Suites de fonctions : exercices de maths spé corrigés en PDF.

Exercice 1 : Puissances de x sur [0,1]

Pour \(n \in \mathbb{N}\) et \(x \in [0,1]\), on pose \(f_n(x) = x^n\).

1. Déterminer la limite simple \(f\) de la suite \((f_n)\) sur \([0,1]\).
2. En déduire, sans calcul de norme, que la convergence n’est pas uniforme sur \([0,1]\).
3. Retrouver ce résultat à l’aide de la suite de points \(x_n = 2^{-1/n}\).
4. Soit \(a \in [0,1[\). Montrer que la convergence est uniforme sur \([0,a]\).
5. La convergence est-elle uniforme sur \([0,1[\) ?

Exercice 2 : Une bosse qui s’écrase

Pour \(n \geq\, 1\) et \(x \in [0,+\infty[\), on pose \(f_n(x) = \dfrac{nx}{1 + n^2 x^2}\). La figure ci-dessous représente quelques-unes de ces fonctions.

1. Étudier la convergence simple de \((f_n)\) sur \([0,+\infty[\).
2. Calculer \(f_n(1/n)\). La convergence est-elle uniforme sur \([0,+\infty[\) ?
3. Étudier les variations de \(f_n\). Montrer que la convergence est uniforme sur \([a,+\infty[\) pour tout \(a > 0\).
4. Calculer \(\int_0^1 f_n(x)\, dx\) et sa limite. Commenter.

Exercice 3 : Calculs de normes infinies

Pour chacune des suites suivantes, déterminer la limite simple, puis calculer \(\|f_n – f\|_\infty\) ou justifier qu’elle est infinie. Conclure sur la convergence uniforme.

1. \(f_n(x) = x e^{-nx}\) sur \([0,+\infty[\), pour \(n \geq\, 1\).
2. \(g_n(x) = \dfrac{n x^2}{1 + nx}\) sur \([0,+\infty[\), pour \(n \geq\, 1\).
3. \(h_n(x) = \dfrac{x}{n}\) sur \(\mathbb{R}\), pour \(n \geq\, 1\). Étudier aussi la convergence sur tout segment de \(\mathbb{R}\).

Exercice 4 : Une bosse de hauteur presque constante

Pour \(n \geq\, 1\) et \(x \in [0,1]\), on pose \(f_n(x) = n x (1 – x)^n\).

1. Montrer que \((f_n)\) converge simplement vers la fonction nulle sur \([0,1]\).
2. Étudier les variations de \(f_n\) et calculer \(\|f_n\|_\infty\). Déterminer sa limite. Conclure.
3. Calculer \(\int_0^1 f_n(x)\, dx\) et sa limite. Que peut-on en déduire sur le lien entre convergence uniforme et interversion limite-intégrale ?
4. Soit \(a \in ]0,1]\). Montrer que la convergence est uniforme sur \([a,1]\).

Exercice 5 : Sinus oscillants et dérivées

Pour \(n \geq\, 1\) et \(x \in \mathbb{R}\), on pose \(f_n(x) = \dfrac{\sin(nx)}{n}\).

1. Montrer que \((f_n)\) converge uniformément vers 0 sur \(\mathbb{R}\).
2. Calculer \(f_n^{\prime}\). Étudier la suite \((f_n^{\prime}(x))\) pour \(x = 0\) puis pour \(x = \pi\).
3. On suppose que \((\cos(nx))_n\) converge vers un réel \(\ell\). En utilisant \(\cos(2nx) = 2\cos^2(nx) – 1\), montrer que \(\ell \in \{1, -1/2\}\). En utilisant \(\cos((n+1)x) + \cos((n-1)x) = 2 \cos(nx) \cos x\), montrer que \(\cos x = 1\).
4. En déduire l’ensemble des réels \(x\) pour lesquels \((f_n^{\prime}(x))\) converge. Quelle hypothèse du théorème de dérivation manque-t-il ici ?

Exercice 6 : Échec de l’interversion limite-intégrale

Pour \(n \geq\, 1\) et \(x \in [0,1]\), on pose \(f_n(x) = n^2 x e^{-nx}\).

1. Montrer que \((f_n)\) converge simplement vers la fonction nulle sur \([0,1]\).
2. Calculer \(I_n = \int_0^1 f_n(x)\, dx\) et sa limite.
3. En déduire que la convergence n’est pas uniforme sur \([0,1]\). Retrouver ce fait à l’aide de \(f_n(1/n)\).
4. Soit \(a \in ]0,1]\). Montrer que la convergence est uniforme sur \([a,1]\).

Exercice 7 : Convergence vers l’exponentielle

Pour \(n \geq\, 1\) et \(x \geq\, 0\), on pose \(f_n(x) = (1 + \dfrac{x}{n})^n\).

1. Montrer que \((f_n)\) converge simplement vers \(x \mapsto e^x\) sur \([0,+\infty[\).
2. Montrer que, pour tout \(t \geq\, 0\), \(t – \dfrac{t^2}{2} \leq\, \ln(1 + t) \leq\, t\).
3. En déduire que, pour tout \(x \geq\, 0\) et tout \(n \geq\, 1\), \(0 \leq\, e^x – f_n(x) \leq\, \dfrac{x^2 e^x}{2n}\).
4. Montrer que la convergence est uniforme sur tout segment \([0,a]\).
5. La convergence est-elle uniforme sur \([0,+\infty[\) ? On pourra calculer \(f_n(n)\).
6. Déterminer \(\lim_{n \to +\infty} \int_0^1 (1 + \frac{x}{n})^n dx\) de deux façons.

Exercice 8 : Le logarithme comme limite

Pour \(n \geq\, 1\) et \(x > 0\), on pose \(f_n(x) = n(x^{1/n} – 1)\).

1. Montrer que \((f_n)\) converge simplement vers \(\ln\) sur \(]0,+\infty[\).
2. Montrer que, pour tout réel \(t\), \(|e^t – 1 – t| \leq\, \dfrac{t^2}{2} e^{|t|}\).
3. Soit \([a,b] \subset ]0,+\infty[\) et \(M = \max(|\ln a|, |\ln b|)\). Montrer que \(\sup_{[a,b]} |f_n – \ln| \leq\, \dfrac{M^2 e^M}{2n}\). Conclure.
4. Montrer que la convergence n’est pas uniforme sur \(]0,1]\), à l’aide de \(x_n = e^{-n^2}\).
5. Calculer \(\lim_{n \to +\infty} \int_1^e n(x^{1/n} – 1) dx\).

Exercice 9 : Utiliser le théorème de la double limite

Pour \(n \geq\, 1\) et \(x \geq\, 0\), on pose \(f_n(x) = \dfrac{x^n}{1 + x^n}\). Comme le suggère la figure ci-dessous, toutes les courbes passent par le point \((1, 1/2)\).

1. Déterminer la limite simple \(f\) de \((f_n)\) sur \([0,+\infty[\). La convergence est-elle uniforme sur \([0,+\infty[\) ?
2. La restriction de \(f\) à \([0,1[\) est continue. À l’aide du théorème de la double limite en \(1\), montrer que la convergence n’est pourtant pas uniforme sur \([0,1[\).
3. Retrouver ce résultat avec la suite de points \(x_n = 1 – \dfrac{1}{n}\).
4. Soit \(0 \leq\, a < 1 < b\). Montrer que la convergence est uniforme sur \([0,a]\) et sur \([b,+\infty[\).

Exercice 10 : Régularisation de la valeur absolue

Pour \(n \geq\, 1\) et \(x \in \mathbb{R}\), on pose \(f_n(x) = \sqrt{x^2 + \dfrac{1}{n^2}}\).

1. Montrer que \(0 \leq\, f_n(x) – |x| \leq\, \dfrac{1}{n}\) pour tout réel \(x\). En déduire la convergence uniforme de \((f_n)\) sur \(\mathbb{R}\).
2. Justifier que chaque \(f_n\) est de classe \(C^1\). La limite l’est-elle ? Que retenir ?
3. Étudier la convergence simple de \((f_n^{\prime})\) sur \(\mathbb{R}\). Est-elle uniforme sur \(\mathbb{R}\) ?
4. Soit \(a > 0\). Montrer que \((f_n^{\prime})\) converge uniformément sur \([a,+\infty[\). Quel théorème retrouve-t-on ?

Exercice 11 : Régularisation de la partie positive

On note \(x^+ = \max(0, x)\). Pour \(n \geq\, 1\) et \(x \in \mathbb{R}\), on pose \(f_n(x) = \dfrac{1}{n} \ln(1 + e^{nx})\). La figure ci-dessous compare ces fonctions à leur limite.

1. Montrer que \(\|f_n – x^+\|_\infty = \dfrac{\ln 2}{n}\). On distinguera \(x \leq\, 0\) et \(x > 0\).
2. Calculer \(f_n^{\prime}\) et étudier la convergence simple de \((f_n^{\prime})\) sur \(\mathbb{R}\). Est-elle uniforme sur \(\mathbb{R}\) ?
3. Montrer que \((f_n^{\prime})\) converge uniformément sur \([a,+\infty[\) et sur \(]-\infty,-a]\) pour tout \(a > 0\).
4. Que donne le théorème de dérivation sur \(]0,+\infty[\) et sur \(]-\infty,0[\) ? Peut-il s’appliquer sur \(\mathbb{R}\) ?

Exercice 12 : Dérivées successives d’une limite

On reprend \(f_n(x) = (1 + \dfrac{x}{n})^n\) sur \([0,a]\), avec \(a > 0\), et l’on admet le résultat de l’exercice 7 : \((f_n)\) converge uniformément vers \(\exp\) sur \([0,a]\).

1. Soit \((u_n)\) et \((v_n)\) deux suites de fonctions convergeant uniformément sur \([0,a]\) vers des fonctions bornées \(u\) et \(v\). Montrer que \((u_n v_n)\) converge uniformément vers \(uv\).
2. Soit \(k \in \mathbb{N}^*\). Montrer que, pour \(n \geq\, k\), \(f_n^{(k)}(x) = c_{n,k} (1 + \dfrac{x}{n})^{n-k}\) avec \(c_{n,k} = \prod_{j=0}^{k-1} (1 – \dfrac{j}{n})\).
3. Montrer que \((f_n^{(k)})\) converge uniformément vers \(\exp\) sur \([0,a]\).
4. Quelle conclusion le théorème de dérivation de classe \(C^k\) permet-il d’obtenir ?

Exercice 13 : Composition et convergence uniforme

Soit \((f_n)\) une suite de fonctions de \(I\) dans \(\mathbb{R}\) qui converge uniformément vers \(f\) sur \(I\).

1. Soit \(g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) uniformément continue. Montrer que \((g \circ f_n)\) converge uniformément vers \(g \circ f\) sur \(I\).
2. On prend \(I = \mathbb{R}\), \(f_n(x) = x + \dfrac{1}{n}\) et \(g(x) = x^2\). Étudier la convergence uniforme de \((g \circ f_n)\) sur \(\mathbb{R}\), puis sur tout segment.
3. Montrer que \(x \mapsto \sin\sqrt{x^2 + 1/n^2}\) converge uniformément sur \(\mathbb{R}\) vers \(x \mapsto \sin|x|\).
4. On suppose ici \(I = [a,b]\), les \(f_n\) et \(f\) continues, et \(g\) seulement continue sur \(\mathbb{R}\). Montrer que \((g \circ f_n)\) converge encore uniformément vers \(g \circ f\).

Exercice 14 : Limites d’intégrales sur un segment

1. Montrer que \(|\sin u – u| \leq\, \dfrac{u^3}{6}\) pour \(u \geq\, 0\). En déduire que \(x \mapsto n \sin(x/n)\) converge uniformément vers \(x \mapsto x\) sur \([0,\pi]\), puis déterminer \(\lim \int_0^\pi n \sin(\frac{x}{n}) dx\). Vérifier par un calcul direct.
2. Montrer que \(x \mapsto \dfrac{n}{n + x}\) converge uniformément vers 1 sur \([0,1]\). En déduire \(\lim \int_0^1 \dfrac{n e^x}{n + x}\, dx\).
3. On pose \(J_n = \int_0^1 \dfrac{dx}{1 + x^n}\). La suite de fonctions intégrées converge-t-elle uniformément sur \([0,1]\) ? Montrer néanmoins que \(|J_n – 1| \leq\, \dfrac{1}{n+1}\) et conclure.

Exercice 15 : Approximation par des fonctions en escalier

1. Soit \(n \geq\, 1\). On définit \(\varphi_n\) sur \([0,1]\) par \(\varphi_n(x) = (\frac{k}{n})^2\) si \(x \in [\frac{k}{n}, \frac{k+1}{n}[\), pour \(0 \leq\, k \leq\, n – 1\), et \(\varphi_n(1) = 1\). Montrer que \(0 \leq\, x^2 – \varphi_n(x) \leq\, \dfrac{2}{n}\) pour tout \(x \in [0,1]\).
2. Calculer \(\int_0^1 \varphi_n\) et retrouver la valeur de \(\int_0^1 x^2\, dx\) par passage à la limite.
3. Montrer que la fonction en escalier \(x \mapsto \dfrac{\lfloor nx \rfloor}{n}\) converge uniformément vers \(x \mapsto x\) sur \(\mathbb{R}\).
4. Soit \(L > 0\) et \(f\) une fonction \(L\)-lipschitzienne sur \([a,b]\). Construire explicitement une fonction en escalier \(\psi_n\) telle que \(\|f – \psi_n\|_\infty \leq\, \dfrac{L(b-a)}{n}\).

Exercice 16 : Polynômes de Bernstein

Pour \(f\) continue sur \([0,1]\) et \(n \geq\, 1\), on pose \(b_{n,k}(x) = \binom\,{n}{k} x^k (1-x)^{n-k}\) et \(B_n(f)(x) = \sum_{k=0}^{n} f(\frac{k}{n}) b_{n,k}(x)\).

1. Montrer que \(\sum_{k=0}^n b_{n,k}(x) = 1\), \(\sum_{k=0}^n k\, b_{n,k}(x) = nx\) et \(\sum_{k=0}^n k(k-1)\, b_{n,k}(x) = n(n-1)x^2\).
2. En déduire \(B_n(f)\) pour \(f(x) = 1\), \(f(x) = x\) et \(f(x) = x^2\). Calculer \(\|B_n(f) – f\|_\infty\) pour \(f(x) = x^2\).
3. Montrer que \(\sum_{k=0}^n (\frac{k}{n} – x)^2 b_{n,k}(x) = \dfrac{x(1-x)}{n}\).
4. Soit \(\delta > 0\). Montrer que la somme des \(b_{n,k}(x)\) étendue aux \(k\) tels que \(|\frac{k}{n} – x| \geq\, \delta\) est majorée par \(\dfrac{1}{4n\delta^2}\).
5. Soit \(f\) continue sur \([0,1]\) et \(\varepsilon > 0\). En utilisant la continuité uniforme de \(f\), montrer que \(\|B_n(f) – f\|_\infty \leq\, \varepsilon + \dfrac{\|f\|_\infty}{2n\delta^2}\) pour un \(\delta\) convenable. En déduire le théorème de Weierstrass sur \([0,1]\).

Exercice 17 : Moments nuls et théorème de Weierstrass

Soit \(f\) une fonction continue sur \([0,1]\).

1. On suppose que \(\int_0^1 f(x) x^k\, dx = 0\) pour tout \(k \in \mathbb{N}\). Montrer que \(f\) est nulle.
2. On suppose seulement que \(\int_0^1 f(x) x^k\, dx = 0\) pour tout \(k \geq\, 2\). Montrer que \(f\) est encore nulle.
3. Vérifier que \(g(x) = 6x^2 – 6x + 1\) vérifie \(\int_0^1 g = \int_0^1 x g(x)\, dx = 0\). Que montre cet exemple ?

Exercice 18 : Approximation simultanée d’une fonction et de sa dérivée

Soit \(f\) une fonction de classe \(C^1\) sur \([a,b]\).

1. Montrer qu’il existe une suite de polynômes \((P_n)\) telle que \((P_n)\) converge uniformément vers \(f\) et \((P_n^{\prime})\) converge uniformément vers \(f^{\prime}\) sur \([a,b]\), avec de plus \(P_n(a) = f(a)\).
2. Généraliser à une fonction de classe \(C^2\) : approcher simultanément \(f\), \(f^{\prime}\) et \(f^{\prime\prime}\).
3. Soit \(f(x) = |x|\) sur \([-1,1]\) et \((P_n)\) une suite de polynômes convergeant uniformément vers \(f\). Montrer que \((P_n^{\prime})\) ne peut pas converger uniformément sur \([-1,1]\).

Exercice 19 : Limites uniformes de polynômes sur R

1. Montrer qu’une fonction polynomiale bornée sur \(\mathbb{R}\) est constante.
2. Soit \((P_n)\) une suite de polynômes qui converge uniformément sur \(\mathbb{R}\) vers une fonction \(f\). Montrer qu’il existe \(N\) tel que \(P_n – P_N\) soit constant pour \(n \geq\, N\). En déduire que \(f\) est polynomiale.
3. En déduire que \(\exp\) n’est pas limite uniforme de polynômes sur \(\mathbb{R}\).
4. Soit \(a > 0\) et \(T_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{x^k}{k!}\). Montrer que \(\sup_{[-a,a]} |e^x – T_n(x)| \leq\, \dfrac{a^{n+1} e^a}{(n+1)!}\) et conclure.

Exercice 20 : Méthode de Picard pour l’exponentielle

Soit \(a > 0\). On définit une suite de fonctions sur \([0,a]\) par \(f_0 = 1\) et, pour tout \(n\), \(f_{n+1}(x) = 1 + \int_0^x f_n(t)\, dt\).

1. Montrer par récurrence que \(f_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \dfrac{x^k}{k!}\).
2. Justifier que \((f_n)\) converge simplement sur \([0,a]\) vers une fonction \(F\), puis que \(\|F – f_n\|_\infty \leq\, \sum_{k=n+1}^{+\infty} \dfrac{a^k}{k!}\). En déduire la convergence uniforme.
3. Montrer que \(F\) est continue et que \(F(x) = 1 + \int_0^x F(t)\, dt\) pour tout \(x \in [0,a]\).
4. En déduire que \(F\) est de classe \(C^1\), que \(F^{\prime} = F\) et \(F(0) = 1\), puis identifier \(F\).
5. Retrouver la dérivabilité de \(F\) directement à l’aide du théorème de dérivation des suites de fonctions.

Exercice 21 : Problème : approximation polynomiale de la racine carrée

On définit une suite de polynômes sur \([0,1]\) par \(p_0 = 0\) et \(p_{n+1}(x) = p_n(x) + \dfrac{1}{2}(x – p_n(x)^2)\). On fixe \(x \in [0,1]\), on note \(s = \sqrt{x}\) et \(e_n = s – p_n(x)\).

1. Calculer \(p_1\) et \(p_2\).
2. Montrer que \(e_{n+1} = e_n (1 – \dfrac{s + p_n(x)}{2})\). En déduire par récurrence que \(0 \leq\, p_n(x) \leq\, p_{n+1}(x) \leq\, \sqrt{x}\).
3. Montrer que \(0 \leq\, e_n \leq\, s(1 – \dfrac{s}{2})^n\).
4. Étudier \(\varphi_n(s) = s(1 – \frac{s}{2})^n\) sur \([0,1]\) et en déduire que \(\|\sqrt{\cdot} – p_n\|_\infty \leq\, \dfrac{2}{n+1}\) sur \([0,1]\).
5. En déduire que \(Q_n(x) = p_n(x^2)\) définit une suite de polynômes convergeant uniformément vers \(x \mapsto |x|\) sur \([-1,1]\).
6. Soit \(c \in [-1,1]\). Montrer que \(x \mapsto |x – c|\) est limite uniforme de polynômes sur \([-1,1]\).
7. On admet que toute fonction continue affine par morceaux \(g\) sur \([-1,1]\) s’écrit \(g(x) = \alpha x + \beta + \sum_{i=1}^{m} \lambda_i |x – c_i|\) avec \(c_i \in [-1,1]\). Soit \(f\) continue sur \([-1,1]\). En approchant \(f\) par une fonction affine par morceaux, démontrer le théorème de Weierstrass sur \([-1,1]\).

Le corrigé des exercices

Chaque exercice est corrigé en détail, question par question, sur la page suivante.

Pour aller plus loin en maths spé

• Le cours : suites de fonctions, cours de maths spé
• À maîtriser avant : Normes, espaces vectoriels normés et suites
• Chapitre précédent : Séries numériques et vectorielles
• Chapitre suivant : Séries de fonctions
• Tester vos connaissances : QCM de maths spé par chapitre
• Le sommaire : tous les chapitres de maths spé et les chapitres de maths sup