Séries de fonctions : exercices de maths spé corrigés

Sommaire

Ces exercices fonctions spé couvrent tout le chapitre des séries de fonctions, du simple calcul de convergence normale jusqu’aux problèmes d’étude complète d’une somme. Les premiers exercices entraînent les réflexes de base : choisir un intervalle adapté, majorer un terme général, calculer une somme explicite.

Viennent ensuite les techniques de concours : convergence uniforme par le reste d’une série alternée, théorème de la double limite, dérivation terme à terme, intégration terme à terme sur un segment. Plusieurs exercices portent sur la fonction zêta et sur la comparaison série-intégrale, qui donne des équivalents précis.

Cherchez chaque exercice au moins vingt minutes avant de lire le corrigé. Notez le théorème que vous comptez utiliser et vérifiez ses hypothèses une par une : c’est exactement ce que l’on attend de vous en colle.

Avant de commencer, relisez le cours de maths spé sur séries de fonctions.

Exercice 1 : Convergence normale sur un intervalle adapté

Pour chacune des séries de fonctions suivantes, déterminez un intervalle, le plus grand possible, sur lequel elle converge normalement.

\(\sum_{n \geq\, 1} \dfrac{\sin(nx)}{n^2 + 1}\) pour \(x \in \mathbb{R}\).
\(\sum_{n \geq\, 1} \dfrac{x^n}{n^2}\) pour \(x \in [-1, 1]\).
\(\sum_{n \geq\, 0} e^{-nx}\) pour \(x \in \, ]0, +\infty[\). Montrez que la convergence est normale sur \([a, +\infty[\) pour tout \(a > 0\), mais pas sur \(]0, +\infty[\).
\(\sum_{n \geq\, 1} x^2 e^{-nx}\) pour \(x \in [0, +\infty[\). On étudiera les variations de \(x \mapsto x^2 e^{-nx}\).

Exercice 2 : Une série télescopique non uniformément convergente

Pour \(n \in \mathbb{N}\) et \(x \in [0, 1]\), on pose \(u_n(x) = x^n (1 – x)\). La figure ci-dessous représente quelques sommes partielles \(S_N = \sum_{n=0}^{N} u_n\).

Calculez \(S_N(x)\) pour \(x \in [0,1]\), puis la somme \(S(x)\) de la série.
La convergence est-elle uniforme sur \([0, 1]\) ? sur \([0, 1[\) ?
Calculez \(\sup_{[0,1]} u_n\). La série converge-t-elle normalement sur \([0,1]\) ?
Soit \(a \in \, ]0, 1[\). Montrez que la série converge normalement sur \([0, a]\).

Exercice 3 : Dérivation terme à terme d’une somme explicite

Pour \(x > 0\), on pose \(f(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{e^{-nx}}{n}\).

Montrez que \(f\) est bien définie et continue sur \(]0, +\infty[\).
Montrez que \(f\) est de classe \(C^1\) sur \(]0, +\infty[\) et exprimez \(f^{\prime}(x)\) sans signe somme.
Déterminez la limite de \(f\) en \(+\infty\).
En déduire que \(f(x) = -\ln(1 – e^{-x})\) pour tout \(x > 0\), puis la valeur de \(\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{e^{-n}}{n}\).

Exercice 4 : Sommes des séries de terme général n x^n et n² x^n

On note \(S(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} x^n = \dfrac{1}{1-x}\) pour \(x \in \, ]-1, 1[\).

La série \(\sum x^n\) converge-t-elle normalement sur \(]-1, 1[\) ? Sur \([-a, a]\) pour \(0 < a < 1\) ?
Montrez que \(S\) est de classe \(C^2\) sur \(]-1, 1[\), avec \(S^{\prime}(x) = \sum_{n \geq\, 1} n x^{n-1}\) et \(S^{\prime\prime}(x) = \sum_{n \geq\, 2} n(n-1) x^{n-2}\).
En déduire, pour \(|x| < 1\), les sommes \(\sum_{n=1}^{+\infty} n x^n\) et \(\sum_{n=1}^{+\infty} n^2 x^n\).
Calculez \(\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{n}{2^n}\) et \(\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{n^2}{2^n}\).

Exercice 5 : Calcul de ln 2 par intégration terme à terme

Soit \(x \in \, ]-1, 1[\). Montrez que la série \(\sum_{n \geq\, 0} t^n\) converge normalement sur le segment d’extrémités \(0\) et \(x\).
En intégrant terme à terme, montrez que \(-\ln(1 – x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{x^n}{n}\).
En déduire les égalités \(\ln 2 = \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n 2^n}\) et \(\ln\dfrac{3}{2} = \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{(-1)^{n+1}}{n 2^n}\).
Montrez que le reste \(\sum_{n=N+1}^{+\infty} \dfrac{1}{n 2^n}\) est majoré par \(\dfrac{1}{(N+1) 2^N}\). Quelle valeur de \(N\) garantit, par cette majoration, une erreur inférieure à \(10^{-3}\) ?

Exercice 6 : Une intégrale calculée terme à terme

Pour \(x \in \mathbb{R}\), on pose \(F(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{\sin(nx)}{n^3}\). On admet que \(\zeta(2) = \dfrac{\pi^2}{6}\) et \(\zeta(4) = \dfrac{\pi^4}{90}\).

Montrez que \(F\) est définie et continue sur \(\mathbb{R}\).
Montrez que \(F\) est de classe \(C^1\) sur \(\mathbb{R}\) et calculez \(F^{\prime}(0)\).
Calculez \(\sum_{k=0}^{+\infty} \dfrac{1}{(2k+1)^4}\).
En déduire la valeur de \(\int_0^{\pi} F(x) \, dx\).

Exercice 7 : Convergence uniforme sans convergence normale

Pour \(x \geq\, 0\), on pose \(S(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{(-1)^n}{n + x}\).

Montrez que la série converge uniformément sur \([0, +\infty[\).
Montrez qu’elle ne converge normalement sur aucun intervalle \([a, b]\) avec \(0 \leq\, a < b\).
Montrez que \(S\) est continue sur \([0, +\infty[\) et déterminez sa limite en \(+\infty\) à l’aide du théorème de la double limite.
Montrez que \(S\) est de classe \(C^1\) et strictement croissante sur \([0, +\infty[\).
Montrez que \(S(x) + S(x+1) = -\dfrac{1}{x+1}\) pour tout \(x \geq\, 0\).
En déduire un encadrement de \(S(x)\) pour \(x \geq\, 1\), puis un équivalent de \(S(x)\) quand \(x \to +\infty\).

Exercice 8 : La série de terme général x e^(-nx)

Pour \(n \geq\, 1\) et \(x \geq\, 0\), on pose \(u_n(x) = x e^{-nx}\).

Montrez que \(\sum u_n\) converge simplement sur \([0, +\infty[\) et calculez sa somme \(S(x)\).
La fonction \(S\) est-elle continue en \(0\) ? Qu’en déduisez-vous sur la convergence uniforme sur \([0, +\infty[\) ?
Calculez \(\|u_n\|_{\infty}\) sur \([0, +\infty[\). Retrouvez que la convergence n’est pas normale sur cet intervalle.
Montrez que la convergence est normale sur \([a, +\infty[\) pour tout \(a > 0\).
En évaluant le reste \(R_N\) en \(x = \frac{1}{N+1}\), montrez que la convergence n’est pas uniforme sur \(]0, +\infty[\).

Exercice 9 : Somme non bornée et défaut d’uniformité

Pour \(n \geq\, 1\) et \(x > 0\), on pose \(u_n(x) = x e^{-n x^2}\).

Montrez que \(\sum u_n\) converge simplement sur \(]0, +\infty[\) et exprimez sa somme \(S(x)\).
Déterminez un équivalent de \(S(x)\) quand \(x \to 0^+\).
Montrez que chaque \(u_n\) est bornée sur \(]0, +\infty[\) et calculez \(\|u_n\|_\infty\).
Montrez, sans calculer de reste, que la convergence n’est pas uniforme sur \(]0, +\infty[\).
Montrez que la convergence est normale sur \([a, +\infty[\) pour tout \(a > 0\), puis que \(S\) est continue sur \(]0, +\infty[\).

Exercice 10 : Régularité et limites de la fonction zêta

On pose \(\zeta(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^x}\).

Déterminez le domaine de définition \(D\) de \(\zeta\).
Montrez que la série converge normalement sur \([a, +\infty[\) pour tout \(a > 1\). Converge-t-elle uniformément sur \(D\) ?
Montrez que \(\zeta\) est de classe \(C^\infty\) sur \(D\) et exprimez \(\zeta^{(k)}\).
Étudiez les variations et la convexité de \(\zeta\).
Calculez \(\lim_{x \to +\infty} \zeta(x)\).
Montrez, sans comparaison série-intégrale, que \(\lim_{x \to 1^+} \zeta(x) = +\infty\).

Exercice 11 : Équivalents de zêta par comparaison série-intégrale

Soit \(x > 1\). Montrez que pour tout \(n \geq\, 2\), \(\displaystyle\int_n^{n+1} \frac{dt}{t^x} \leq\, \frac{1}{n^x} \leq\, \int_{n-1}^{n} \frac{dt}{t^x}\).
En déduire que \(\dfrac{1}{x-1} \leq\, \zeta(x) \leq\, 1 + \dfrac{1}{x-1}\), puis un équivalent de \(\zeta(x)\) quand \(x \to 1^+\).
Montrez que la fonction \(x \mapsto \zeta(x) – \dfrac{1}{x-1}\) est bornée sur \(]1, +\infty[\).
Montrez que \(2^x ( \zeta(x) – 1 – 2^{-x} ) \to 0\) quand \(x \to +\infty\). En déduire un équivalent de \(\zeta(x) – 1\) en \(+\infty\).

Exercice 12 : Somme de la série harmonique alternée

Pour \(x \in [0, 1]\), on pose \(f(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{(-1)^{n+1} x^n}{n}\).

Montrez que la série converge uniformément sur \([0, 1]\).
Montrez qu’elle ne converge pas normalement sur \([0, 1]\).
Justifiez que \(f\) est continue sur \([0, 1]\).
En intégrant terme à terme sur un segment bien choisi, montrez que \(f(x) = \ln(1 + x)\) pour \(x \in [0, 1[\).
En déduire la valeur de \(\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{(-1)^{n+1}}{n}\).

Exercice 13 : Une série d’arctangentes

Pour \(x \in \mathbb{R}\), on pose \(F(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \arctan(\dfrac{x}{n^2})\). On admet que \(\int_0^{+\infty} \dfrac{s^2}{1 + s^4} \, ds = \dfrac{\pi}{2\sqrt{2}}\).

Montrez que \(F\) est définie sur \(\mathbb{R}\), impaire et continue.
Montrez que \(F\) est de classe \(C^1\) et strictement croissante sur \(\mathbb{R}\). Calculez \(F^{\prime}(0)\).
Montrez que \(\lim_{x \to +\infty} F(x) = +\infty\).
Montrez que la série ne converge pas uniformément sur \(\mathbb{R}\).
Soit \(x > 0\). Par comparaison série-intégrale, encadrez \(F(x)\) par des intégrales, puis montrez que \(F(x) \sim \pi \sqrt{\dfrac{x}{2}}\) quand \(x \to +\infty\).

Exercice 14 : Une somme de fractions rationnelles et son équivalent à l’infini

Pour \(x \in \mathbb{R}\), on pose \(g(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^2 + x^2}\).

Montrez que \(g\) est définie et continue sur \(\mathbb{R}\), et que \(g(0) = \zeta(2)\).
Montrez que \(g\) est de classe \(C^1\) sur \(\mathbb{R}\). On pourra utiliser l’inégalité \(2|x| n \leq\, n^2 + x^2\).
Étudiez la parité et les variations de \(g\). Déterminez sa limite en \(+\infty\).
Pour \(x > 0\), encadrez \(g(x)\) par deux intégrales, puis montrez que \(g(x) \sim \dfrac{\pi}{2x}\) quand \(x \to +\infty\).

Exercice 15 : Noyau de Poisson et intégration terme à terme

Soit \(r \in [0, 1[\). Pour \(\theta \in \mathbb{R}\), on pose \(P_r(\theta) = \sum_{n=0}^{+\infty} r^n \cos(n\theta)\). La figure ci-dessous représente \(P_r\) sur \([0, \pi]\) pour trois valeurs de \(r\).

Montrez que la série converge normalement sur \(\mathbb{R}\).
En utilisant \(\cos(n\theta) = \mathrm{Re}(e^{in\theta})\), montrez que \(P_r(\theta) = \dfrac{1 – r\cos\theta}{1 – 2r\cos\theta + r^2}\).
Calculez \(\int_0^{\pi} P_r(\theta) \, d\theta\), puis \(\int_0^{\pi} P_r(\theta) \cos(k\theta) \, d\theta\) pour \(k \geq\, 1\).
Vérifiez que \(2 P_r(\theta) – 1 = \dfrac{1 – r^2}{1 – 2r\cos\theta + r^2}\). En déduire \(\int_0^{\pi} \dfrac{d\theta}{1 – 2r\cos\theta + r^2}\).

Exercice 16 : Fonction êta de Dirichlet et retour sur zêta

On pose \(\eta(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{(-1)^{n-1}}{n^x}\).

Déterminez le domaine de convergence simple de la série.
Montrez que la série converge uniformément sur \([a, +\infty[\) pour tout \(a > 0\). Converge-t-elle normalement sur \([a, +\infty[\) lorsque \(0 < a \leq\, 1\) ?
Montrez que \(\eta\) est continue et strictement positive sur \(]0, +\infty[\), et calculez sa limite en \(+\infty\).
Montrez que \(\eta(x) = (1 – 2^{1-x})\zeta(x)\) pour \(x > 1\).
On admet le résultat de l’exercice 12 : \(\eta(1) = \ln 2\). En déduire de nouveau un équivalent de \(\zeta(x)\) quand \(x \to 1^+\).

Exercice 17 : La série thêta et son équivalent en 0

On pose \(\theta(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} e^{-n^2 x}\). On admet que \(\int_0^{+\infty} e^{-s^2} \, ds = \dfrac{\sqrt{\pi}}{2}\).

Déterminez le domaine de définition de \(\theta\).
Montrez que \(\theta\) est de classe \(C^\infty\) sur \(]0, +\infty[\) et qu’elle y est strictement décroissante.
Calculez \(\lim_{x \to +\infty} \theta(x)\), puis montrez que \(\theta(x) – 1 \sim e^{-x}\) quand \(x \to +\infty\).
Montrez que \(\dfrac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{x}} \leq\, \theta(x) \leq\, 1 + \dfrac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{x}}\) pour tout \(x > 0\).
En déduire un équivalent de \(\theta(x)\) quand \(x \to 0^+\).

Exercice 18 : L’intégrale de x puissance moins x sur [0, 1]

On pose \(\varphi(x) = -x \ln x\) pour \(x \in \, ]0, 1]\) et \(\varphi(0) = 0\).

Montrez que \(\varphi\) est continue sur \([0, 1]\) et que \(0 \leq\, \varphi \leq\, \frac{1}{e}\).
Montrez que \(x^{-x} = \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{\varphi(x)^n}{n!}\) pour \(x \in \, ]0, 1]\), et que cette série converge normalement sur \([0, 1]\).
Pour \(n \geq\, 1\) et \(0 \leq\, k \leq\, n\), on pose \(I_{n,k} = \int_0^1 x^n (\ln x)^k \, dx\), où l’intégrande est prolongé par continuité en \(0\). Montrez que \(I_{n,k} = -\dfrac{k}{n+1} I_{n,k-1}\) pour \(k \geq\, 1\).
En déduire que \(\int_0^1 \varphi(x)^n \, dx = \dfrac{n!}{(n+1)^{n+1}}\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
Montrez que \(\int_0^1 x^{-x} \, dx = \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^n}\), puis donnez une valeur approchée de cette intégrale à \(10^{-3}\) près.

Exercice 19 : Problème : étude complète d’une somme de série

Pour \(x > -1\), on pose \(f(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n(n+x)}\), et l’on note \(H_p = \sum_{k=1}^{p} \dfrac{1}{k}\) pour \(p \geq\, 1\). On rappelle que \(H_p \sim \ln p\) quand \(p \to +\infty\).

Montrez que \(f\) est définie sur \(]-1, +\infty[\).
Montrez que la série converge normalement sur \([a, +\infty[\) pour tout \(a > -1\). En déduire que \(f\) est continue sur \(]-1, +\infty[\).
Calculez \(f(0)\), puis montrez que \(f(p) = \dfrac{H_p}{p}\) pour tout entier \(p \geq\, 1\). Donnez \(f(1)\) et \(f(2)\).
Montrez que \(f\) est de classe \(C^1\) et strictement décroissante sur \(]-1, +\infty[\).
Déterminez la limite de \(f\) en \(+\infty\).
Montrez que \(f(x) – \dfrac{1}{1+x}\) admet une limite finie quand \(x \to -1^+\), que vous calculerez. En déduire un équivalent de \(f\) en \(-1^+\).
On pose \(\psi(x) = x f(x)\) pour \(x \geq\, 0\). Montrez que \(\psi\) est croissante, puis que \(H_p \leq\, \psi(x) \leq\, H_{p+1}\) où \(p = \lfloor x \rfloor\), pour \(x \geq\, 1\).
En déduire que \(f(x) \sim \dfrac{\ln x}{x}\) quand \(x \to +\infty\).
Exprimez \(\int_0^1 f(x) \, dx\) comme la somme d’une série numérique.

Le corrigé des exercices

Chaque exercice est corrigé en détail, question par question, sur la page suivante.

Pour aller plus loin en maths spé

Le cours : séries de fonctions, cours de maths spé
À maîtriser avant : Suites de fonctions : convergence simple et uniforme, Séries numériques et vectorielles
Chapitre précédent : Suites de fonctions : convergence simple et uniforme
Chapitre suivant : Séries entières
Tester vos connaissances : QCM de maths spé par chapitre
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