une intégration par parties, montrer que \(I(x+1) = \dfrac{2x-1}{2x}\,I(x)\). Calculer \(I(1)\), \(I(2)\) et \(I(3)\).
3. Montrer que \((1+s)^x \geq\, 1 + xs\) pour \(s \geq\, 0\) et \(x \geq\, 1\).
4. À l’aide du changement de variable \(t = \dfrac{u}{\sqrt{x}}\), montrer que \(I(x) \sim \dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{\pi}{x}}\) quand \(x \to +\infty\). On admet \(\displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-u^2}\,du = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\).

Exercice 19 : Problème, formule de Stirling pour la fonction Gamma

On note \(\varphi(s) = \ln(1+s) – s\) pour \(s > -1\). On admet \(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-v^2/2}\,dv = \sqrt{2\pi}\). Le but est de prouver que \(\Gamma(x+1) \sim \sqrt{2\pi x}\,x^x e^{-x}\) quand \(x \to +\infty\).

1. Pour \(x > 0\), montrer, par deux changements de variable, que \[\Gamma(x+1) = x^{x+1/2}e^{-x}\int_{-\sqrt{x}}^{+\infty} \exp(x\,\varphi\!(\frac{v}{\sqrt{x}}))dv.\]
2. Montrer que, pour tout réel \(v\) fixé, \(x\,\varphi\!(\dfrac{v}{\sqrt{x}}) \to -\dfrac{v^2}{2}\) quand \(x \to +\infty\).
3. Montrer que \(\varphi(s) \leq\, -\dfrac{s^2}{2}\) pour \(s \in ]-1,0]\) et que \(\varphi(s) \leq\, -\dfrac{s^2}{4}\) pour \(s \in [0,1]\).
4. Montrer que \(\varphi\) est concave et en déduire que \(\varphi(s) \leq\, (\ln 2 – 1)\,s\) pour \(s \geq\, 1\).
5. Pour \(x \geq\, 1\), construire une fonction \(h\) intégrable sur \(\mathbb{R}\), indépendante de \(x\), qui domine l’intégrande de la question 1 prolongé par \(0\) sur \(]-\infty,-\sqrt{x}]\).
6. Conclure. En déduire un équivalent de \(n!\).

Le corrigé des exercices

Chaque exercice est corrigé en détail, question par question, sur la page suivante.

Pour aller plus loin en maths spé

• Le cours : intégrales à paramètre, cours de maths spé
• À maîtriser avant : Convergence dominée et intégration terme à terme
• Chapitre précédent : Convergence dominée et intégration terme à terme
• Chapitre suivant : Ensembles dénombrables et espaces probabilisés
• Le même thème en L2 : intégrales à paramètre, exercices de maths en L2
• Tester vos connaissances : QCM de maths spé par chapitre
• Le sommaire : tous les chapitres de maths spé et les chapitres de maths sup